分类讨论(很好很全).doc

分类讨论思想分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0) ，圆半径|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，设点M的坐标为（x，y），则，整理得：，经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。当=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；当1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。题型4：不等式中分类讨论问题例7解不等式0 (a为常数，a)分析：含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时，a； 4a0 。所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax4a 。点评：本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。例8 解析： ， ， ，； ， ； ； ； 综上所述，得原不等式的解集为：；。题型5：数列中分类讨论问题例9（2011天津理20）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（III）设证明：（I）解：由 可得又（II）证明：对任意，得将代入，可得，即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意例10（2010四川理数）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn。解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn22nqn2，所以Sn2综上所述，Sn。点评：等比数列的求和公式只适合于，特别公比中含参数时，需要分类讨论。题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题例11解析：， ； ；这与三角形的内角和为180相矛盾。， ，因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。例12若函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象经过点(0，1)和时，|f(x)|2恒成立，求实数a的取值范围。解析：f(x)经过点(0，1)和f(x)=a+(1-a)cosx+(1-a)sinx=a+(1-a)(sinx+cosx)，。(1)a0，要使-2f(x)2，恒成立，只要，即。；(2)a=1时，(3)a1时，1-a0，要使-2f(x)2恒成立，只要，解得，综上所术，a的取值范围为。点评：含参数的三角函数问题，也需要对参数进行分类讨论。题型7：实际问题中分类讨论问题例13某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量（m3）水费（元）1892151931315求a、b、c解析：设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则 由题意知0c4，8+c12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，将 分别代入 中，得 再分析1月份用水量是否超过最低限量am3 。不妨设8a，将中，得9=8+2（8a）+c，得2a=c+15 ，显然、矛盾，1月份用水量不超过最低限量。又y=8+c ，9=8+c,c=1，a=10,b=2,c=1。1. (2009全国)双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，则该双曲线的离心率为_2.(2011辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是_3.(2011江苏)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_4.(2010福建)函数f(x)的零点个数为_5.(2011江西)设f(x)x3mx2nx.(1) 如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2) 如果mn0，使得f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质P(a)设函数f(x)lnx(x1)，其中b为实数(1) 求证：函数f(x)具有性质P(b); (2) 求函数f(x)的单调区间7. (2011湖南)设函数f(x)x2alnx与g(x)x的图象分别交直线x1于点A、B，且曲线yf(x)在点A处的切线与曲线yg(x)在点B处的切线平行(1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 当a1时，求函数h(x)f(x)g(x)的最小值；(3) 当a1时，h(x)f(x)g(x)x22lnxx，得h(x)2x(1).由x0，得0.故当x(0,1)时，h(x)0，h(x)递增所以h(x)的最小值为h(1)12ln11.(3) a时，f(x)x2lnx，g(x)2x.当x时，f(x)2x0，g(x)在上为增函数，且g(x)g1，且g(x)g0，要使不等式f(x)mg(x)在x上恒成立，当x时，m为任意实数，当x时，m，而minln(4e)，所以mln(4e)8.（2010湖北） 设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1) 若f(0)1，求a的取值范围；(2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力解：(1) 若f(0)1，则a|a|1a1.(2) 当xa时，f(x)3x22axa2，f(x)min当xa时，f(x)x22axa2，f(x)min综上可得f(x)min(3) x(a，)时，h(x)1得3x22axa210，4a212(a21)128a2.当a或a时，0，x(a，)；当a时，0，得：讨论得：当a时，解集为(a，)；当a时，解集为；当a时，解集为.1. 或解析：由渐近线方程为3x2y0知或.2. 0，)解析：f(x)2得0x1或x1.3. a解析：分a0和a0两种情况讨论4. 2解析：当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2lnx0，解得x100，所以已知函数有两个零点5. 解：(1) f(x)x3mx2nx， f(x)x22mxn.又 g(x)f(x)2x3x2(2m2)xn3在x2处取极值，则g(2)2(2)(2m2)0m3，又在x2处取最小值5.则g(2)(2)2(2)4n35n2， f(x)x33x22x.(2) 要使f(x)x3mx2nx单调递减，则f(x)x22mxn0.又递减区间长度是正整数，所以f(x)x22mxn0两根设为a，b(ab)即有：ba为区间长度又ba2(m，nN)又ba为正整数，且mn10，所以m2，n3或m3，n5符合6. (1) 证明：f(x)(x2bx1) x1时，h(x)0恒成立， 函数f(x)具有性质P(b)(2) 解：设(x)x2bx121，(x)与f(x)的符号相同当10，2b2时，(x)0，f(x)0，故此时f(x)在区间(1，)上递增；当b2时，对于x1，有f(x)0，所以此时f(x)在区间(1，)上递增；当