《周髀算经》中勾股定理的公式与证明.doc

周髀算经中勾股定理的公式与证明首先，周髀算经中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（周髀算经上卷二）而勾股定理的证明呢，就在周髀算经上卷一2 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。“两矩共长二十有五，是谓积矩。”：此为验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。下载 (33.54 KB)2009-12-14 00:02注意： 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。下载 (48.4 KB)2009-12-14 00:02 “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐3、李国伟4、李继闵5、曲安京1等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。其实不然，摘录赵爽注释周髀算经时所做的句股圆方图2“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实。” 注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。下载 (47.35 KB)2009-12-14 00:02赵爽弦图。注意中间的中黄实参考资料： 1. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於数学传播20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页。 2. 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 3. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於汉学研究, 1989年第7卷第1期, 255-281页。 4. 李国伟: 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於