《黄金分割》专题练习

安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 1 黄金分割黄金分割 专题练习专题练习 一 选择题一 选择题 1 已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点 则 AC AB 为 A B C D 或 2 15 2 53 2 15 2 15 2 53 2 若黄金数 则的值是 1y yx y x A B C D 5 5 2 1 2 5 5 3 把 2 米的线段进行黄金分割 则分成的较短的线段长为 A B C D 53 15 51 53 4 美是一种感觉 本应没有什么客观的标准 但在自然界里 物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考 在数学上 这个比例称为黄金分割 在人体躯干 由脚底至肚脐的长度 与身高的比例上 肚脐是 理想的黄金分割点 也就是说 若此比值越接近 0 618 就越给别人一种美的感觉 如果某女士身高为 1 60m 躯干与身高的比为 0 60 为了追求美 她想利用高跟鞋达到这一效果 那么她选的高跟鞋的高度约为 A 2 5cm B 5 1cm C 7 5cm D 8 2cm 5 如图 在正五边形 ABCDE 中 对角线 AD AC 与 EB 分别相交于点 M N 下列命题 四边形 EDCN 是菱形 四边形 MNCD 是等腰梯形 AEN 与 EDM 全等 AEM 与 CBN 相似 点 M 是线段 AD BE NE 的黄金分割点 其中假命题有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 4 个 二 填空题二 填空题 1 C 是 AB 的黄金分割点 则 BC AC 2 P 为线段 AB 10cm 的黄金分割点 则 AP cm 保留两个有效数字 3 当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比 0 618 时 身材是最完美的 一位身高为 165cm 肚脐到 头顶高度为 65cm 的女性 应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美 精确到 1cm 4 如图 节目主持人现站在舞台 AB 的一端 A 点 在主持节目时 站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 2 若舞台 AB 长 20 米 主持人要想站在舞台的黄金分割点处 她应走到距 A 点至少 米处 如果 向 B 点再走 米 也处在舞台的黄金分割点处 结果精确到 0 1 米 5 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E 是边 BC 上的黄金分割点 且 BE CE AE 与 BD 相交于点 F 那么 BF FD 的 值为 6 如图 在 ABC 中 点 D 是 AB 的黄金分割点 AD BD BC AD 如果 ACD 90 那么 tanA 三 三 解答下列各题解答下列各题 1 在人体躯干 脚底到肚脐的长度脚底到肚脐的长度 与身高的比例上 肚脐是理想的黄金分割点 即比例越接近 0 618 越给人以 美感 张女士的身高为 1 68 米 身体躯干 脚底到肚脐的高度 为 1 02 米 那么她应选择约多大的高跟鞋看 起 来更美 精确到十分位 2 一般认为 如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割 则这个人好看 如图 是一个参加 空姐选拔的选手的身高情况 那么她应穿多高的鞋子才能好看 精确到 1cm 参考数据 黄金分割比为 2 236 2 15 5 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 3 3 要设计一座 2m 高的维纳斯女神雕像 如图 使雕像的上部 AC 肚脐以上 与下部 BC 肚脐以下 的高度比 等于下部与全部的高度比 即点 C 肚脐 就叫做线段 AB 的黄金分割点 这个比值叫做黄金分割比 试求出 雕 像下部设计的高度以及这个黄金分割比 结果精确到 0 001 4 如图 在 ABC 中 AB AC A 36 1 2 请问点 D 是不是线段 AC 的黄金分割点 请说明理由 5 如图 ABC 中 AB AC BAC 108 在 BC 边上取一点 D 使 BD BA 连接 AD 求证 1 ADC BAC 2 点 D 是 BC 的黄金分割点 6 如图 1 点将线段分成两部分 如果 那么称点为线段的黄金分割点 CAB ACBC ABAC CAB 某研究小组在进行课题学习时 由黄金分割点联想到 黄金分割线 类似地给出 黄金分割线 的定义 直 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 4 线 将一个面积为的图形分成两部分 这两部分的面积分别为 如果 那么称直线 为该图lS 1 S 2 S 12 1 SS SS l 形的黄金分割线 1 研究小组猜想 在中 若点为边上的黄金分割点 如图 2 则直线是的黄ABC DABCDABC 金 分割线 你认为对吗 为什么 2 请你说明 三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线 3 研究小组在进一步探究中发现 过点任作一条直线交于点 再过点作直线 交CABEDDFCE AC 于点 连接 如图 3 则直线也是的黄金分割线 请你说明理由 FEFEFABC 4 如图 4 点 E 是的边 AB 的黄金分割点 过点 E 作 EF AD 交 DC 于点 F 显然直线 EF 是ABCD ABCD 的黄金分割线 请你画一条的黄金分割线 使它不经过各边黄金分割点 ABCDABCD 7 2013 黄石 如图 1 点 C 将线段 AB 分成两部分 如果 那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点 ACBC ABAC 某数学兴趣小组在进行课题研究时 由黄金分割点联想到 黄金分割线 类似地给出 黄金分割线 的定 义 直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分 这两部分的面积分别为 S1 S2 如果 那么称直线 12 1 SS SS l 为该 图形的黄金分割线 1 如图 2 在 ABC 中 A 36 AB AC C 的平分线交 AB 于点 D 请问点 D 是否是 AB 边上的黄金分 割点 并证明你的结论 2 若 ABC 在 1 的条件下 如图 3 请问直线 CD 是不是 ABC 的黄金分割线 并证明你的结论 3 如图 4 在直角梯形 ABCD 中 D C 90 对角线 AC BD 交于点 F 延长 AB DC 交于点 E 连接 EF 交梯形上 下底于 G H 两点 请问直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 并证明你的结论 8 已知线段 AB 求作线段 AB 的黄金分割点 C 使 AC BC 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 5 相似形相似形 专题练习答案专题练习答案 一 选择题一 选择题 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 二 填空题二 填空题 1 或 2 15 2 15 2 6 2 或 3 8 3 解 设她应选择高跟鞋的高度是 xcm 则618 0 165 65165 x x 解得 x 5cm 故答案为 5 4 7 6 4 8 5 2 15 6 解 点 D 是 AB 的黄金分割点 AD BD AD2 AB BD 2 15 AB AD BC AD BC2 AB BD BC AB BD BC 又 B B BCD BAC 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 6 2 15 AB AD AB BC AC CD 在 ACD 中 ACD 90 tanA 2 15 AC CD 故答案为 2 15 三 三 解答下列各题解答下列各题 1 设张女士应该选择 xcm 高的高跟鞋 则 解得 4 8 cm 618 0 168 102 x x x 2 解 设应穿 xcm 高的鞋子 根据题意 得 解得 x 10cm 2 15 95 65 x 3 解 设维纳斯女神雕像下部的设计高度为 xm 那么雕像上部的高度为 2 x m 依题意 得 2 2x x x 解得 不合题意 舍去 236 1 51 1 x51 1 x 经检验是原方程的根 51 1 x 答 维纳斯女神雕像下部的高度为 1 236m 故这个黄金分割比为 618 0 2 15 4 解 D 是 AC 的黄金分割点 理由如下 在 ABC 中 AB AC A 36 ABC ACB 180 36 72 2 1 1 2 1 2 ABC 36 2 1 在 BDC 中 BDC 180 2 C 72 C BDC BC BD A 1 AD BC ABC 和 BDC 中 2 A C C ABC BDC CD BC BD AB 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 7 又 AB AC AD BC BD CD AD AD AC AD2 AC CD 即 D 是 AC 的黄金分割点 5 证明 1 AB AC BAC 108 B C 36 BD BA BAD 72 CAD 36 CAD B C C ADC BAC 2 ADC BAC AC BC CD AC AC2 BC CD AC AB BD BD2 BC CD 点 D 是 BC 的黄金分割点 6 1 直线是的黄金分割线 理由如下 CDABC 设的边上的高为 ABC ABh 1 2 ADC SAD h A 1 2 BDC SBD h A 1 2 ABC SAB h A 所以 ADC ABC SAD SAB BDC ADC SBD SAD 又因为点为边的黄金分割点 所以有 因此 DAB ADBD ABAD ADCBDC ABCADC SS SS 所以 直线是的黄金分割线 CDABC 2 因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 此时 即 12 1 2 sss 所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线 12 1 ss ss 3 因为 所以和的公共边上的高也相等 DFCE DEC FCE CE 所以有 DECFCE SS 设直线与交于点 所以 EFCDG DGEFGC SS 所以 ADCFGCAFGD SSS 四边形 DGEAEFAFGD SSS 四边形BDCBEFC SS 四边形 又因为 所以 ADCBDC ABCADC SS SS BEFCAEF ABCAEF SS SS 四边形 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 8 因此 直线也是的黄金分割线 EFABC 4 画法不惟一 现提供两种画法 画法一 如答图 1 取的中点 再过点作一条直线分别交 于 点 则直EFGGABDCMN 线就是的黄金分割线 MNABCD 画法二 如答图 2 在上取一点 连接 再过点作交于点 连接DFNENFFMNE ABM MN 则直线就是的黄金分割线 MNABCD F C B D EA N M G 第 6 题答图 1 F C B D EA N M 第 6 题答图 2 7 解 1 点 D 是 AB 边上的黄金分割点 理由如下 AB AC A 36 B ACB 72 CD 是角平分线 ACD BCD 36 A ACD AD CD CDB 180 B BCD 72 CDB B BC CD BC AD 在 BCD 与 BCA 中 B B BCD A 36 BCD BCA BC BD AB BC AD BD AB AD 点 D 是 AB 边上的黄金分割点 2 直线 CD 是 ABC 的黄金分割线 理由如下 设 ABC 中 AB 边上的高为 h 则 S ABC AB h S ACD AD h S BCD BD h 2 1 2 1 2 1 S ACD S ABC AD AB S BCD S ACD BD AD 由 1 知 点 D 是 AB 边上的黄金分割点 AD BD AB AD S ACD S ABC S BCD S ACD CD 是 ABC 的黄金分割线 3 直线不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 理由如下 BC AD EBG EAH EGC EHD EH EG AH BG EH EG HD GC 安徽滁州市第五中学胡大柱安徽滁州市第五中学胡大柱 打打造造中中国国一一流流的的学学习习资资料料 9 即 HD GC AH BG HD AH GC BG 同理 由 BGF DHF CGF AHF 得 即 AH GC HD BG AH HD GC BG 由 得 AH HD HD AH AH HD BG GC 梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等 高也相等 S梯形 ABGH S梯形 GCDH S梯形 ABCD 2 1 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄