三 多维随机变量2.doc

第三章 多维随机变量及其分布一、多维随机变量二、二维随机变量及其分布 1. 二维离散型随机变量(1) 定义 若的所有可能的不同取值对是有限或可数无限多，则称为二维离散型的随机变量. 描述的所有取值对及其取值概率的公式或表格称为的分布律（概率分布），或称为随机变量和的联合分布律（联合概率分布）. 即 或 联合分布律的性质：；.(2) 事件的概率计算；.例1 （P104 1.）并求：（3）. 例2 （P77 例1）(3) 边缘分布律 对于二维离散型随机变量，其分量的分布律（概率分布）分别称为关于和关于的边缘分布律（边缘概率分布）. 边缘分布律的计算 设是二维离散型随机变量，其分布律为，则关于的边缘分布律为 ；（证明）关于的边缘分布律为 . * 联合分布律唯一决定边缘分布律. 反之却不成立. 例3 （P104 1.）求边缘分布律. 例4 （P77 例1）例5 （P81 例1）(4) 条件分布律 设是二维离散型随机变量，其分布律和关于和关于的边缘分布律分别为，和. 对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律（条件概率分布）；对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律（条件概率分布）. 例6 （P81 例1）求条件分布律. 例7 （P84 例1）例8 （P85 例2）自修习题 P104-105 1-2，4，8注：（1）要求求联合分布律、边缘分布律及条件分布律；（2）求事件的概率，例如等. 2. 二维连续型随机变量(1) 定义 对于二维随机变量，若存在非负可积函数，使得的取值落在平面上任一区域内的概率为，则称为二维连续型的随机变量，并称为的概率密度或为随机变量和的联合概率密度. 由定义可知，由定义还易知，的性质：；.的几何意义：的取值落在平面区域内的概率是以为底，以曲面为高的曲顶柱体的体积. (2) 事件的概率计算， . .例1 （P104 3.）例2 （P78 例2 (2)）(3) 边缘概率密度 对于二维连续型随机变量，其分量的概率密度分别称为关于和关于的边缘概率密度. 边缘概率密度的计算公式：设是二维连续型随机变量，其概率密度为，则关于的边缘概率密度为；（证明）关于的边缘概率密度为.（证明）* 联合概率密度唯一决定边缘概率密度. 反之却不成立. 例3 （P82 例2）例4 （P82 例3） (4) 条件概率密度 设是二维连续型随机变量，其概率密度和关于及关于的边缘概率密度分别为,和. 对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件概率密度；对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件概率密度. 例5 （P82 例2）例6 （P88 例3）例7 （P89 例4）(5) 几个重要的二维随机变量的概率密度均匀分布 设是平面上的有界区域，其面积为. 若二维随机变量的概率密度为则称在上服从均匀分布. 例8 已知在平面有界区域上服从均匀分布，是平面上的任一区域，计算. 例9 （P88 例3）正态分布 若二维随机变量的概率密度为 则称为服从参数的二维正态分布，记作. 例10 （P82 例3）该结论表明：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布. 习题 P104-107 3，5-7，11-12，22注： （1）要求求边缘密度及条件密度；（2）求事件的概率，例如. 三、联合分布函数1. 定义 设是二维随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量的分布函数，或为随机变量和的联合分布函数. 的含义：随机变量的取值不超过，且随机变量的取值不超过的事件的概率. 2. 分布函数的计算例1 （P104 1.）求：（1）分布函数; （2）. 离散变量分布函数的计算，随着点对的增加会愈加困难. 例2 （P78 例2）求：（1）,（3）. 例3 （P82 例2）求分布函数. 解 连续变量分布函数的计算，随着密度函数定义域的复杂而变得不易计算. 3. 分布函数的性质关于和关于分别是单调不减函数. 即对于任意固定的，若，则；对于任意固定的，若，则； ；关于和关于分别右连续，即；特别地，当是连续型随机变量时，关于和关于分别是连续的；.（只能用于求矩形区域的概率）例4 已知二维随机变量的分布函数，求：（1）常数；（2）的密度函数. 4. 边缘分布函数对于二维随机变量，其分量的分布函数分别称为关于和关于的边缘分布函数. 边缘分布函数与联合分布函数的关系:例5 同上例. 求：（3）的边缘分布函数；（4）的边缘密度函数. 5. 条件分布函数设是二维随机变量，是任意实数，称函数为在的条件下随机变量的条件分布函数；称函数为在的条件下随机变量的条件分布函数. 四、随机变量的独立性定义 设是二维随机变量，若对于任意实数，总有，则称随机变量和相互独立. 随机变量相互独立的充要条件设是二维随机变量，和相互独立的充分必要条件是，对于任意实数，总有；* 若知和独立，你将获得什么样的信息？当是离散型随机变量时，和相互独立的充分必要条件是，对于的所有取值，总有；* 若知和独立，你将获得什么样的信息？例6 （P104 1.）试判断的独立性. 例7 （P81 例1）试判断的独立性. 当是连续型随机变量时，和相互独立的充分必要条件是，对于任意实数，总有 ；* 若知和独立，你将获得什么样的信息？例8 （P78 例2）例9 （P82 例2）例10 （P82 例3）* 对于二维正态变量，和相互独立的充要条件是.实际中推断和是否独立的技巧. 例11 （P104 3.） （P104 5. 6. 7.） （P107 21.）例12 （P92 例1）总结：若和独立，则一定有 ；的定义域是矩形区域. 若与相互独立，则与（是连续函数）也相互独立；更一般地，若与相互独立，则与（是连续函数）也相互独立. 关系图： 独立 独立 关系图： 事件的概率习题 P104-107 1-2，4，8，3，5-7，13-14，19五、两个随机变量的函数的分布1. 二维随机变量的函数的分布律设是二维离散型随机变量，其分布律为，（是连续函数），若互不相等，则随机变量的分布律为；若中有相等的时，则把那些相等的对应的取值的概率全部加到一起作为取值的概率，便得到随机变量的分布律. 例1 （P81 例1）求：的分布律；（2）的分布律；（3）的分布律；（4）的分布律. 2. 二维随机变量的函数的概率密度设是连续型随机变量，其概率密度为，则随机变量（是连续函数）的概率密度可按如下步骤求出：先求出的分布函数 (形式上写出的分布函数)（作变量代换，转化为关于的事件）（计算关于的事件的概率）；求出的概率密度 .几个重要的随机变量的函数的概率密度：当时, ;当时, , ;特别地, 当独立时, ,;当时, ,;特别地, 当独立时, , .例2 （P95 例1）* 相互独立的正态变量的和变量仍然是正态变量例3 （P96 例2）例4