专题7 三、四边形存在性问题 教师版 06.doc

53. （2012云南省9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A抛物线的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）一次函数交y轴于点A，令=0，得y=2。A（0，2）。A（0，2）、E（1，0）是抛物线的图象上的点，解得 。 抛物线的解析式是：。（2）一次函数交轴于点P，令y=0，得=6。P（6，0）。ACAB，OAOP，AOCPOA。AO=2，PO=6，。点C的坐标为。（3）存在。设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得MAB是直角三角形，即AMB=900或ABM=900。点B是直线和抛物线的交点，解得。若AMB=900，那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。若交点在y轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等，即。若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BDx轴于点D，则有AOMMDA。 。AO=2，MD=，OM=m，DB=， ，解得。或。若ABM=900，即过B作BMAP，这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。 若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BDx轴于点D，则有BDMPDB。 。BD=，MD=，PD=，解得。若交点在y轴的负半轴上（如图），设，过B作BF垂直y轴于点F，则有ABFBMF。 。BF=，AF=，MF=，解得。综上所述，除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：、或、或、或，或共五个点。54. （2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (1，0) 如图所示，B点在抛物线yx2x2图象上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点横坐标为3（1）求证：BDCCOA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）证明：BCDACO90，ACOOAC90，BCDOAC。ABC为等腰直角三角形 ，BCAC。在BDC和COA中，BDCCOA90，BCDOAC，BCAC，BDCCOA（AAS）。 （2）C点坐标为 (1，0)，BDCO1。B点横坐标为3，B点坐标为 (3，1)。设BC所在直线的函数关系式为ykxb，解得2。BC所在直线的函数关系式为y x 。（3）存在 。 yx2x2(x)2x，对称轴为直线x。若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1AC，BCAC，点P1为直线BC与对轴称直线x的交点。由题意可得：2 ， 解得，。P1（，）。若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2AC，则过点A作A P2BC，交对轴称直线x于点P2，CDOA，A（0，2）。设直线AP2的解析式为：yxm，把A（0，2）代入得m2。直线AP2的解析式为：yx2。 由题意可得：，解得，。P2（，）。P点坐标分别为P1（，）、P2（，）。55. （2012广东茂名8分）如图所示，抛物线经过原点O和A（4，2），与x轴交于点C，点M、N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）在点M、N运动过程中，若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由；若线段MN与抛物线相交于点P，探索：是否存在某一时刻t，使得以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）依题意，A点坐标为（4，2），O点坐标为（0，0），代入解析式得 ，解得：,抛物线的解析式为。令y=0，则有，解得x1=0，x2=6。点C坐标为（6，0）。（2）MNOA。理由如下：过点A作ABx轴于点B，则OB=4，AB=2。由已知可得：，RtMONRtOBA。AOB=NMO。NMO+MNO=90，AOB+MNO=90。OGN=90，MNOA。存在。设点P的坐标为（x，y），依题意可得：当点P是点A关于抛物线对称轴的对称点时，四边形APOC为等腰梯形，则点P坐标为（2，2），及M（0，2t），N（t，0）。设直线MN的解析式为y=kx+2t，将点N、P的坐标代入得,解得：（不合题意舍去），。当t=3秒时，四边形OPAC是等腰梯形。56. （2012内蒙古通辽12分）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y=ax2ax2经过点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由 【答案】解：（1）作CEx轴于点E，四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABO+CBE=90。OAB+OBA=90，OAB=EBC。RtAOBRtCEA（AAS）。A（0，2）、点B（1，0），AO=2，BO=1。OE=2+1=3，CE=1。C点坐标为（3，1）。（2）抛物线经过点C，1=a32a32，解得a=。抛物线为y=x2x2。（3）在抛物线上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。理由如下：以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ，过P作PEOA于E，QGx轴于G，可证PEABQGBAO，PE=BG=AO=2，AE=QG=BO=1。P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，1）。由（1）抛物线y=x2x2，当x=2时，y=1；当x=1时，y=1。P、Q在抛物线上。在抛物线上存在点P（2，1）、Q（1，1），使四边形ABPQ是正方形。57.(2012广西百色10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx6经过点A(3，0)和点B(2，0)直线yh（h为常数，且0h6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G（1）求抛物线的解析式；（2）连接BE，求h为何值时，BDE的面积最大；（3）已知一定点M（2，0）问：是否存在这样的直线yh，使OMF是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）抛物线yax2bx6经过点A(3，0)和点B(2，0)，。解得。抛物线的解析式为y。（2）把x0代入y，得y6。点C的坐标为(0，6)设经过点B和点C的直线的解析式为ymxn，则，解得 。经过点B和点C的直线的解析式为y3x6。点E在直线yh上，点E的坐标为(0，h)。OEh。点D在直线yh上，点D的纵坐标为h。把yh代入y3x6，得h3x6解得x。点D的坐标为(，h)。DE。SBDEOEDEh(h3)2。0且0h6，当h3时，BDE的面积最大，最大面积是。（3）存在符合题意的直线yh。设经过点A和点C的直线的解析式为ykxp，则，解得。经过点A和点C的直线的解析式为y2x6。把yh代入y2x6，得h2x6解得x。点F的坐标为(，h)。在OFM中，OM2，OF，MF。若OFOM，则2，整理，得5h212h200。(12)245202560，此方程无解。OFOM不成立。若OFMF，则，解得h4。把yh4代入y，得4，解得x12，x21。点G在第二象限，点G的坐标为（2，0）。若MFOM，则，解得h12，h2(不合题意，舍去)。把yh12代入y，得2解得x1，x2。点G在第二象限，点G的坐标为（，0）。综上所述，存在这样的直线y2或y4，使OMF是等腰三角形，当h4时，点G的坐标为（2，0）；当h2时，点G的坐标为（，0）。58.如图所示，抛物线（a0）的顶点坐标为点A（2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）.（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是x轴上任意一点，则当PAPB最大时，求点P的坐标. 【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为A(2，3)，可设抛物线的解析式为。由题意得 ，解得。物线的解析式为，即。（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA=，PB=，AB=当PA=PB时，=，解得；当PA=PB时，=5，方程无实数解；当PB=AB时，=5，解得。x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。（3）PAPBAB，当A、B、P三点共线时，可得PAPB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为，则，解得。直线AB的解析式为，当=0时，解得。当PAPB最大时，点P的坐标是（4，0）。59.（2012湖南邵阳12分）如图所示，直线与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C.求点C的坐标；设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使BPM=BAC；求证：PBCMPA；是否存在点P使PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：A（4，0），且点C与点A关于y轴对称，C（4，0）。 证明：BPM=BAC，且PMA=BPM+PBM，BPC=BAC+PBM，PMA=BPC。又点C与点A关于y轴对称，且BPM=BAC，BCP=MAP。PBCMPA。存在。直线与x轴交于A（4，0），把A（4，0）代入，得：b=3。B（0，3）。当PBM=90时，则有BPOABO， 即。 即：。当PMB=90时，则PMA=90（如图）。PAM+MPA =90。BPM=BAC，BPM+APM =90。BPAC。过点B只有一条直线与AC垂直，此时点P与点O重合，即：符合条件的点的坐标为：。使PBM为直角三角形的点P有两个、。60. (2012甘肃天水12分)如图，已知抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点(1)(3分)求该抛物线的解析式；(2)(4分)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由(3)(5分)P是直线x1右侧的该抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解： （1）该抛物线过点C(0，2)，可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx2。 将A(4，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx2，得，解得。该抛物线的解析式为y=x2x2。（2）存在。如图1，设D点的横坐标为t(0t4)，则D点的纵坐标为t2t2。过D作y轴的平行线交AC于E。由题意可求得直线AC的解析式为yx2。E点的坐标为(t，t2)。 DEt2t2(t2)t22t。DAC的面