圆锥曲线的谢国芳定理——继帕斯卡定理之后又一朵射影几何的奇葩_baidu.doc

圆锥曲线的谢国芳定理继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩谢国芳（Roy Xie） Email: 摘要： 本文在帕斯卡定理和布列安桑定理的基础上得到了关于圆锥曲线的一个美妙深刻的新定理，作为推论证明了双心六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。 关键词： 帕斯卡定理 布列安桑定理 极线 配极原理 双心六边形 Abstract: In this article we derive an elegant and deep new theorem concerning conic sections based on Pascals theorem and Brianchons theorem, and prove that the three diagonals and the three lines connecting two tangent points on each pair of opposite sides of a bicentric hexagon are concurrent as a corollary.Key words: Pascals theorem, Brianchons theorem, polar line, polar reciprocation, bicentric hexagon 帕斯卡（Pascal）定理和布列安桑（Brianchon）定理是关于圆锥曲线的两个基本定理，帕斯卡定理断言，圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线（见图1），其逆定理也同样成立，即如果一个六边形的三组对边的交点共线，则它的六个顶点在一条圆锥曲线上。图1 帕斯卡（Pascal）定理布列安桑定理是帕斯卡定理的对偶定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点1（见图2），其逆定理亦同样成立，即如果一个六边形的三条对角线共点，则它的六条边和一条圆锥曲线相切。图2 布列安桑（Brianchon）定理 把帕斯卡定理和布列安桑定理合在一起，引发人思考这样一个有趣的问题（不知道之前有没有人想到过这一点呢）：如果一个六边形既外接于一条圆锥曲线，同时其六条边又和另一条圆锥曲线相切，又将有怎样的结论呢？请读者务必先独立思考这个问题，一定要动手用几何画板或其他几何作图软件画几个图，做一些探索性的实验之后才看下面一页（倘若你不会画圆锥曲线，没关系，可以全部用圆代替），只有这样你才能切身感受到几何的巨大魅力和下面这个定理的神奇绝妙，匪夷所思：定理1圆锥曲线的谢国芳定理若一个六边形的六个顶点在一条圆锥曲线上，六条边和另一条圆锥曲线相切，则它的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点（见图3和图4）。图3图4实际上，定理1中所描述的六边形可以称为“彭赛列六边形”，因为它正是满足著名的彭赛列闭合定理（Poncelets Closure Theorem or Poncelets porism）的六边形。法国人把该定理称为“le grand thorme de Poncelet”，译成中文即“伟大的彭赛列定理”或“彭赛列大定理”，可见其重要，实际上，它堪称是整个几何中最深刻伟大的定理，这并不是我个人的私见，像Richard Schwartz 等大数学家就是这么认为的，参见Dynamiser la gomtrie lmentaire - introduction des travaux de Richard Schwartz 一文（百度文库/view/e39d9e09f78a6529647d536c.html），可惜国内对这个伟大的定理介绍极少。关于彭赛列闭合定理的一个中文介绍参见伟大的彭赛列闭合定理的一个绝妙证明 An Ingenious Proof of Poncelets Closure Theorem网址：/Maths/GeometryTheorems/Poncelet_porism.htm英文介绍参见 /PonceletsPorism.html我们于是也可以把定理1等价地表述为：一个彭赛列六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。作为定理1的特例，我们有下面这个优美的平面几何定理：2 谢国芳双心六边形定理一个双心六边形即既有外接圆又有内切圆（或旁切圆）的六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点（见下图）。为了证明定理1，我们需要下面这个关键的引理。引理1 谢国芳四边形引理若一个四边形的四条边和一条圆锥曲线相切3，则两条对边切点的连线和两条对角线四线共点（见下图）。该引理揭示了圆锥曲线的另一个重要的基本性质，可以找到很多应用，下面将它归结为布列安桑定理的极限情形加以证明。证明： 如图7，设四边形的四条边, , , 分别和圆锥曲线相切于点，在上点的邻近取两点, 设过的切线和过的切线交于点, 交于点,交于点；同样在上点的邻近取两点, 设过的切线和过的切线交于点, 交于点, 交于点。应用布列安桑定理于六边形，可知其三条对角线, , 共点，当点和无限趋近于点, 点和无限趋近于点时，点分别无限趋近于点，点和分别无限趋近于四边形的对边和上的切点和，直线, , 分别无限趋近于直线, , , 由, , 三线共点可推知, , 三线共点。同理可证, , 三线共点，设为和的交点，则, , , 四线共点于。证毕。图7有了引理1，我们就可以完成对定理1的证明了。定理1（圆锥曲线的谢国芳定理）的证明：如图8，设六边形的六个顶点, ，, , , 在圆锥曲线上，边和另一条圆锥曲线相切，切点依次为,由帕斯卡定理可知直线和的交点、和的交点、 和的交点三点共线4，注意到直线, , 正好分别是点关于的极线，根据配极原理可知, , 三线共点，设该点为,在由直线, , , 围成的四边形中应用引理1，可知亦通过点，同理可证和也通过点。证毕。图8完全类似地，应用配极原理和帕斯卡定理的逆定理，可以证明定理1的“逆”：圆锥曲线的谢国芳定理之逆定理若一个六边形的六条边和一条圆锥曲线相切，其三条对边切点的连线三线共点，则该六边形的六个顶点必在另一条圆锥曲线上。注1 本文中的对角线都指主对角线，若六边形的六个顶点记作, ，, , , ，则三条（主）对角线为, , 。注2 从表面上看这完全是一个平面几何问题，但笔者觉得用传统的平面几何方法或者解析几何方法是极难甚至几乎是不可能证明的，尽管如此，仍很希望看到这方面的尝试，若有人取得成功，务请发函至告知，不胜感谢。注3 和五条直线相切的圆锥曲线唯一，和四条直线相切的圆锥曲线有无穷多个，构成带一个参数的曲线族。注4 这三个交点中的一个或三个都可能为无穷远点（若两个为无穷远点，通过这两个无穷远点的直线就是无穷远直线，帕斯卡定理保证了第三个交点也在无穷远直线上，即也是一个无穷远点）。作者简介： 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，著有解密英语学外语从零点到绝顶的最速路经、日语汉字读音规律揭秘、破解韩国语单词的奥秘等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网