第10讲 数阵图.doc

第10章 数阵【知识要点】填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。1.待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。2.试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。【方法分类讲解】（1）待定数法【经典例题解析】【例1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。【举一反三】1. 将17七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和都等于12。（2）试验法【经典例题解析】【例2】将110这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。【举一反三】2. 把18八个数分别填入下图的内，使每个大圆上五个内数的和都等于20。分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为212-(1+2+8)=6。在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。【经典例题解析】【例3】将16这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。【举一反三】3. 将16六个数分别填入下图的内，使每边上的三个内数的和相等、且最大。分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+6)+重叠数之和=每边三数之和3，得到每边的三数之和等于(1+2+6)+重叠数之和3=(21+重叠数之和)3=7+重叠数之和3。因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是16中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12【经典例题解析】【例4】将17分别填入下图的7个内，使每条线段上三个内数的和相等。【举一反三】4. 将111这十一个数分别填进下图的里，使每条线上3个内的数的和相等。【例5】将16这六个自然数分别填入右图的六个内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于113-(1+2+6)=12。16中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是16，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。【举一反三】 将29这八个数分别填入右图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于184-(2+3+9)=28。而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：4+7+8