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运用凸函数性质证明不等式（何仲永 浙江 诸暨轻工技校 311800 ） 摘要 ：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。 关键词：函数；凹凸性；不等式；证明。不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。凸函数性质：1.如果y=f(x)在a,b上是上凸函数，设 ，那么2.如果y=f(x)在a,b上是下凸函数，设，那么 当且仅当f(x)为常数函数时，等号成立图二图一 结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：为上凸的函数；为下凸的函数。将上面的性质加以推广1.如果y=f(x)在a,b上是上凸的函数，设xi在（a,b）内，那么2.如果y=f(x)在a,b上是下凸函数，设xi在（a,b）内，那么当且仅当，f(x)为常数函数时，等号成立。（证明从略）凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。例1：在 ABC中，求证：证明一：sinA+sinB+sinC令C为定角:C为定角，为定值，要使为最大值，只有当A=B时才成立，由于A.B.C对称，有最大值，当且仅当A=B=C=60时才能达到下面直接应用凸函数性质证明证法二：如图三, y=sinx为上凸函数，因此有上凸函数值平均不大于平均的函数值的结论0yx图三y=sinx 证毕如果题目改成,A,B,C,D(0.)求sinA+sinB+sinC+sinD的极大值。用一般三角函数变换，几乎不能很快达到目的，使用上凸函数性质，解法简捷。为上凸函数，故有当A=B=C=D时sinA+sinB+sinC+sinD最大值为同样更一般的题目：已知，则证明：y=sinx,为上凸函数，故 =nsin例2.已知ai0(I=1,2n)，求证证明：这道题证法有很多，这里仅应用凸函数性质来证明。如图四：当x0,y=lnx为上凸函数，就有0yxy=lnx图四（1，0） 例3.已知求证：证明：当 ,考察函数y=lncosx图像是上凸还是下凸？可以和求导或描图,求导：y=lncosx y或作图 x0 图五 两种方法均可得出函数为上凸函数，因此有函数值的平均不大于平均的函数值，所以 在ABC中，coscoscos的极大值问题可套用上述结论： = 当，即为正三角形时，乘积有极大值为类似这样问题：已知AIA1+A2+A3+A4+A5 =,求cosA1cosA2cosA3cosA4cosA5的最大值。可套用上述结果，用凸函数理论顺利解决 =， 应用凸函数解决不
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