通州市三余中学2009届高三模拟考试（数学）.doc

通州市三余中学2009届高三模拟考试数学试题一、填空题：1. 已知是菱形ABCD的四个顶点，则 _2.若，则= 3已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组，则的最小值为_4.设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是_5. 过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为_6.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ，则_为“同形”函数7.椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的为=_8.一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x)的值域为（1，1）；乙：若x1x2，则一定有f (x1)f (x2)；丙：若规定对任意恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有_个9.过定点（1,2）的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为 10.是等差数列，满足，而，则数列前2009项之和为 .11.“已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则。”，类比前面结论，若正项数列为等比数列， 12. RtABC中,斜边AB=1,E为AB的中点,CDAB,则的最大值为_.13.设A=，B=，记AB=max，若A=，B=l，且AB=，则的取值范围为 。14.设A为锐角三角形的内角，是大于0的正常数，函数的最小值是9，则=_ _二、解答题15.已知，（1）当时，求证：在上是减函数；（2）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围16.在ABC中，分别为角A、B、C的对边，=3, ABC的面积为6，D为ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。求角A的正弦值； 求边b、c； 求d的取值范围17.已知：正方体，E为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；（）求三棱锥的体积18.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围. 19. 某公司有价值万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价。假设售价万元与技术改造投入万元之间的关系满足：与和的乘积成正比； ；其中为常数，且。（1）设，试求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出售价的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.20.已知函数 （1）当时，求的极小值； （2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围 （3）设，求的最大值的解析式。高三数学附加题试卷 一、选做题：每小题10分，共20分1（矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换（）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程 2.（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长.二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分3. 已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知.（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角余弦值的大小.4某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（）求的分布列及数学期望；() 记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率参考答案：1. 6或14 2. 3. 4. 5. 3 6. 7. 8. 3 9.32 10. 11. 它的前项乘积为，若，则 12. 13. 1，1+ 14. 415解：（1）当时，在上是减函数.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，不等式恒成立. 当时， 不恒成立；当时，不等式恒成立，即，.当时，不等式不恒成立. 综上，的取值范围是.16解：(1) (2)，20 由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 (3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则 又x、y满足画出不等式表示的平面区域得： 17. ()证明：连结，则/， 1分是正方形，面，又，面4分面， 5分（）证明：作的中点F，连结是的中点，四边形是平行四边形， 7分是的中点，又，四边形是平行四边形，/，平面面 9分又平面，面 10分（）12分 15分18.解: （1）由,得, 则由,解得F（3,0） 设椭圆的方程为,则,解得 所以椭圆的方程为 （2）因为点在椭圆上运动,所以, 从而圆心到直线的距离. 所以直线与圆恒相交 又直线被圆截得的弦长为 由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是 19. 解：（1）设可得定义域为，为常数，（2） 当当上为增函数时，投入时，售价最大为万元；当时，投入时，售价最大为万元.20.解：（1） 当时，时， 的极小值是 （2），要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， （3）因最大值 当时， 当时，（）当 （）当时， 在单调递增；1当时， ； 2当 （）当 （）当 综上 1解：（）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；（），椭圆在的作用下的新曲线的方程为2（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长，将方程，分别化为普通方程：，(5分) (10分)二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分3. 解：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）由，得.设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离.（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的余弦值大小为4 解：（1）分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件,由已知相互独立，且客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有游览的景点数的可能