动点最值问题解法探析.doc

动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。解析：与关于直线对称，连结，则。连结,在中，则故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。解析：（1）对称轴为，由对称性可知：。根据、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：。把、代入得，。当时，则2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，为边的中点。（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。解析：作点关于轴的对称点，则，。（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由可知 ，那么，则。（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。此时值最小，则四边形的周长最小。由、可求直线解析式为，当时，即，则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）（二）“|动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为 4 。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，当时，最小。作于，交于，作交于，例6如图7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，抛物线过、两点。（1）求、；（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。解析：（1）由，可得：、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为（2）设，且，则，用零点分段法可求得，。当时，。此时，则。（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于的对称点在直线上，当垂直于直线时，的值最小。，根据和可求直线的解析式，则有。由可知，。作，过点作轴的平行线，交于，那么。作于，则，当是于的交点时，与重合，有最小值5。函数，此时，则，即。3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例7（2009年漳州中考）如图8， ，是内一点，、分别是和上的动点，求周长的最小值。解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时， 周长最小， ， 。 则周长的最小值为例8（2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。当、在线段上时，最小。过、分别作轴、轴的平行线交于。在中，交轴于，交轴于。，而 四边形的周长最小值为：利用几何变换解最值问题中考中的最值问题往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题1 例说几何变换与最值问题1.1 对称变换可以把点从对称轴的一侧翻到另一侧，从而达到不改变线段的长度却改变其位置的目的对称变换是把复杂的最值问题转化成基本问题的常用手段例1 定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交、于点、，点是点关于直线的对称点 如图1，若：，经过变换后，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值 图1 图2 分析：如何找对称点进行变换是本题的难点，注意到点P是直线AC上的动点，所以直线AC就是对称轴，从而运用对称变换把线段PD转化为线段PB进行求解 解：由已知易得A (1，2 )、D（1+，3）、B (1+，1 )从而可知点B和点D关于直线AC对称， PD=PB 如图2，作BQAD,垂足为Q,根据“垂线段最短”可知线段BQ的长度就是所要求距离之和的最小值 BQ与AC的交点即为使得两个距离之和最小的P点由的面积关系得：ADBQ=BDAM BQ=，故点到点的距离和到直线的距离之和的最小值为 解题策略：在不改变线段长度的前提下，运用对称变换把对称轴同侧的两条线段放在了对称轴的两侧，把复杂的最值问题转化为基本问题根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置，并求出最小值变换的奥秘是：动点在哪条直线上，就以这条直线为对称轴，构建某一定点的对称点对称变换是转化的手段，也是解决问题的关键1.2 平移变换的特征是对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不改变其方向和长度平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手段例2 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图3，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直） 图3 图4（1） 图4（2）分析：假设河的两岸为直线、这个问题要求“路径AMNB最短”实际上就是“AM+BN”最短（因为“桥要与河垂直”，桥长是定值，也就是河两岸的距离）怎样保证“AM+BN”最短呢？如图4（1），把BN沿与河岸垂直的方向平移河的宽度到BM（B为定点，则点B为定点），则AM+BN=AM+ BM，点 A、B为定点，点M为直线上的动点，所以当A、M、B三点在一直线上时，AM+ BM最小解：过点B作BB，且BB 等于河宽，连接AB 交于M点，作MN交于点N，则MN就为桥所在位置（图4（2）解题策略：运用平移变换，在保持平移后的线段与原来的线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两条线段移到新的位置并“接起来”，变换成更简单的基本图形根据“两点之间线段最短”把“两折线”转“直”，找出最小位置平移是转化的手段，也是解决问题的关键1.3 旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度，其作用是不改变原有图形的性质，但改变其位置，使之组合成新的有利论证的图形有些最值问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题，旋转变换是解决最值难题的必不可少的手段之一例3 如图5（1），已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长分析：本题已知三条线段的和最小，这三条线段又“碰”在一起，怎么利用这个条件成了本题的难点注意到题中有正方形边长相等这样的有利条件，考虑通过旋转变换把三条线段“展开来”，然后再“接起来”成“三折线”，让折线的两端放在两个定点，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同 图5（1） 图5（2） 图5（3）解：如图5（2），连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等边三角形，则EF=CE，又FG=AE，所以AE+BE+CE = BE+EF+FG 点B、点G为定点（G为定点A绕定点C顺时针旋转60所得）， 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（如图5（3）设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为， +=， =2解题策略：通过旋转变换，改变线段的位置，优化图形的结构，把高难度的最值问题转化为“两点之间线段最短”的基本问题使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60 或90的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决2 综述几何变换和最值问题2.1 多变试题题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等； 对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 2.2 保形变换“对称、平移、旋转” 是三种保形变换通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的2.3 应对策略（1） 去伪存真刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长（2） 科学选择捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连平移、碰头旋转、同侧对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60或90（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值2.4 教学感悟新课程中单列了几何变换的章节，凸显了几何变换的重要性这就要求教师改变传统的分析平面图形的组成和性质的几何教学模式，用运动、变化的观点看待几何图形，在基本图形的章节教学中多用几何图形教具或多媒体展示图形的运动变化，慢慢渗透几何变换的思想，力图在对称、平移、旋转的章节教学中让学生形成自主的几何变换意识3 运用几何变换求最值问题 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看上述策略对下列问题能否奏效练习1 对称旋转组合 （2009北京）如图6-1，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D, 使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E（1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短 图6-1 图6-2 图6-3提示：（3） 设直线与y轴的交点为M点如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速度为v，则P沿MQA运动的时间为，使P点到达A点所用的时间最短，就是MQAQ最小，或MQ2AQ最小方法1：过Q作BM的垂线交BM于K，所以QKMQ要使MQAQ最小，只需使AQQK最小，于是可转化为例1的类型（图6-2）方法2：BQ=AQ， MQ2AQ最小就是MQAQBQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小，于是可转化为例3的类型（图6-3） 方法3：本题还可以建立以MQ或QBO为自变量的函数，利用函数求出最小值 图7 图 8 练习2 平移对称组合 （2009衢州）如图7，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上 (1