数值分析求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法.doc

工科研究生数值分析实验报告 实验报告一：实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。二、 实验内容1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算 在0, 1区间的解，要求误差小于 ，比较两种方法收敛速度。2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cotx=(x2-1)/2x，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。4、用牛顿法求方程fx=x3-11x2+32x-28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。三、 实验程序第1题： 区间0,1函数画图可得函数零点约为0.5。画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y); grid on二分法程序：计算调用函数：c,num=bisect(0,1,1e-4)functionc,num=bisect(a,b,delta)%Input a,b是取值区间范围% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb0 return;endfor k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a)delta num=k; %num为迭代次数 break; endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：c,num=newton(func1,0.5,1e-4)调用函数：function y = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：functionc,num=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(errdelta) num=k; %num为迭代次数 break; endendc=p0;第2题：由题意得到算式：200000*1+x10-2160*12*10=0计算调用函数：c,num=newton(func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。画图程序：function Test2()% f(x) 示意图, f(x) = 200000*(1+x).10-2160*12*10; f(x) = 0r = linspace(0,0.06, 100);y = 200000*(1+r).10-2160*12*10;plot(r, y);grid on调用函数：functiony=func2(r)y=200000*(1+r).10-2160*12*10;end牛顿迭代法算法程序：function c,num =newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(errdelta) num=k; break; endendc=p0;第3题：cotx=(x2-1)/2x 求最小正数解计算调用函数：c,num=newton(func3, 1 ,1e-8)程序：先用画图法估计出最小正解位置在1到2之间画图程序：function Test3()% f(x) 示意图, f(x) = cot(x)-(x.2-1)./(2.*x); f(x) = 0ezplot(cot(x)-(x.2-1)./(2.*x),-6,6);grid on调用函数：functiony=func3(x)y=cot(x)-(x.2-1)./(2.*x);end牛顿迭代法算法程序：function c,num =newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(errdelta) num=k; break; endendc=p0;第4题：fx=x3-11x2+32x-28=0 精确至8位有效数字 根据画图图像可得函数有一个重根在区间1,3和另一个根在区间6,8。计算调用函数：重根：c,num=newton(func4, 1 ,1e-8) 另外的单根：c,num=newton(func4, 6 ,1e-8)画图程序：function Test4()% f(x) 示意图, f(x) = x.3-11.*x.2+32.*x-28; f(x) = 0r = 0:0.01:8;y = r.3-11.*r.2+32.*r-28;plot(r, y);grid on调用函数：function func4(x)y=x.3-11.*x.2+32.*x-28;end牛顿迭代法算法程序：functionc,num=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:100 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; if(dy0=0) c= vpa(p0,8); num=k; break; else p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(errdelta) num=k; break; end endendc= vpa(p0,8);改进的牛顿算法程序：functionc,num=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:100 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; if(dy0=0) c= vpa(p0,8); num=k; break; else p1=p0-2*y0/dy0;%根据重根计算时，改进Newton法的收敛速度，可以采用在迭代函数中乘上重根数的方法进行改善。 err=abs(p1-p0); p0=p1; if(errdelta) num=k; break; end endendc=vpa(p0,8);四、 实验结果分析第1题：根据图片可以看出函数零点的值在0.4与0.5之间，牛顿迭代法时取0.5作为迭代初值。第2题：根据图片可以看出函数零点的值在0.02与0.03之间，可采用0.02作为迭代初值。第3题：根据图片可以看出函数最小正数零点的值在1与2之间，在使用牛顿迭代法时可以采用1为迭代初值。第4题：根据图片可以看出函数重根为2，另一单根为7。在使用迭代法时刻采用1和6为初值进行计算。五、实验结论通过实验结果可以看出，二分法，简单迭代法和牛顿迭代法三种算法中，牛顿迭代法在选取适合值进行代入的情况下能得到较好的收敛效果。第1题：二分法实验结果： c =0.4429，num =11牛顿迭代法实验结果： c =0.4429，num =3根据结果可以看出两者计算结果相同，牛顿迭代法迭代次数为3，二分法的迭代次数为11，比较而言迭代次数牛顿迭代法比二分法小得多。第2题实验结果：零点c = 0.0263，num = 4通过画图后能对计算结果有一个较好的估计，从而在最后获得结果，并且迭代次数也较少。第3题实验结果：零点c = 1.3065，num = 5。cot(x)函数在/2处无限值，画图时注意使用符号函数ezplot