第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理

第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、 梅涅劳斯定理定理1 若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P 、Q、R，则BPPCCQQAARRB=1证明：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：BPPCCQQAARRB=hBhChChAhAhB=1。注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例1 若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BFCE。【解析】因为在EBC中，作B的平分线BH，则：EBC=ACK，HBC=ACE，HBC+HCB=ACK+HCB=90，即BHCE，所以EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDAAEEKKFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以FKBCKE，所以BFCE。例2 从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，试证：ACBC:AD BD=A1C1B1C1:A1D1B1D1。【解析】若ADA1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于A1AL和B1BL可得：ADLDLD1A1D1A1KAK=1，LCACAKA1KA1C1LC1=1，BCLCLC1B1C1B1KBK=1，LDBDBKB1KB1D1LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：ADACBCBDA1C1A1D1B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2 设P、Q、R 分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPPCCQQAARRB=1，求证P、Q、R三点共线。证明：设直线PQ与直线AB交于R，于是由定理1得：BPPCCQQAARRB=1，又因为BPPCCQQAARRB=1，则ARRB=ARRB，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R同在AB线段上，则R与R必定重合，不然的话，设ARAR，这时AB-ARAB-AR，即BRARBR，这与ARBR=ARBR矛盾，类似地可证得当R与R同在AB的延长线上时，R与R也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；CBA例3 点P位于ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线。【解析】易得：BA1CA1=-BPcosPBCCPcosPCB，CB1AB1=-CPcosPCAAPcosPAC，AC1BC1=-APcosPABBPcosPBA，将上面三个式子相乘，且因为PCA=PBC，PAB=PCB，PCA+PBA=180，可得BA1CA1CB1AB1AC1BC1=1，根据梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线。例4 设不等腰ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】ABC被直线XFE所截，由定理1可得：BXXCCEEAAFFB=1，又因为AE=AF，代入上式可得BXXC=FBCE，同理可得CYYA=DCAF，AZZB=EABD，将上面的式子相乘可得：BXXCCYYAAZZB=1，又因为X、Y、Z丢不在ABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。例5 已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC和B1C1的交点为A2，直线AC和A1C1的交点为B2，试证A2、B2、C2三点共线。【解析】设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（A1，B1，C2），OBC和（B1，C1，A2），OAC和（A1，C1，B2）应用梅涅劳斯定理有：AA1OA1OB1BB1BC2AC2=1，OC1CC1BB1OB1CA2BA2=1，OA1AA1CC1OC1AB2CB2=1，将上面的三个式子相乘，可得：BC2AC2AB2CB2CA2BA2=1，由梅涅劳斯定理可知A2、B2、C2共线。例6 在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线。【解析】记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F)，则有UEVEVLWLWDUD=1，VAWAUFVFWMYM=1，UNVNWCUCVBWB=1，WAVAUCWCVEUE=1，WBVBUDWDVFUF=1，将上面五个式子相乘可得：VLWLWMUMUNVN=1，点L、M、N共线。二、塞瓦定理定理：设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：BPPCCQQAARRB=1。MQRACPB证明：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则BPPC=SABPSACP=SBMPSCMP=SABMSACM，同理CQQA=SBCMSABM，ARRB=SACMSBCM，以上三式相乘，得：BPPCCQQAARRB=1，再证充分性：若BPPCCQQAARRB=1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，由塞瓦定理有：BPPCCQQAARRB=1，约翰斯：ARRB=ARRB，因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点M。CBA例7 证明：三角形的中线交于一点。【解析】记ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1，而显然有：AC1=C1B，BA1=A1C，CB1= B1A，即AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1成立，所以，ABC交于一点，例8 在锐角ABC中，C的角平分线交AB于L，从L做边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CPAB。KLNMCBA【解析】作CKAB，下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，根据塞瓦定理即要证：AMMCCNNBBKAK=1，又因为MC=CN，即要证明：AMAKBKNB=1，因为AMLAKCAMAK=ALAC，BNLBKCBKNB=BCBL，即要证ALACBCBL=1，根据三角形的角平分线定理可知：ALACBCBL=1，所以CK、BM、AN三线共点，且为P点，所以CPAB。例9 设AD是ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则EDA=FDA。【解析】过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证EDA=FDA，可以转化为证明AM=AN，因为ADBC，故MNBC，可得AMECDE，ANFBDF，所以AMCD=AECE，ANBD=AFBF，于是AM=AECDCE，AN=AFBDBF，因为AD、BE、CF共点与P，根据塞瓦定理可得：BDDCCEEAAFFB=1，所以AECDCE=AFBDBF，所以AM=AN，所以EDA=FDA例10 在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1，证明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=sinACC1sinC1CBsinBAA1sinA1ACsinCBB1sinB1BA【解析】如图对ACC1和BCC1应用正弦定理，可得AC1C1C=sinACC1sinA，CC1C1B