高等数学武大社教案05第五章不定积分.docxVIP

第五章 不定积分一、教学目标1.熟悉不定积分的概念；2.掌握不定积分的运算. 3.了解积分表的使用；二、课时分配本章节共4个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.不定积分的基本性质、基本积分公式；2.两类换元积分法和分部积分法.四、教学难点1.原函数和不定积分的概念；2.有理函数的不定积分.五、教学内容第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分我们称这类由给定f(x)求f(x)的运算为积分法.正如加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法一样,积分法可以看作微分法的逆运算.定义1 设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对于I上每一点x,都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数.定理 若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上的原函数F(x)存在.由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数.设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F(x)=f(x).那么,对任意常数C,由F(x)+C=F(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数.如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F(x)=G(x)=f(x),根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C.综上所述,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待，则可认为原函数“基本上”只有一个.要把某函数的原函数求出来，只需求出其中任意一个，由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构，引入不定积分的概念.定义2 函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分，记作f(x)dx.其中，记号称为积分号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量.由定义2可知，不定积分与原函数是整体和个体的关系，f(x)的不定积分f(x)dx是f(x)的原函数的全体，是一族函数.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在区间I上的不定积分为f(x)dx=Fx+C.其中，C为任意实数，称为积分常数.【例2】已知某曲线通过点(1，2)，且其任一点处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，求该曲线的方程.【解】设所求的曲线方程为y=f(x)，M(x,y)为曲线上任一点.由已知dydx=fx=2x可得y=fx=2xdx=x2+C将点(1,2)代入上述等式得C=1，于是，所求曲线方程为y=x2+1二、不定积分的几何意义在直角坐标系中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线y=F(x)，这条曲线上任意点(x,F(x)处的切线的斜率F(x)恰为函数值f(x)，称这条曲线为f(x)的一条积分曲线.f(x)的不定积分F(x)+C则是一个曲线簇，称为积分曲线簇平行于y轴的直线与簇中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f(x)，因此积分曲线簇可以由一条积分曲线通过沿y轴方向平移得到.由不定积分和微分的关系可知：fxdx=fx或df(x)dx=f(x)dxFxdx=Fx+C或dF(x)=Fx+C三、不定积分的基本公式根据积分法是微分法的逆运算，我们可以从每一个导数公式相应地得到一个不定积分公式.下面为最常用的不定积分公式：（1）kdx=kx+C（k为常数）（2）xdx=x+1+1+C（-1，为常数）（3）1xdx=dxx=lnx+C（4）exdx=ex+C（5）axdx=axlna+C（a0,a1,a为常数）（6）sinxdx=-cosx+C（7）cosxdx=sinx+C（8）sec2xdx=tanx+C（9）csc2xdx=-cotx+C（10）secxtanxdx=secx+C（11）cscxcotxdx=-cscx+C（12）dx1-x2=arcsinx+C（13）dx1+x2=arctanx+C四、不定积分的性质性质1 若f(x)和g(x)的不定积分都存在，则f(x)+g(x)的不定积分也存在，且fx+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx证明由导数四则运算法则知fxdx+gxdx=fxdx+gxdx=fx+g(x)这说明f(x)dx+g(x)dx是f(x)+g(x)的原函数，性质1成立.性质2 若f(x)的不定积分存在，k为非零常数，则kf(x)的不定积分也存在，且kf(x)dx=kf(x)dx利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求得一些比较简单的函数的不定积分.【例4】求2x+sinx+2xdx【解】2x+sinx+2xdx=2xdx+sinxdx+2dxx=2xln2-cosx+2lnx+C【例5】求2xexdx【解】2xexdx=2exdx=2exln2e+C=2xex1+ln2+C第二节 换元积分法定理1 设函数u=(x)具有连续导数，且f(u)du=F(u)+C，则f(x)(x)dx=Fx+C证明只需要证明ddxFx=fxx由已知条件知F(u)是f(u)的原函数，即有F(u)=f(u).根据复合函数求导法则，得ddxFxu=(x)dFdududx=fux=f(x)(x)式称为不定积分的第一类换元积分公式.利用第一类换元积分公式计算不定积分的方法为第一类换元积分法.第一类换元积分法的关键是要能从被积函数g(x)中分离出因式(x),使(x)与dx结合凑成微分d(x).因此也称该换元积分法为凑微分法.（1）dx=1ad(ax+b)(a0)（2）xdx=12d(x2)（3）1xdx=d(lnx)（4）1x2dx=-d(1x)（5）1xdx=2d(x)（6）exdx=d(ex)（7）sinxdx=-d(cosx)（8）cosxdx=d(sinx)（9）sec2xdx=d(tanx)（10）secxtanxdx=d(secx)（11）11+x2dx=d(arctanx)（12）11-x2dx=d(arcsinx)【例8】求dxa2+x2(a0)【解】dxa2+x2=1a2dx1+xa2=1adxa1+xa2=1aarctanxa+C【例9】求tanxdx【解】tanxdx=sinxcosxdx=-dcosxcosx=-lncosx+C类似可得cotxdx=lnsinx+C【例10】求secxdx【解】secxdx=secx(secx+tanx)secx+tanxdx=d(secx+tanx)secx+tanx=lnsecx+tanx+C类似可得cscxdx=lncscx-cotx+C二、第二类换元积分法定理2 设函数f(x)连续,x=(t)具有连续导数且导数不为零,t=-1(x)是其反函数.如果(t)是f(t)(t)的原函数,则f(x)dxx=(t)fttdt=t+C=-1(x)+C式称为第二类换元积分公式,相应的积分方法称为第二类换元积分法.【例16】求a2-x2dx(a0)【解】为消去被积函数中的根式,可作三角代换.令x=asintt2,则dx=acotxdt,a2-x2=acost,于是a2-x2dx=acostacostdt=12a21+cos2tdt=12a2t+12a2cos2tdt=12a2t+14a2sin2t+C=12a2t+14a2sintcost+C由x=asint及a2-x2=acost,得t=arcsinxa,sint=xa,cost=a2-x2a,从而a2-x2dx=12a2arcsinxa+12xa2-x2+C上面对cost回代的结果,也可由图52所示的辅助三角形直接写出:cost=邻边斜边=a2-x2a【例19】求1x(1+lnx)dx【解法1】凑微分法.原式=11+lnxdlnx=11+lnxdlnx+1=lnlnx+1+C【解法2】换元法.令u=lnx,x=eu,则dx=eudu.原式=eueu(1+u)du=11+udu=lnu+1+C=lnlnx+1+C第三节 分部积分法定理 设函数u=u(x)，v=v(x)均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得duv=udv+vdu或udv=duv-vdu两边同时积分得udv=duv-vdu=uv-vdu这个公式被称为分部积分公式.u，v的选择原则如下：(1)由(x)dx=dv，求v比较容易；(2)vdu比udv更容易计算.注意：分部积分法在选取u,v过程中，要始终选取同一类函数作为u，v.【例1】求xcosxdx.【解】令u=x，余下的cosxdx=d(sinx)=dv，则xcosxdx=xd(sinx)=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C如果令u=cosx,xdx=d12x2，则xcosxdx=12cosxdx2=12x2cosx-x2dcosx=12x2cosx+12x2sinxdx可以看出计算变得更为复杂，所以要注意u,v的选择.第四节 有理函数的不定积分一、一般有理函数的不定积分若Pn(x)和Qm(x)分别是n,m次多项式,则称Rx=Pn(x)Qm(x)为有理分式.当nm时,R(x)是真分式;当nm时,R(x)是假分式.利用多项式的除法,总可以把假分式化成多项式与真分式的和.【例1】求x+1x2+x-2dx【解】由于x2+x-2=(x-1)(x+2),则x+1x2+x-2=Ax-1+Bx+2,式中，A，B为待定常数.分式两边同乘（x-1）(x+2)得x+1=A(x+2)+B(x-1)=(A+B)x+2A-B比较同类项系数，得A+B=12A-B=1解之得A=23,B=13于是x+1x2+x-2=23x-1+13x+2所以x+1x2+x-2dx=231x-1dx+131x+2dx=231x-1dx-1+131x+2dx+2=23lnx-1+13lnx+2+C二、三角函数有理式的不定积分由函数sinx,cosx和常数经过有限次四则运算得到的函数称为三角