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浅谈数学归纳法 沈梦婷 教师教育学院10021149【摘要】数学归纳法是一种常用的数学方法，在许多与自然数有关的数学问题的证明中有着不可替代的作用。本文就数学归纳法的形式内容及对其的教与学做了一定的分析。【关键字】数学归纳法，数学教学方法数学中的许多问题与自然数有关, 这类问题的求解及证明贯用的方法就是数学归纳法, 即首先考察特例, 发现某种相似性, 然后把这种相似性推广为一个可以明确表述的一般性命题, 从而得到一个猜想, 最后证明这个猜想。数学归纳法的依据是自然数的皮亚诺公理中的归纳公理，他是演绎法的一种，与归纳法有本质区别。绪论数学归纳法的研究现状对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。例如，赵龙山在有关数学归纳法教学中的逻辑问题一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了学生对数学归纳法本质的理解：罗增儒在关于数学归纳法的逻辑基础一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性； 刘世泽在数学归纳法的另外两种形式一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在数学归纳法的构造一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;邵光华所作的论文对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.除以上这些论文以外,一些论著也提到了数学归纳法，并把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述。例如，徐利治先生著的徐利治论数学方法学中，收集了数学家是怎样思考和解决问题的、流与源不容忽视的创作源泉、浅谈数学方法学、漫谈学数学等文章，从归纳与猜想的角度说明了数学归纳法教学的重要性；李文林著的数学史概论中，也阐述了数学归纳法的理论。此外，华罗庚著的数学归纳法、洪波著的怎样应用数学归纳法、G波利亚的怎样解题、数学与猜想、数学中的归纳法与类比法等著作，都从理论方面论述了数学归纳法和归纳法在数学教学中的重要性和价值。下面就将围绕数学归纳法进行五方面的论述。一 数学归纳法的理论基础（一）数学归纳法的发展历史数学归纳法最先由意大利数学家莫罗利科 (Maurolycus, 1494 1575) 提出, 后经法国数学家帕斯卡( Pascal, 1623 1662) 进一步完善, 最终由意大利数学家皮亚诺( Peano, 1858 1932) 奠定了逻辑基础, 这是人们公认的数学归纳法的历史.事实上, 早在古希腊的欧几里德( Eulid, 公元前300 年) 时代, 数学归纳法的思想就有所萌芽. 他在证明“素数个数无穷“时,就认为: 若有n 个素数, 就必有n+1个素数; 既第一个素数, 素数个数必无穷. 尽管他论证过程中的递归推理不甚明显, 但基本上是按照递归推理原理指导的. 欧几里德以后, 递归思想曾在级数求和等问题上得到过应用, 遗憾的是没有人明确的提出这个方法。 近代最先试图用递归方法证明数学命题的人是意大利数学家F莫罗利科(Maurolycus,l494- 1575)，他的(算术(1575)一书中提出了递归方法的思路，用这一方法得出若干结果，但他仅仅指出了这种方法的必要性，用例子加以说明，并未对方法作出清晰的表述，实际上也没有明确的第二步。最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的人，是法国数学家B帕斯卡(Pascal, 1623- 1662).在他的论算术三角形(1645)中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表，中国称为“贾宪三角形”，是宋代贾宪于11世纪最先提出的)等命题，其中，帕斯卡最先清晰而明确地指出了数学归纳法的第一、二两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理，由于当时还没有表示正整数的数学符号，所以引理是用文字表述的。 而“数学归纳法” 这一专业术语, 是英国数学家德摩根( De Morgan， 1806 1871) 于1838 年在他的小百科全书 中提出并延用至今的. 正是由于这一名称, 偶见有人认为数学归纳法是一种归纳方法的说法，这可以说是“望文生义”的结果。 其实数学归纳法是演绎推理, 这是由其实质所决定的.但往往，数学归纳法是与归纳法联合使用的，这就是所谓的“数学补充”。归纳常用于猜想，而数学归纳法是用于证明的。这就构成了“归纳猜想证明”的解题方法.1893年，意大利数学家G皮亚诺(Peano, 1858-1932)建立了正整数(原为自然数)的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理(称为“递归公理”或“数学归纳法公理”)纳入他的正整数(原为自然数)公理系统之中。其形式一般为:“如果一个由正整数组成的集合S包含有1，又如果S包含有某一数a就必然也包含有a的后继(即a+l)，则S就包含所有的正整数。” 此后，数学归纳法成为证明关于正整数的命题的首选方法，并且又发展出若千变型，如第一数学归纳法，倒推数学归纳法（下文会有涉及），等等。 数学归纳法之所以有效是因为它提供了一种严格的演绎推理模式，可大致地把这一模式表示为这样一个三段论式: 大前提:凡满足数学归纳法公理的命题对所有的正整数为真，即A(1)(x)N(A(x)(x)N A(x)小前提:P是满足数学归纳法公理的命题，即P(1)(x)N(P(x)P(x十1).结论:P对任何正整数都是真的。（二）数学归纳法的逻辑基础 对于数学归纳法本质的认识，是学习数学归纳法并能正确应用数学归纳法的关键.数学归纳法被明确提出并广泛应用已久，但它的逻辑基础仍是不明确的。直至1889年，意大利数学家皮亚诺发表了算术原理新方法，建立起关于自然数的五条公理，才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确。自然数根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 1N,即1是自然数； 若nN，则有且仅有一个自然数称为n的后继数，记作n+1。这就是说，如果n=m,那么n+1=m+1.例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）； 若nN，则n+11.这就是说，没有一个自然数的后继数是1.如果nN，mN，n+1=m+1，那么n=m。这就是说，对于每个自然数，只能是某一数的后继数或根本不是后继数。 设是自然数的一个集合，它具有下列性质:a.1Mb.如果1M，那么M包含一切自然数，即M=N如果1+1记作2N,2+1记作3N，以此类推可得N=1,2,3，（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性） 这样，皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继(者)的存在，而且为用数学归纳法推证的结果对全体正整数的有效性作出了保证。皮亚诺把数学归纳法原理奠定在下述事实的基础上:在任一整数n之后接着便有下一个n+l，从而从整数1出发，通过有限多次这种步骤，便能达到任意选定的整数n.正整数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定。数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性。数学归纳法有时也叫逐次归纳法或者完全归纳法。1887年，德国数学家戴德金称数学归纳法为完全归纳法，后来由于逻辑学上完全归纳法专指“从列举对应的一切特殊情形的前提中，推出关于全部对象的一般结论的一种推理方法”，使之与“数学归纳法”不完全等价了。二数学归纳法的基本步骤及其变型：（一）第一数学归纳法（基本步骤）一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况。（奠基步骤）（2）假设当n=k（kn0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 （归纳步骤）综合（1）（2），对一切自然数n（n0），命题P(n)都成立。如例1.求1+3+5+199的和。解：先计算前面若干项的和：1=1+3=4=1+3+5=4+5=9=1+3+5+7=9+7=16观察这些和，我们推测：。我们用数学归纳法来证明以上结论。（1）n=1时，=1=。结论成立；（2）假设当n=k时，=成立，那么=1+3+5+（2k-1）+2（k+1）-1=+（2k+1）=+（2k+1）=，所以当n=k+1时，也成立。我们还可以将多米诺骨牌与数学归纳法联系起来, 形象地解释了数学归纳法的递推原理。下面将具体做法简述如下。设想有一组从左至右一字排列的无穷的多米诺骨牌如卜图, 依次编1,2 ,3 。 在玩这组多米诺骨牌游戏时, 应当满足如下两个条件（1）由左至右推倒第一块骨牌（2）如果第k块骨牌向右倒下, 那么第k+1块骨牌一定随之向右倒下牌间距离小于牌高, 这里kN才能完成这个游戏, 即保证全部骨牌自左至右倒下。上述两个条件缺一不可, 缺少条件（1）, 骨牌一块也不能倒下。缺少条件（2）, 游戏将中止于某一块骨牌。也就是说, 条件（1）是完成游戏的前提, 即基础；条件（2）使游戏能通过依次递推一直进行下去。以此游戏帮助我们理解数学归纳法原理中的归纳基础和归纳递推分别有何作用, 既形象又生动, 使深奥枯燥的数学原理与简明有趣的数学游戏有机地装合起来, 寓教于乐, 事半功倍。（二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n= n0时P(n)成立； （2）假设n0n n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2），对一切自然数n（n0），P(n)，Q(n)都成立。三数学归纳法的广泛应用1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 3.证明数列前n项和与通项公式的成立。 4.证明和自然数有关的不等式。数学归纳法除了上述应用外，对于数学理论自身也是有力的工具。例如在中学数学定理公式中（指数运算法则，对数运算法则，凸多边形的内角和公式，复数中的隶莫佛定理，柯西不等式，二项式定理等等）我们都可用数学归纳法把他们的特殊形式推广到一般形式。同时我们还可以采用数字问题字母化、放宽命题条件、加强命题结论等方法来运用数学归纳法解决一般问题。四如何正确使用数学归纳法（一）两步缺一不可1.缺第二步不可实例证明：十七世纪法国卓越数学家费尔马考察了形如22 +1的数，n=0,1,2,3,4时，它的值分别是3,5,17,257,65 537.这5个数都是质数。因此费尔马就猜想：对于任意自然数n，式子22 +1的值都是质数。但在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出，当n=5时，22 +1=4 294 967 297=6416 700 417，是个合数，费尔马的猜想是错误的。2.缺第一步也不可实例证明:证明（n+1）2+(n+2)2一定是偶数假设n=k时命题成立，即（k+1）2+(k+2)2是偶数当n=k+1时(k+1)+12+(k+1)+22=(k+2)2+(k+1)2+4(k+1)+4=(k+1)2+(k+2)2+4(k+2)由假设（k+1）2+(k+2)2是偶数，又4(k+2)也是偶数，所以上式是偶数，这就是说n=k+1时命题也成立。由此，对于任意自然数n, （n+1）2+(n+2)2一定是偶数。这个结论显然错误，原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤。实际上，当n=1时,(1+1)2+(1+2)2=13不是偶数。因此我们可以把数学归纳法形象地比喻作攀登一个无穷梯子的过程，证明的第一步验证P(1)成立，这表明我们能登上题字的第一级：证明了能够从P(k)过渡到P(k+1),就相当于我们有能力从梯子的任何一级登上更高一级。这相当于只有同时完成数学归纳法的两个步骤，才能保证对于任意自然数n,P(n)成立.3.证明的关键是用好归纳假设。就这一点，我们可采用有引导果和执果索因的方法。五数学归纳法与数学猜想 猜想是对研究的对象或问题经过观察、实验、比较、类比、归纳、联想等系列思维活动依据已有事实和知识做出的推测与判断。猜想是一种合情推理，是一种带有一定直觉性的高级认识过程，不仅数学发明创造依赖于猜想的提出，而且数学学习(比如解题)也离不开猜想。从数学猜想的提出到给出猜想的证明，可能需要一个漫长的探索过程，甚至要经历几百年的时间，如四色定理、费马大定理;有的猜想至今未获解决，如哥德巴赫猜想。因此，在数学学习中，从猜想的提出到最后的解决也会是一个反复探索、在挫折和失败中奋进的过程。虽然不会是很多年，但也绝不会是一蹴而就。 作为猜想的一种基本形式，归纳猜想是非常经典的，它运用归纳方法，对研究对象或问题从个例出发，经过观察、分析，得出有关命题的形式、结论或方法。 生活中有许多归纳推理出来的结论。农谚有云:“瑞雪兆丰年”，“霜下东风一日晴”，是农人在劳作中的经验;还有关于气候的谚语，如“朝霞不出门，晚霞行千里”，“日晕而风，月晕而雨”等，也都是人们根据多年的实践和生活经验归纳的结果。可以说，归纳是一种普遍的现象，人们试图在观察中发现归纳出事物的规律性和一致性。类比归纳常常从观察开始。观察生活的细节，能体会生活的乐趣;观察数学的规律，能创造数学的价值，体现数学的美。 数学史上有很多著名的猜想，就是通过观察归纳得到的。下面举例说明。例2哥德巴赫猜想:观察:6=3+3 8=3+510=3+7=5+512=5+7，14=3+1l=7+716=3+13=5+11归纳猜想:任何一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想，而这个猜想至今没有得到证明。五数学归纳法的教学研究数学归纳法是数学中一种常用的方法, 是中等数学教学中的一个重要内容。应用数学归纳法证明一个命题具有一定的模式, 但学生在学习中常存在不少问题。这里有几点建议：（一） 抓住关键, 讲清数学归纳法的实质。学生开始学习数学归纳法时, 往往难于理解它的实质, 具体表现在不了解第二个步骤所起的作用, 并且不会根据归纳假设来证题。因此在以后应用就只会死套两个步骤的模式。所以在教学中首先要注意抓住关键, 讲清数学归纳法的实质, 特别是两个步骤的相互关系及其论证过程中的重要性（可在用多米诺骨游戏的方法）。还有要对归纳推理和演绎推理进行区分, 然后举例说明不完全归纳法的局限性, 最后通过实例说明证明的两个步骤缺一不可。（二） 帮助学生正确理解命题中n的含义（三） 教给学生证题中一些常用的方法和技巧学生在应用数学归纳法证明因此教学中应注意结合实例教给学生一些常用的方法和技巧, 如加项法、相乘法、适当变形拼凑法、放缩法、图形法等等, 并让学生多实践、多总结思考.（四） 训练学生观察、猜测、论证的方法.在实际生活中, 我们往往采取尝试、实验和总结的方法解决问题, 在解决数学问题中, 我们也常作出一个猜想,证明和反驳。教给学生通过观察去发现一个命题是很有益的, 它有利于培养学生的观察力、归纳概括能力及创新能力。因此 “ 教学中不能仅满足于学生会用数学归纳法证题,而应训练学生把观察、猜测、论证作为整个的逻辑过程.”在课堂教学中，我们也应该重视数学史教育。如果将数学家在研究问题过程中的种种方法贯穿于数学教学实践，那么数学这一门功课，将在教育中起到开阔眼界，锻炼智力，增长知识的作用。结束语： 数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的极为有效的科学方法。了解数学归纳法的发现和发展的历史，明确数学归纳法与归纳法的区别与联系，是教师教授和学生掌握数学归纳法的基础。对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是教师进行数学归纳法教学的前提，也是学生能否掌握这种证明方法的关