电磁感应中的矩形线圈模型类问题

第 1 页 共 10 页 电磁感应与力学规律的综合应用三电磁感应与力学规律的综合应用三 教学目标 教学目标 一 知识与技能 1 综合应用电磁感应等电学知识解决矩形线圈切割磁感线运动的综合问题 2 培养学生分析解决综合问题的能力 二 过程与方法 通过矩形线圈切割磁感线运动的综合问题的学习 掌握运用理论知识探究问题的方法 三 情感 态度与价值观 通过电磁感应中 双杆 类问题的学习 培养学生对不同事物进行分析 找出共性与个性 的辩证唯物主义思想 教学重点 教学重点 矩形线圈切割磁感线的运动问题 教学难点 教学难点 1 应用牛顿第二定律解决矩形线圈切割磁感线运动的问题 2 应用动量定理 动量守恒定律解决矩形线圈切割磁感线的运动问题 3 利用能的转化和守恒定律及功能关系研究矩形线圈在电磁感应过程中的能量转化 问题 教学方法 教学方法 讲练结合 计算机辅助教学 教学过程 教学过程 例 1 如图所示 在光滑的水平面上 有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为 L 的区域内 有一 个边长为 a a L 的正方形闭合线圈以初速 v0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为 v v L 磁场的磁感应强度为 B 5T 方向与线框 平面垂直 今线框从距磁场上边界 h 30cm 处自由下落 已知线框的 dc 边进入磁场后 ab 边到达上边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一 阶段的最大值 问从线框开始下落到 dc 边刚刚到达磁场下边界的过程中 磁场作用于线框的安培力做的总功是多少 g 10m s2 解析 解析 线框达到最大速度之前所受的安培力 F 随速度 v 的 R vLB 22 变化而变化 所以直接求解安培力做的总功较为困难 而用能量守恒的思想便可迎刃而解 设线框的最大速度为 vm 此后直到 ab 边开始进入磁场为止 线框做匀速直线运动 此过 程中线框的动能不变 由 mg 解得 vm 2m s R vLB m 22 22L B mgR 全部进入后 无安培力 因此只需考虑从开始下落到刚好全部进入时 这段时间内线框因 克服安培力做功而损失的机械能为 mg h L 0 2 J 2 2 1 m mv 所以磁场作用于线框的安培力做的总功是 0 2J 例 6 如图所示 将边长为 a 质量为 m 电阻为 R 的正方形导线框竖直向上抛出 穿过宽度 为 b 磁感应强度为 B 的匀强磁场 磁场的方向垂直纸面向里 线框向上离开磁场时的速度刚 好是进人磁场时速度的一半 线框离开磁场后继续上升一段高度 然后落下并匀速进人磁 场 整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力 f 且线框不发生转 动 求 1 线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度V2 2 线框在上升阶段刚离开磁场时的速度V1 3 线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q 解析 解析 1 由于线框匀速进入磁场 则合力为零 第 4 页 共 10 页 有mg f 解得v R vaB 22 22 aB Rfmg 2 设线框离开磁场能上升的最大高度为h 则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中 mg f h mg f h 2 1 2 1 mv 2 2 2 1 mv 解得 v1 2 v fmg fmg 22 aB Rfmgfmg 3 在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程中 根据能量守恒定律可得 Qabmgmvvm 2 1 2 2 1 2 1 2 1 解得 Q 2 3 44 2 abmg aB Rfmgfmgm 例 7 如图所示 在倾角为口的光滑斜面上 存在着两个磁感应强度大小均为 B 的匀强磁场 区域 磁场方向垂直斜面向下 区域 磁场方向垂直斜面向上 磁场宽度均为 L 一个质量为 m 电阻为 R 边长也为 L 的正方形线框 由静止开始下滑 沿斜面滑 行一段距离后 ab 边刚越过 ee 进入磁场区域工时 恰好做匀速直线运动 若 当 ab 边到达 gg 与 ff 的中间位置时 线框又恰好做匀速直线运动 求 1 当 ab 边刚越过 ee 进入磁场区域 I 时做匀速直线运动的速度 v 2 当 ab 边刚越过 ff 进入磁场区域 时 线框的加速度 a 3 线框从 ab 边开始进入磁场 至 ab 边到达 gg 与 ff 的中间位置的过 程中产生的热量 解析解析 1 正方形线框的 ab 边刚越过 ee 线后即作匀速运动 此时线框受力平衡 有 mgsin BIL 这里 联解两式可得线框的 ab 边刚越过 ee 线后即作匀速运动的 R BLv R E I 速度 22 sin LB mgR v 2 在 ab 边刚越过 ff 线时 线框中产生的总感应电动势为 E 2BLv 此时线框的加速度可 由牛顿第二定律 并结合 v 和 E 的表达式求得 sin3sin 2sin ggL mR E Bg m F a 3 设线框的 ab 边再次作匀速运动时的速度已变为 v 由平衡关系有 L R BLv Bmg 2 2sin 由此可求得 最后由能量关系便可求得v LB mgR v 4 1 4 sin 22 44 2222 22 32 sin15 sin 2 3 2 1 2 1 sin 2 3 LB Rgm mgLmvmvLmgQ 第 5 页 共 10 页 例 8 磁悬浮列车的原理如图所示 在水平面上 两根平行直导轨间有竖直方向且等间距的匀 强磁场 B1 B2 导轨上有金属框 abcd 金属框的面积与每个独立磁场的面积相等 当匀强磁场 B1 B2同时以速度 v 沿直线导轨向右运动时 金属框也 会沿直线导轨运动 设直导轨间距为 L 0 4m B1 B2 1T 磁场运动速度为 v 5m s 金 属框的电阻为 R 2 试求 1 若金属框不受阻力时 金属框如何运动 2 当金属框始终受到 f 1N 的阻力时 金属框相对于地面的速度是多少 3 当金属框始终受到 1N 的阻力时 要使金属框维持最大速度 每秒钟需要消耗多少能量 这些能量是谁提供的 解析解析 1 此题的难点在于存在交变磁场 首先分析 ac 和 bd 边产生的感应电动势 由于 磁场方向相反 且线圈相对于磁场向左运动 因此 在如图位置的电动势方向相同 逆时针 根据左手定则 ac 和 bd 边受到的安培力都向右 所以金属框做变加速运动 最终做匀速直线运 动 2 当金属框受到阻力 最终做匀速直线运动时 阻力与线框受到的安培力平衡 设此时 金属框相对于磁场的速度为 v 则 2 22 Blv fBIlBl R 相 222 1 2 3 125 44 1 0 4 fR vm s B L 相 所以金属框相对于地面的速度为 0 53 125 1 875m svvv 地相 3 要使金属框维持最大速度 必须给系统补充能量 一方面 线框内部要产生焦耳热 另一方面 由于受到阻力 摩擦生热 设每秒钟消耗的能量为 E 这些能量都是由磁场提供 由于摩擦每秒钟产生的热量 1 1 1 875 1 1 875Qfsfv tJ 地 每秒钟内产生的焦耳热 222 2 22 0 4 3 125 2 1 3 125 2 Blv QI RtRtJ R 相 12 1 8753 1255QQQJ 根据能量守恒可知这些能量都是由磁场提供 例9 如图所示 间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为 导轨光滑且电 阻忽略不计 场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直 磁场区域的宽度为d1 间距为 d2 两根质量均为m 有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上 并与导轨垂直 设重力加速度 为g 1 若a 进入第2个磁场区域时 b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域 求b 穿过第1 个磁场区域过程中增加的动能 Ek 2 若a 进入第2个磁场区域时 b 恰好离开第1个磁场区域 此后a 离开第2个磁场区域 第 6 页 共 10 页 时 b 又恰好进入第2个磁场区域 且a b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均 相 求b 穿过第2个磁场区域过程中 两导体棒产生的总焦耳热Q 3 对于第 2 问所述的运动情况 求a 穿出第k 个磁场区域时的速率 v 解析 解析 1 a 和 b 不受安培力作用 由机械能守恒定律知 sin 1 mgdEk 2 设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为 v1刚离开无磁场区域时的速度为 v2 由能量守恒知 在磁场区域中 sin 2 1 2 1 1 2 2 2 1 mgdmvQmv 在无磁场区域中 sin 2 1 2 1 2 2 1 2 2 mgdmvQmv 解得 sin 21 ddmgQ 3 在无磁场区域 根据匀变速直线运动规律 sin 12 gtvv 且平均速度 t dvv 212 2 有磁场区域 棒 a 受到的合力 BIlmgF sin 感应电动势 感应电流 Blv R I 2 解得 v R lB mgF 2 sin 22 根据牛顿第二定律 在 t 到 t t 时间内 t m F v 则有 t mR vlB gv 2 sin 22 解得 1 22 21 2 sind mR lB gtvv 联立 13 式 解得 2 2 21 1 2 2 1 4 sin 8 mgRdB l d vv B l dmR 第 7 页 共 10 页 练习练习 1 如图 abcd 是一闭合的小金属线框 用一根绝缘细杆挂在固定点 O 使金属线框在绕竖直线 OO 来回摆动的过程中穿过水平方向的匀强磁场区域 磁感线方向跟线框平面垂直 若悬点摩 擦和空气阻力均不计 则下列说法中正确的是 A 线框进入或离开磁场区域时 都产生感应电流 而且电流的方向相反 线框进入磁场区域后越靠近 OO 线时速度越大 因而产生的感应电流也 越大 线框开始摆动后 摆角会越来越小 摆角小到某一值后将不再减小 线框摆动过程中 它的机械能将完全转化为线框电路中的电能 A B C D 解析 解析 线框进入磁场时 增大 而离开磁场时 减小 完全进入磁场后 不变 故 对 错 当摆角小到线框仅在磁场中摆动时 不变 机械能将保持不变 故 对 错 2 用同样的材料 不同粗细导线绕成两个质量面积均相同的正方形线圈 和 使它们从离有 理想界面的匀强磁场高度为 h 的地方同时自由下落 如图 2 所示 线圈平面与磁感线垂直 空 气阻力不计 则 A A 两线圈同时落地 线圈发热量相同 B 细线圈先落到地 细线圈发热量大 C 粗线圈先落到地 粗线圈发热量大 D 两线圈同时落地 细线圈发热量大 3 如图所示 在平行于地面的匀强磁场上方 有两个相同金属材料制成的边长相同的正方形线 圈 a b 其中 a 的导线比 b 的粗 它们从同一高度自由落下 则 A A 它们同时落地 B a 先落地 C b 先落地 D 无法判断 解析 解析 两线圈 a b 从同一高度自由落下 进入磁场时速度相同 设该速度为 v 此时的加速度 设为 a 由牛顿第二定律得 mg R vlB 22 ma a g mR vlB 22 由于两线圈边长相同 仅导线横截面积 S 不同 而 m S R S 1 故 a 与 m R 及 S 无关 所以 a 相同 从而可判断进入磁场的过程中和进入磁场后的各个时刻 a b 两 线圈的速度和加速度均相同 故它们同时落地 A 正确 也可将粗线圈视为若干个细线圈捆在一起 其运动情况必然与细线圈的运动情况相同 4 如图所示 在光滑的水平面上 有竖直向下的匀强磁场 分布在宽度为L的区域里 现有一边 长为a as 线圈电阻为R 以速度v匀速向右通 过有界匀强磁场1区和3区 求 1 ab边刚进入2 3区域时感应电流I的大小和方向 2 从1区到3区的过程中拉力所做的功 解析 解析 1 由法拉第电磁感应定律 线圈从 1 区到 2 区时 方向顺时针 ab 边刚进入 3 区时 ab cd 均切割磁力线 第 10 页 共 10 页 所以 方向 顺时针 2 线圈从 1 区到 3 区的过程中位移分三个部分 在 1 3 区位移为 s 在 2 区位移为 线圈匀速移动 外力克服安培力做功 最后转化为线圈内能 则 8 如图所示 正方形线圈边长为 a 总电阻为 R 以速度 v 从左至右匀速穿 过两个宽均为 L L a 磁感强度大小均为 B 但方向相反的匀强磁场区域 运动方向与磁场一边 磁场边界及磁场方向垂直 这一过程中线圈中感应电 流的最大值为 全过程线圈中产生的内能为 9 如图所示 垂直纸面向外的磁场强弱沿 y 轴方向不变 沿 x 轴方向均 匀增加 变化率为 1 T m 有一长 bc 0 2m 宽 ab 0 1m 的矩形线框 abcd