高中数学第三章三角恒等变换例题与探究.docx

3.2 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值：(1)coscos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)-+cos215.思路分析:本题考查倍角公式的变形及应用.(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)中提取系数后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解:(1)coscos=cossin=2cossin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=-；(4)-+cos215=(2cos215-1)=cos30=.绿色通道:根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.变式训练1 求sin10sin30sin50sin70的值.思路分析:由sin30=，原式可化为sin10sin50sin70，再转化为cos20cos40cos80，产生成倍数的角，增加一项sin20，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法一：sin10sin30sin50sin70=cos20cos40cos80=.解法二：令M=sin10sin30sin50sin70，N=cos10cos30cos50cos70，则MN=(sin10cos10)(sin30cos30)(sin50 cos50)(sin70 cos70)=sin20 sin60 sin100 sin140=cos10 cos30 cos50 cos70 =N，M=，即sin10 sin30 sin50 sin70=.例2(2005江苏高考卷，10)若sin(-)=，则cos(+2)等于( )A.- B.- C. D. 思路解析:本题考查三角函数的恒等变换以及运算能力.观察发现+2=2(+)，而(+)+(-)=，则cos(+)=sin(-)，cos(+2)=2cos2(+)-1=2sin2(-)-1=-.答案:A绿色通道:通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1 已知sin(+)sin(-)=，且(，)，求sin4的值.思路分析:发现+与-的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2的三角函数值，进一步可求4的正弦值.解:(+)+(-)=，sin(-)=cos(+).sin(+)sin(-)= ，2sin(+)cos(+)=.sin(+2)=.cos2=. 又(，)，2(，2).sin2=-=-.sin4=2sin2cos2=-.变式训练2 设56，cos=a，则sin的值等于( )A.- B.- C.- D.-思路解析: 显然是的一半，可以直接应用公式.56，3，.sin=-=-.答案:D例3(2006全国高考卷，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )A.2 B.4 C. D.思路解析:考查三角函数的周期性.将函数的解析式化为y=Asin(x+)的形式.y=sin2xcos2x=sin4x，则T=.答案:D绿色通道:讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期.化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式.化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(x+)的形式,再利用公式T=得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分析:将三角函数的解析式化为y=Asin(x+)+b的形式,再讨论周期和最值.解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2sin2(x-)-cos2(x-)+1=2sin2(x-)-+1=2sin(2x-)+1，T=.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2k+(kZ).x=k+， 即使函数f(x)取得最大值的x的集合为xR|x=k+(kZ).问题探究问题1 试用tan表示sin,cos,tan.导思:看到和，联想到=2()，因此从二倍角公式的角度来探讨.探究:可以由倍角公式直接获得tan=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再将分子、分母同除以cos2可得：sin=2sincos=，cos=cos2-sin2=. 用tan来表示sin、cos和tan的关系式如下：sin=，cos=，tan=. 这三个公式统称为“万能公式”.其优点是用正切函数来求二倍角的三角函数值会特别方便，也为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁.如要计算cos或sin(+)的值，可以先设法求得tan或tan的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.所谓的“万能”是指：不论角的哪一种三角函数，都可以表示成tan的有理式.这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，即如果令tan=t，则sin、cos和tan均可表达为关于t的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径. 例1：求tan15+cot15的值.解法一：tan15=tan(45-30)=2-，tan15+cot15=2-+=4.解法二：tan15+cot15=+=4.很明显解法二比解法一较方便地解决了问题，体现了万能公式的“万能”之处，值得我们借鉴. 例2:求函数y=的值域.思路分析:先利用换元法，再利用判别式法求函数的值域.解:令tan=t，则tR， 利用万能公式有sinx=，cosx=，y=(tR). 整理得(2y+1)t2+2yt+2y-1=0. 当2y+1=0即y=-时，t=-1R.y=-符合题意. 当2y+10即y-时，关于t的一元二次方程(2y+1)t2+2yt+2y-1=0必有实数根.=4y2-4(2y+1)(2y-1)0. 解得-y，即此时-y且y-. 综上所得函数的值域是y|-y. 例3：(2005江西高考卷，文2 已知)tan=3,则cos等于( )A. B.- C. D.-思路解析:cos=-.答案:B问题2(1)观察代数式x2+y2=1，联想sin2+cos2=1，你发现了什么结论？(2)利用(1)解答下面的问题：已知实数x,y满足x2+y2=1，求xy的最大值和最小值.导思:如果两个实数的平方和等于1，那么这两个实数恰好是同一个角的正弦值和余弦值.探究:(1)可得结论：当实数x,y满足x2+y2=1时，可换元为x=cos,y=sin.(2)设x=cos,y=sin,R，则有xy=sincos=sin2.R，-1sin21.xy的最大值是，xy的最小值是-.这种求最值的方法称为三角代换法