代数(equation).doc

代数1. Use letter symbols and distinguish their different roles in algebra 7年级l Use, read and write, spelling correctly: algebra, unknown, symbol, variable equals brackets evaluate, simplify, substitute, solve term, expression, equation squared commutative1. 强调未知数的思想, 会解下面这类问题: (1) 5+=17(2) 3-5=7(3) 如果+=4, 那么,可以是哪些数?(4) 两个数的积是24, 这两个数是多少?2. 知道在代数中, 通常用字母表示一个数, 并开始区分字母的不同用处. 如:在方程3n+2=11中, n是一个特别的未知数, 而在a+b=12中, a和b可以取许多不同的值.3. 认识代数规则, 如:(1) 3n或者n3可以看作是 “3个n”, 或者n+n+n, 并且可以缩写为3n;(2) 在表达式3n中, n可以取任意的值, 但如果表达式的值已知, 那么就形成了一个方程. 例如, 如果3n是18, 那么对应的方程就是3n=18.4. 恰当而正确地运用方程符号.(1) 知道: 如果a=b, 那么b=a; a+b=c可以写成c=a+b; 等(2) 在写运算步骤时, 避免如下的错误: 38+29=38+30=68-1=675. 根据的背景的意义, 用字母符号写出表达式:(1) 一个数加7: n+7(2) 一个数减4: n-4(3) 4减去一个数: 4-n(4) 一个数乘以2再加上5: (n2)+5 或者2n+5(5) 一个数除以2: n2, 或者n/2(6) 一个数加7再乘以10: (n+7) 10, 或者10(n+7)(7) 一个数乘以它自己: nn, 或者n2.6. 理解下列表达式的差异: 2n和n2, 3(c+5)和3c+5, n2和2n, 2n2和(2n)2.8年级Use vocabulary from previous year and extend to: algebraic expression, formula, function partition, multiply out cubed, to the power ofl Know that an algebraic expression is formed from letter symbols and numbers, combined withoperation signs such as +, , , ( ), and /.1. 在不同形式上运用符号, 并能够区分符号的不同意义. 如:(1) 在方程 4x+3=47中, x是一个特殊的未知数;(2) 在公式V=IR中, V,I和R是和这个公式有关的变量; 在这个公式中, 知道了其中两个变量的值, 就可以计算第三个变量的值;(3) 在函数y=3x-4中, 对于任意的一个x的值, 都可以计算相应的y的值.2. 知道乘除法在代数式中的表示法. 如:(1) 2n可以写成2n;(2) pq可以写成pq;(3) a(b+c)可以写成a(b+c);(4) (x+y) z可以写成.3. 恰当和正确地使用等号.(1) 知道符号 “=”表示相等.(2) 避免错误地使用等号, 如56+37=56+30=86+7=93.(3) 避免只是用等号表示最后的结果, 如32+7=13.4. 开始扩展等号的意义, 包括两边都有代数式的方程. 如(1) 认识不同形式的方程, 如 a+b=c+d, 8=15-x可以写成c+d=a+b和15-x=8.(2) 知道类似2a+2的表达式和2(a+1)永远有相同的值.9年级Use vocabulary from previous years and extend to: identity, identically equal, inequality subject of theformula common factor, factorise index law linear, quadratic, cubic and the identity sign ().1. 解释方程,公式和函数的区别. 如(1) 在方程5x+4=2x-34中, x是一个特定的未知数;(2) 在公式v=u+at中, v, u a和t是与这个公式相关的变量. 一旦知道其中的三个变量的值, 那么就可以计算第四个变量的值.(3) 在函数y=8x+11中, 对于x的任意一个给定的值, 都可以计算y的值.2. 知道不等式和排序是关于两个表达式大小的命题. 如(1) x1表示x比1小或者等于1;(2) x2表示x比2大或者等于2.3. 知道恒等式的意义及其相应的符号 “”, 如4(a+1) 4a+4是恒等式, 因为4(a+1) 和4a+4对于任意的a总是有相同的值.7年级Know that algebraic operations follow the same conventions and order as arithmetic operations; use index notation and the index lawsBegin to generalise from arithmetic that multiplication anddivision have precedence over addition and subtraction.1. 和算术一样, 在一个代数式中, 乘除法总是优先于加减法. 如在2+5a中, 应该先算的是乘法.2. 知道在代数中, 交换律和结合律仍然成立. 如(略)3. 知道加法和减法是互为逆运算, 乘法和除法也是互为逆运算. 如(1) 运算 “乘5加6”的逆运算是 “减6除5”.(2) 有一个数, 乘以6再加上4, 等于24. 这个数是多少?8年级Recognise that algebraic operations follow the same conventions and order as arithmetic operations.1. 知道运算的优先级: 先口号, 后乘除, 再加减. 如2. 知道小的正数指数的意义. 如(1) nn, nnn, nnnn分别可以写成n2, n3, n4.(2) 化简: 2x2+3x2, n2n3, p3p2.3. 理解和运用逆运算. 如下面表示的是同一个方程:(1) a+b=c, b+a=c, c-a=b, c-b=a;(2) ab=c, ba=c, b=c/a, a=c/b.4. 利用图形表示关系. 如可将关系式 y=2r+w, w=y-2r, r=(y-w)/2表示成:5. 学会运用逆运算. 例: 如果m/4-7=n, 则m=4(n+7). 并利用电子数据表验证这一结果.9年级Apply simple instances of the index laws for multiplication and division of small integer powers.1. 指数运算律的简单运用. 如(1) n2n3=n2+3=n5;(2) p3p2=p3-2=p2. 在正整数指数的运算中会用指数运算律的一般形式. 如papb = pa+b papb = pa-b (pa)b = pab7年级Simplify or transform algebraic expressionsl Simplify linear expressions by collecting like terms; begin to multiply a single term over a bracket.1. 通过拆分一个数字, 可将一个乘法分解为一系列的步骤. 如可将38拆分为30+8, 由此387=(30+8) 7=307+87 30 8 7 210 56并能将上述结果一般化:(a+b) c = ac + bc = ac + bc2. 知道在一个问题中, 字母表示的是一个数.(1) 化简代数式: a+a+a = 3a; 3n+2n = 5n; x+6+2x = 3x+6; 3(n+2) = 3n+6; 2a/a = 2; (2) 在下面的 “金字塔”中, 每个方框中的数都是它下面两个数的和. 用最简单的形式写出最上面的方框中的数; ? m+n n+p m n p(3) 下面是一些代数卡: n2 2+n n+2 n2 n 2n n-2 n+n n3 2n-n(1) 哪张卡的结果和n/2一样?(2) 哪张卡总是等于nn?(3) 哪两张卡总是等于2n?(4) 哪三张卡的和总是等于5n?(5) 写一张新卡使它的结果和3n+2n相同.3. 画一个图形使它的周长等于6x+12.4. 编一个问题, 使它的答案是3a+5b.7年级l Simplify or transform expressions by taking out single-term common factors.1. 理解分配律的一般形式及应用.2. 知道在一个问题中, 字母表示一个数.(1) 化简: 1) 3a+2b+2a-b;2) 4x+7+3x-3-x;3) 3(x+5);4) 12-(n-3);5) m(n-p);6) 4(a+2b)-2(2a+b).(2) 用不同的形式写出下图中所有线段的和, 并化简. a b(3) 在幻方中, 各行各列及对角线上的数字之和都相等. 证明下面的图形是一个幻方. m-p m+p-q m+q m+p+q m m-p-q m-q m-p+q m+p(4) 下面方框中的数均是其下面的两和数的和. 求出?所表示的数. ? 3t+6u 2u-3t ? 2u -3t8年级l Simplify or transform linear expressions by collecting like terms; multiply a single term over a bracket.1. 化简:(1) 3(x-2)-2(4-3x);(2) *(n+1)2-(n+1)+12. 因式分解:(1) 3a+6b=3(a+2b);(2) x3+x2+2x=x(x2+x+2).3. 用最简单的形式写出下图中问好表示的代数式: 3b+1 2a+2 5a+4 ? b ?4. 一个矩形的面积是2x2+4x, 它的长宽分别可以是多少? 如果一个矩形的周长是2x2+4x呢?5. 证明三个连续整数的和一定是3的倍数.设这三个整数分别是n, n+1和n+2则 和=n+(n+1)+(n+2) =3n+3 =3(n+1), 这是3的倍数.6. 想一个数, 将它乘以3, 加上15, 再除以3, 减去5, 记下所得的结果. 然后, 重新再试一个数. 你能发现什么规律吗? 用代数的方法证明你的发现.7. *如果x是一个整数, 那么x2-x的最小值是多少? 如果x不一定是整数呢?8. *证明: 对于任意的整数, x3-x+9一定被3整除.8年级l Explore general algebraic relationships.1. 通过用不同方式分割一个矩形, 可以得到阴影部分面积的各种等价的代数式, 并在此基础上进行化简. 如:50-2a 102(10-a)+303a+5(10-a) 2 5 a2. 利用图形计算器证明: 对于任意的x, 等式(x+4)-(x-1)=5恒成立.3. 在图形计算器上画两条件直线: y = x + 4和y = x 1, 并证明: 它们之间的距离恒等于5.9年级l Add simple algebraic fractions.1. 说明下面的解法为什么是错误的?2. 利用分配律计算: (1) 5337 = (50+3)(30+7) =5030+330+507+37(2) 5729 = (50+7)(30-1) =5030+730-501-713. 利用下面的恒等式:(1) (a + b)( c + d ) = ac+bc+ad+bd; a b(2) (a + b)(a + b ) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 c ac bc ac+bc(3) (a + b)(c d ) = ac+bc+ad+bd; d ad bd ad+bd(4) (a + b)(a b ) = a2 ab + ab b2 = a2 b2 ac+bc+ad+bd4. 展开下面的代数式, 证明它们是等价的, 并通过分割所给的图形进行说明.(1) a2 b2 ;(2) a( a b ) + b( a b ); b(3) 2b( a b ) + ( a b ) ( a b ); b(4) ( a + b ) ( a b ). a a5. 如图是由四个斜边为c的直角三角形所围成的图形. 证明其内部是一个边长为c的正方形, 外部是一个边长为a+b的正方形. 并利用这个图形证明勾股定理:c2 = (a + b)2 4(1/2ab ) a b =(a2 + 2ab + b2) 2ab b c =a2 + b2. c a a c c b b a6. 如图, 在一个房间里铺一块地毯(阴影部分). 通过分割矩形的方法用各种等价的代数式表示房间没有被地毯覆盖的部分的面积. 如:A = 2xy + b(a x ),并展开这些代数式, 以验证它们是等价的.7. 证明两个奇数的积仍然是奇数.8. 在下面的图形中, h, j, k可以是任何整数. 空格中的每一个数都等于它下面两个数的和. 证明: 最顶端空格中的数一定是偶数. 并考虑: 如果j换成j+1, 或者2h换成h, 会发生什么变化? ? ? ? 2h j 2k9. 证明: (n + 1)2 = n2 + 2n + 1. 并利用这一结果计算912, 8012.7年级Construct and solve linear equations, selecting an appropriate method Use, read and write, spelling correctly: equation, solution, unknown, solve, verify, prove, therefore ().Construct and solve simple linear equations with integer coefficients, the unknown on one side only.Choose a suitable unknown and form expressions leading to an equation. Solve the equation by using inverse operations or other mental or written methods.1. 有一个数, 减去7后等于16. 这个数是多少?2. 50张卡片的高度是12厘米, 每张卡片有多厚?3. 在下面的图形中, 每一个格子中的数都等于它上面两个数的和. 求问号表示的数. 31 ? 45 ? ? 1824. 有一个数, 乘以6, 加上1, 等于37. 求这个数.5. 两个盒子里共有26块饼干, 第二个盒子比第一个盒子少8块饼干. 每个盒子里各有多少块饼干?6. 已知一个三角形的三个内角分别是a, a+10, a+20. 求a的值.7. 解下面的一次方程.(1) x+3 = 5;(2) 3m = 158年级Use vocabulary from previous year and extend to: linear equationConsolidate forming and solving linear equations with an unknown on one side.Choose a suitable unknown and form expressions leading to an equation. Solve the equation by removing brackets, where appropriate, collecting like terms and using inverse operations.1. 有376块石头, 堆成三堆. 其中, 第二堆比第一堆多24块, 第三堆是第二堆的两倍. 求每堆的石头数.2. 在下面的图形中, 每个方框中的数都等于同一条边上的两个圆圈中的数的和. 求A,B,C所表示的数. A 20 18 B 28 C3. 在马克的下一个生日, 他的年龄的一半是16. 他现在有几岁?4. 解下列方程.(1) 5x = 7;(2) 4(b-1)+ 5(b+1) = 100;9年级Use vocabulary from previous years and extend to: inequality, region and, orConstruct and solve linear equations with negative signs anywhere in the equation, negative solutionSolve linear equations using inverse operations, by transforming both sides in the same way or by othermethods.1. 用不同方法解决 “我想一个数”的问题, 并考虑什么方法更有效, 如逆算法等.我想一个数, 加上3, 乘以4, 再加上7, 除以9, 最后再乘以15, 结果是105. 求我想的这个数.2. 杰克, 乔和吉姆都是水手. 他们的船失事后漂流在一个荒岛上. 三个人和一只猴子一起分享185根香蕉. 其中, 杰克比吉姆多吃了5根, 乔比吉姆多吃了3根, 猴子吃了6根. 每位水手各吃了几根?3. 一个矩形的长是宽的3倍, 其周长是24厘米. 求它的面积.4. 已知矩形的面积是10平方厘米, 求x的值, 并进一步求出矩形的长和宽. 4x+2 10x 1 5. 在一个三角形中, B等于A的四分之三, C等于A的二分之一. 求这三个旧都的大小.6. 解下列方程.(1) 3c 7 = - 13; (2) 1.7m2 = 10.625;(3) 4(z + 5) = 8;(4) 4(b 1 ) 5( b + 1) = 0;(5)7年级Construct and solve linear equations, selecting an appropriate method (continued)Explore ways of constructing simple equations to express relationships, and begin to recognise equivalent statements. For example:1. 在下面的图形中, A, B, C, D各表示什么数时, 每条边上的两个圆圈中的数之和等于方框中的数. 你能找到A, B, C, D之间的关系吗? A 7 B 4 12 C 9 D8年级1. 探究解决问题的其他途径. 如2(x+5) = 36 2(x+5) = 36 x+5 = 18 2x+10 = 36x = 13 2x = 26 x = 132. 理解方程的等价变形.从数字等式开始: 52 7 = 41 + 4两边都减4 52 7 4 = 41 然后再应用于简单的方程: y = x + 4 两边加3, 得y + 3 = x + 7 两边乘以2, 得2(y +3) = 2(x + 7) 两边减d, 得2(y +3) d = 2(x + 7) d 3. 杰尔和马克有同样多的铅笔. 杰尔有整的三盒和两支散的, 马克有整的两盒和14支散的. 一整盒铅笔有多少支?4. 在下面的流程图中,有两条路径从S出发经过一系列运算后得到同样的数F. 求S的值. S -2 5 S 2 5S 7 -4 F5. 解方程(1) 3x + 2 = 2x + 5;(2) 5z 7 = 13 3z;(3) 4(n + 3) = 6(n 1 ).9年级Form linear equations (unknown on both sides) and solve them by transforming both sides in the same way. For example:1. 一个数乘以2再加上5所得的结果与23减去这个数所得的结果相同. 求这个数.2. 约翰和珍尼共有250元钱, 约翰给了珍尼50元钱后, 剩下的钱是珍尼的四倍. 约翰原有多少钱?3. 母亲和女儿的年龄的和是46, 三年以后, 母亲的年龄将是女儿的年龄的三倍. 女儿现在是几岁?4. 解方程.(1) 7(s+3) = 45 3 (12 s );(2) 3(2a 1 ) = 5(4a 1 ) 4 (3a 2 );(3) * 2(m 0.3 ) 3 (m 1.3 ) = 4(3m + 3.1);(4) *.l Solve a pair of simultaneous linear equations9年级Solve a pair of simultaneous linear equations by eliminating one variable.Know that simultaneous equations are true at the same time and are satisfied by the same values ofthe unknowns involved, and that linear simultaneous equations may be solved in a variety of ways.1. 代入法解方程组.(1) 已知x, y满足方程5x + y = 49和y = 2x, 求x, y, 并写出另一个x, y所满足的方程.(2) 解方程组 (3) 解方程组 2. 用加减法解方程组.(1) (2)(3)3. 图像法(坐标系和图像计算器)解方程组及用代数法检验.(1)4. 方程组的应用.(1) 5年后, 父亲的年龄是儿子的2倍, 13年后, 父亲和儿子的年龄之和正好是100. 求儿子的年龄;(2) 一植物园计划在一定天数内种植一定数量的树苗. 如果每天种植240棵, 那么将比预定计划少种400棵; 如果每天种植280棵, 那么将比预定计划多种200棵. 问: 该植物园在多少天内种植多少树苗?(3) 构造一个实际问题, 使得其中的变量x, y满足下面的方程组 l Solve linear inequalities in one variable, and represent the solution set on a number line; begin to solve inequalities in two variables9年级1. 解一元不等式, 并将结果在数轴上表示出来.(1) 求满足不等式 8 2n10的整数解.(2) 求满足2q 7的所有整数.(3) 在数轴上表示 2 z 3.(4) 解不等式组 , 并用数轴表示结果.2. 解二元不等式组.(1) 用三个不等式表示下面坐标系中的阴影部分. x = 2 x = 4 y y = x 4 y = 4 2 y = 2 O 2 4 x(2) 图中阴影部分的边界是y = 2和y = x2. 在下面的不等式中, 哪两个组成的不等式组表示图中的阴影部分? y y = 2 y x2 x0 y2 y 0 y 2 y0 y = x2 O xl Use systematic trial and improvement methods and ICT tools to find solutions, or approximate solutions, to non-linear equations9年级1. 用代数法解下面的非线性方程.(1) c2 + 24 = 60;(2) x2 5 = 220;(3) ;(4) .2. 利用试误, 逼近和ICT工具求方程的近似解.(1) 解下列方程, 并将结果精确到两位小数.S3 = 30; z3 z = 70; a3 + a = 50; 5.5p3 = 9.504(2) 三个连续奇数的积205143, 求这三个数.(3) 一个长方体的横截面是边长为x厘米的正方形, 高为20厘米. 求x(精确到一位小数).3. 方程和近似解的应用.(1) 将一个边长为20厘米的正方形剪去四个角后, 折成一个无盖的盒子. 问如何裁减才能使得到的盒子的容积最大(利用图像计算器求近似解). (2) 一个矩形的一条边是y, 面积是 y(y + 2) = 67.89. 求y的值. 提示: 利用下面的表格:yy+2y(y+2)81080太大(3) 根据方程y = x3 x 10 完成下面的表, 并求方程x3 x 10 = 0在2和3之间的一个近似解.l Set up and use equations to solve word and other problems involving direct proportion8年级Begin to use graphs and set up equations to solve simple problems involving direct proportion.1. 讨论正比例的实际例子.(1) 英镑和欧元的比值;(2) 公里和英里的比;2. 一个学生从家里去学校的步行速度是每2分钟走200米. 求他在下面的时间内的步行的路程.(1) 12分钟 (2) 7分钟9年级Solve problems involving proportion using algebraic methods, relating algebraic solutions to graphical representations of the equations. For example:1. 下面的表中给出了x, y的一些对应值.x123456y3.5710.51417.521(1) 在上面的表格中, x和y的对应值的比都是相等的: (2) 这时候, 我们称x和y成正比.(3) x和y的正比例关系可用代数式y = 3.5x表示;(4) x和y的正比例关系在坐标系中可用一条直线表示.2. 利用代数方法解决下面的问题.绿色的涂料可用11份的蓝色涂料和4份的黄色涂料配制而成. 要混合70升的黄色涂料, 需要多少升的蓝色涂料?3. 联系科学中的问题: 欣赏从实验中得到的数据.7年级Use formulae from mathematics and other subjectsSubstitute positive integers into simple linear expressions.1. 在下面各式中代入正整数值.(1) x + y z ; (2) 2(8 x );(3) x/2 6 ; 2. 用特殊值验证下面各式的正确性.(1) a+a+a = 3a;(2) 6n/2 = 3n;(3) 3(n+2) = 3n+6; 3. 利用图像计算器求一个代数式的值.4. 如果n是一个整数, 那么下面各式表示一组连续的奇数: 2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7, 2n+9. 当n是多少时, 上述数列等于9,11,13,15,17?5. 表达式3s+1表示摆出s个正方形所需要的火柴棒的数量. 要摆出13个正方形, 需要多少根火柴棒?8年级Substitute positive and negative numbers into linear expressions and expressions involving powers.1. 当a = 4时, 求下列代数式的值.3a2 + 4 2a2.2. 当x = 2.5时, 求下列代数式的值.4x + 3 2 3x 7(x 1 ).3. 当x = - 3 时, 求下列代数式的值. 4. 利用短的计算机程序求一个代数式的值(略).5. 一个n边形的对角线的数目是 . 求20边形的对角线的数目.6. 在下面的幻方尝试代入不同的值. 当代入的9个数恰好是1-9时, 求m, p, q的值. m p m + p q m + q m + p +q m m p q m q m p + q m + p9年级Substitute positive and negative numbers into linear expressions and positive integers into simple expressions involving powers.1. 当x = - 3 和0.1时, 分别求下面代数式的值.3x2 + 4 4x3 2x 2. 当p = 10时, 求下面各式的值.1. 下面是用火柴棒摆成的一个三角形图形. 如果在图形中有R排三角形, 那么需要的火柴棒是 (3R2 + 3R)/2根. 现在要摆17排三角形, 需要多少根火柴?2. *已知球的体积公式是, 其中球的d直径. 现在要用泥巴做成一个直径是3.6厘米的球, 需要多少泥巴(精确到你认为合适的数位).3. *当s = 1.7, t = 0.9时, 求下面两个代数式的值.7年级Explain the meaning of and substitute integers into formulae expressed in words, or partly in words, such as:1. 解释用文字表示的公式的含义, 如:(1) 天数 = 周数乘以7;(2) 便士数 = 英镑数100;2. 各种公式的进一步求值. 如(1) 将厘米化成米: m = c/100;8年级Explain the meaning of and substitute numbers into formulae such as:1. 公式的求值. 如(1) 三维分别为l, b, h的长方体的体积是: V = lbh.(2) 三维分别为w, d, h的长方体的表面积是: S = 2dw + 2dh + 2hw.2. 在一段电路中, 电压V, 电流量I和电阻R的关系是V = IR. 当I = 5, R =