一次函数的专题复习-最经典最全

函数的概念及表示方法函数的概念及表示方法 知识点知识点 1 概念 在某一个变化过程中 设有两个变量 x 和 y 如果对于 x 的每一个确定的值 在 y 中都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说 y 是 x 的函数 也就是说 x 是自变量 y 是因 变量 2 确定函数自变量取值范围的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 例题精讲例题精讲 考点考点 1 1 函数的概念 函数的概念 例 1 下列图象中 表示 y 是 x 的函数的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点考点 2 2 函数的表示法 函数的表示法 例 2 如图是广州市某一天内的气温变化图 根据图象 下列说法中错误的是 A 这一天中最高气温是 24 B 这一天中最高气温与最低气温的差为 16 C 这一天中 2 时至 14 时之间的气温在逐渐升高 D 这一天中只有 14 时至 24 时之间的气温在逐渐降低 考点考点 3 3 求自变量的取值范围 求自变量的取值范围 例 3 2014 上海 函数 y 的自变量的取值x范围是 例 4 2014 四川省内江市 在函数 2 1 x y x 中 自变量 x 的取值范围是 例 5 等腰 ABC 周长为 10cm 底边 BC 长为 ycm 腰 AB 长为 xcm 1 写出 y 与 x 的函数关系式 2 求 x 的取值范围 3 求 y 的取值范围 4 下列函数中 自变量 x 的取值范围是 x 2 的是 A y 2x B y 1 2x C y 2 4x D y 2x 2x 一次函数的性质和图像一次函数的性质和图像 知识点知识点 1 理解一次函数和正比例函数的定义 理解一次函数和正比例函数的定义 一般地 如果 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 特别地 当一次函数 y kx b 中 b 为 0 时 y kx k 为常数 k 0 这时 y 叫做 x 的正比例函数 强调指出 一次函数的解析式为 y kx b b 为常数 k 0 正比例函数的解析式为 y kx k 为常数 k 0 正比例函数与一次函数的关系是 正比例函数是一次函数的特例 一次函数包含正 比例函数 2 一次函数的图像与画法 一次函数的图像与画法 图像 一次函数 y kx b k 0 的图像是一条直线 其图像也称为直线 y kx b 正比例函数 y kx 的图像是经过原点 0 0 的一条直线 强调指出 点 A 0 b 是直线 y kx b 与 y 轴的交点 当 b 0 此交点在 y 轴的正半轴上 当 b 0 时 此交点在 y 轴的负 半轴上 当 b 0 时 此交点在原点 此时的一次函数就是正比例函数 画法 画正比例函数 y kx 的图像 通常选取 O 0 0 A 1 k 两点 然后再连成直线 画一次函数 的图像 通常选取 ykxbAbB b k 00 两点 然后再连成直线 强调指出 作一次函数的图像的一般步骤是 列表 描点 连线 3 一次函数的性质 一次函数的性质 1 正比例函数 y kx 的性质 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 2 一次函数的性质 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 3 一次函数 y kx b 与 y 轴的交点坐标为 0 b 例题精讲例题精讲 考点考点 1 1 概念题 概念题 例 1 下列函数哪些是 y 关于 x 的一次函数 哪些是 y 关于 x 的正比例函数 152 2 323yxy x yx 47152621 2 222 yxyxyxxx 分析 分析 判断一个函数关系式是否是一次函数或正比例函数 应紧扣定义 无论是正比例函数还是一次函数的自变量和因变量的指数只能为 1 解 解 例 2 已知函数 是一次函数 求 的值 是正比ymxmm m 5112 2 24 例函数 求 m 的值 分析 分析 要使函数是一次函数 根据一次函数的定义 x 的指数 m2 24 1 且系数 m 5 0 要使函数是正比例函数 除了满足上述条件外 还需加上 m 1 0 这个条件 解 解 考点考点 2 2 过定点问题 过定点问题 例 3 1 若一次函数 44 ymxm 的图象过原点 则m的值为 2 如果函数 yxb 的图象经过点 01 P 则它经过x轴上的点的坐标为 3 若正比例函数的图象经过点 1 2 则这个图象必经过点 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 1 2 4 直线y x 2 与 x 轴的交点坐标是 与 y 轴的交点坐标是 直线y x 1 与 x 轴的交点坐标是 与 y 轴的交点坐标是 直线y 4x 2 与 x 轴的交点坐标是 与 y 轴的交点坐标是 例 4 已知 一次函数ym xn 634 求 1 m n 分别为何值时 y 随 x 的 增大而减小 2 m n 分别为何值时 图像与 y 轴的交点在 x 轴下方 3 m n 分别 为何值时 函数图像经过原点 4 m 1 n 2 时 求这个一次函数的图像与两个坐 标轴的交点 解 解 考点考点 3 3 一次函数的图象 一次函数的图象 例 5 1 已知直线 y kx b 若 k b 5 kb 6 那么该直线不经过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 直线ykxb 经过一 二 三象限 则k b 经过二 三 四象限 则有k 0 b 0 经过一 二 四象限 则有k 0 b 0 3 若直线23ymxm 经过第二 三 四象限 则m的取值范围是 3 2 m 3 0 2 m 3 2 m 0m 4 一次函数 2 4ykxk 的图象经过一 三 四象限 则k的取值范围是 5 如果点 P a b 关于 x 轴的对称点 p 在第三象限 那么直线 y ax b 的图像不经过 第一象 第二象限 第三象限 第四象限 6 已知一次函数y m 1 x n 1的图像不经过第三象限 求m n的取值范围 解 解 例 6 1 下列图象中不可能是一次函数 3 ymxm 的图象的是 2 两个一次函数 1 yaxb 与 2 ybxa 它们在同一直角坐标系中的图象可能是 3 已知一次函数ykxk 其在直角坐标系中的图象大体是 4 在同一坐标系内 如图所示 直线 L1 y k 2 x k 和 L2 y kx 的位置不可能为 x y O x y O x y O x y O B A y x 1 y 2 y y x 1 y 2 y y x 1 y 2 y y x 1 y 2 y B A 考点考点 4 4 一次函数的性质 一次函数的性质 例 7 1 已知一次函数 y 1 m x m 2 当 m 时 y 随 x 的增大而增大 2 已知点 A 4 a B 2 b 都在一次函数 y 2 1 x k k 为常 数 的图像上 则 a 与 b 的大小关系是 a b 填 3 已知一次函数 y 1 2m x m 1 若函数 y 随 x 的增大而减小 并且函数的图象 经过二 三 四象限 求 m 的取值范围 解 解 例 8 如图 是函数yx 1 2 5的一部分图像 根据图像回答 1 自变量 x 的取值范 围是什么 2 当 x 取什么值时 y 有最小值 最小值是多少 3 在 1 中 x 的变 化范围内 y 随 x 的增大而怎样变化 例 9 已知一次函数 y 3 k x 2k 18 1 k 为何值时 它的图像经过原点 2 k 为何值时 它的图像经过点 0 2 3 k 为何值时 它的图像与 y 轴的交点在 x 轴的上方 4 k 为何值时 它的图像平行于直线 y x 5 k 为何值时 y 随 x 的增大而减小 考点考点 5 5 图像平移 图像平移 例 10 1 直线 5 2 1 3 2 1 xyxy 和xy 2 1 的位置关系是 直线 5 2 1 3 2 1 xyxy可以分别看作是直线 xy 2 1 向 平移 个单位得到的 向 平移 个单位得到的 2 将直线 y 2x 3 向下平移 5 个单位 得到直线 3 函数 y kx 4 的图象平行于直线 y 2x 求函数若直线 4ykx 的解析式为 4 直线 y 2x 3 可以由直线 y 2x 经过 单位而得到 直线 y 3x 2 可以由直线 y 3x 经过 而得到 直线 y x 2 可以由直线 y x 3 经过 而得到 方法总结方法总结 求一次函数解析式的专项练习求一次函数解析式的专项练习 待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法 但在一些问题中 往往给出多样的条 件让你求解 体现了函数表达式与其性质 图象以及其它相关知识的联系 下面举例说明 之 供参考 考点考点 1 1 已知两点 已知两点 例 3 1 已知一次函数图象经过 A 2 3 B 1 3 两点 求这个一次函数解析式 试判断点 P 1 1 是否在这个一次函数的图象上 解 解 2 已知某个一次函数的图像与 x 轴 y 轴的交点坐标分别是 2 0 0 4 则 这个函数的解析式为 解 解 考点考点 2 2 已知一点 已知一点 例 4 1 已知一次函数 的图像过点 2 1 求这个函数的解析式 解 解 2 已知直线 与直线 平行 且经过 1 2 函数解析式为 3 直线 在 y 轴上的截距为 2 且经过点 1 2 其解析式为 考点考点 3 3 已知图像 已知图像 y 2 O 1 x 例 5 一次函数的图像如图所示 则该函数的解析式为 已知函数图像如图 求其解析式 考点考点 4 4 已知变量取值 已知变量取值 例 6 1 一次函数 y kx b 的自变量 x 的取值范围是 2 x 6 相应的函数值的范围是 11 y 9 求此函数的解析式 解 解 2 如果一次函数 y kx b 的自变量 x 的取值范围是 2 x 6 相应函数值范围是 11 y 9 函数解析式为 解 解 考点考点 5 5 已知两直线交点 已知两直线交点 例 7 1 一次函数 y kx 5 与直线 y 2x 1 交于点 P 2 m 求 k m 的值 2 函数 y kx b 的图象与另一个一次函数 y 2x 1 的图象相交于 y 轴上的点 A 且 x 轴 下方的一点 B 3 n 在一次函数 y kx b 的图象上 n 满足关系 n2 9 求这个函数的解析式 考点考点 6 6 交点及直线围成的面积问题 交点及直线围成的面积问题 例 8 1 已知直线 y 2x b 与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 且 AOB 的面积是 9 求 b 的值 2 已知直线 y kx 6 与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 且 AOB 的面积是 9 求 k 的值 3 一次函数 y kx b 的图象过点 A 3 0 且与两坐标轴围成的三角形的面积是 9 求该一 次函数的解析式 4 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 1 5 且与正比例函数 y x 的图象相交于点 2 a 1 2 求 1 a 的值 2 k b 的值 3 这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积 例 9 1 已知直线 y 2x 6 和直线 y 2x 2 求两条直线与 x 轴围成的三角形的面积 求两条直线与 y 轴围成的三角形的面积 2 已知直线 l1 y 2x 6 和直线 l2 y kx b 交于点 2 m 两直线与 x 轴围成的三 角形的面积 2 求直线 l2 的解析式 3 已知直线 l1 y 2x 6 与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 直线 l2 y kx b 过 2 2 将 ABO 的面积分为 2 7 求 直线 l2 的解析式 例 10 1 如图 已知直线 1 l 经过点 10 A 和点 2 3 B 另一条 直线 2 l 经过点B 且与x轴相交于点 0 P m 若 APB 的面积为 3 求 m的值 x y O B A 1 2 3 4 1 2 123 1 2 3 l1 x y B AO 2 一个一次函数的图象经过点 A 3 0 且和 y 轴相交于点 B 当函数图象与坐标轴围 成的三角形面积为 6 时 求点 的坐标 3 如图 在平面直角坐标系中 一次函数 1 2 1 xy 的图象与x轴 y 轴分别交于 A B 两点 求点A B的坐标 点 C 在 y 轴上 当 2 ABCAOB SS 时 求点 C 的坐标 4 已知直线 3ykx 经过点 M 2 1 且与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 求 k 的值 求 A B 两点的坐标 过点 M 作直线 MP 与 y 轴交于点 P 且 MPB 的面积为 2 求点 P 的坐标 5 已知 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 24yx 的图象分别与 xy 轴交于点 A B 点P在x轴上 若 6 ABP S 求直线 PB 的函数解析式 7 7 知识拓展 知识拓展 例例 1 2004 年济南市 如图 4 直线 y x 3 的图象与 x 轴 y 轴交 于 A B 两点 直线 l 经过原点 与线段 AB 交于点 C 把 AOB 的面积分为 2 3 两部 分 求直线 l 的解析式 例例 2 2 如图 A B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点 点 P 2 p 在第一象限 直线 PA 交 y 轴于点 C 0 2 直线 PB 交 y 轴于点 D AOP 的面积为 6 1 求 COP 的面积 2 求点 A 的坐标及 p 的值 3 若 BOP 与 DOP 的面积相等 求直线 BD 的函数解析式 例例 3 已知 经过点 3 2 它与 x 轴 y 轴分别交于点 B A 直线 经过点 2 2 且与 y 轴交于点 C 0 3 它与 x 轴交于点 D 1 求直线的解析式 2 若直线与交于点 P 求的值 例例 4 如图 已知点 A 2 4 B 2 2 C 4 0 求 ABC 的面积 2 p y x P OF E D C BA 一次函数与方程 不等式综合一次函数与方程 不等式综合 知识点知识点 1 1 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数与一元一次方程的关系 直线ybk0kx 与 x 轴交点的横坐标 就是一元一次方程b0 0 kxk 的解 求直线ybkx 与 x 轴交点时 可令0y 得到方程b0kx 解方程得x b k 直线 ybkx 交 x 轴于 0 b k b k 就是直线ybkx 与 x 轴交点的横坐标 2 2 一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为ab0 x 或ab0 x ba 为常数 0a 的形式 所以解一元一次不等式可以看作 当一次函数值大 小 于 0 时 求自变量相应的取值范 围 3 3 一次函数与二元一次方程 组 的关系 一次函数与二元一次方程 组 的关系 一次函数的解析式ybk0kx 本身就是一个二元一次方程 直线 ybk0kx 上有无数个点 每个点的横纵坐标都满足二元一次方程ybk0kx 因此二元一次方程的解也就有无数个 例题精讲例题精讲 考点考点 1 1 一次函数与一元一次方程综合 一次函数与一元一次方程综合 例 1 已知直线 32 2ymx 和36yx 交于 x轴上同一点 m 的值为 A 2 B 2C 1 D 0 例 2 已知一次函数yxa 与yxb 的图象相交于点 8m 则ab 例 3 已知一次函数ykxb 的图象经过点 20 13 则不求kb 的值 可直接 得到方程3kxb 的解是 x 考点考点 2 2 一次函数与一元一次不等式综合 一次函数与一元一次不等式综合 例 4 已知一次函数25yx 1 画出它的图象 2 求出当 3 2 x 时 y 的值 3 求出当3y 时 x的值 4 观察图象 求出当 x为何值时 0y 0y 0y 例 5 当自变量 x满足什么条件时 函数41yx 的图象在 1 x轴上方 2 y 轴左侧 3 第一象限 例 6 已知 1 5yx 2 21yx 当 12 yy 时 x 的取值范围是 A 5x B 1 2 x C 6x D 6x 例 7 已知一次函数23yx 1 当 x取何值时 函数 y 的值在1 与2之间变化 2 当 x从2 到 3 变化时 函数 y 的最小值和最大值各是多少 例 8 直线 11 lyk xb 与直线 22 lyk x 在同一平面直角坐标系中的图象 如图所示 则关于 x的不等式 21 k xk xb 的解集为 例 9 若解方程232xx 得2x 则当 x 时直线2yx 上的点在直线 32yx 上相应点的上方 例 10 如图 直线ykxb 经过 2 1A 12B 两点 则不等式 1 2 2 xkxb 的解集为 例 11 已知一次函数经过点 1 2 和点 1 3 求这个一次函数的 解析式 并求 1 当2x 时 y 的值 2 x 为何值时 0y 3 当21x 时 y 的值范围 4 当21y 时 x的值范围 考点三 一次函数与二元一次方程 组 综合考点三 一次函数与二元一次方程 组 综合 例 12 已知直线3yx 与22yx 的交点为 5 8 则方程组 30 220 xy xy 的解是 例 13 已知方程组 yaxc ykxb abck 为常数 0ak 的解为 2 3 x y 则直 线yaxc 和直线ykxb 的交点坐标为 例 14 已知 2 4 x y 是方程组 732 28 xy xy 的解 那么一次函数 y 和 y 的交点是 l2 l1 3 1O y x B A O y x 3 y1 kx b y2 x a x y O 例 15 一次函数 1 ykxb 与 2 yxa 的图象如图 则下列结论 0k 0a 当3x 时 12 yy 中 正确的个数是 A 0B 1C 2D 3 例 16 已知一次函数y6kxb 与一次函数2ykxb 的图象的交点坐标为 A 2 0 求这两个一次函数的解析式及两直线与 y 轴围成的三角形的面积 例 17 如图 直线ykxb 与 x轴交于点 40 则0y 时 x的 取值范围是 A 4x B 0 x C 4x D 0 x 例 18 一次函数ykxb 的图象如图所示 当0y 时 x的取值范 围是 A 0 x B 0 x C 2x D 2x 例 19 已知一次函数ykxb 的图象如图所示 当1x 时 y 的取值范 围是 A 20y B 40y C 2y D 4y 例 20 如图所示的是函数ykxb 与ymxn 的图象 求方程组 kxby mxny 的解关于 x 轴对称的点的坐标是 例 21 一次函数ykxb kb 是常数 0k 的图象如图所示 则不等式0kxb 的解集是 A 2x B 0 x C 2x D 0 x 例 22 如 图 一次函数yaxb 的图象经过 A B 两点 则关 4 O y x 2 3 O y x 2 4 O y x y kx b 2 2 O y x 1 B A 2 O y x 于 x 的不等式0axb 的解集是 例 23 b 取什么整数值时 直线32yxb 与直线2yxb 的交点在第二象限 方法总结方法总结 一次函数的实际应用一次函数的实际应用 考点考点 1 1 从图像获取信息 从图像获取信息 例 1 鄂州 甲 乙两地相距 300 千米 一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地 如 图 线段 OA 表示货车离甲地距离 y 千米 与时间 x 小时 之间的函数关系 折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y 千米 与 x 小时 之间的函数关 系 请根据图象解答下列问题 1 轿车到达乙地后 货车距乙地多少千米 2 求线段 CD 对应的函数解析式 3 轿车到达乙地后 马上沿原路以 CD 段速度返回 求轿车从乙 地出发后多长时间再与货车相遇 例 2 黄石 一辆客车从甲地开往乙地 一辆出租车从乙地开往甲地 两车同时出发 设 客车离甲地的距离为 1 y千米 出租车离甲地的距离为 2 y千米 两车行驶的时间为x小时 1 y 2 y关于x的 函数图像如右图所示 1 根据图像 直接写出 1 y 2 y关于x的函数关系 式 2 若两车之间的距离为S千米 请写出S关于x的 函数关系式 3 甲 乙两地间有A B两个加油站 相距 200 千米 若客车进入A加油站时 出租车恰好进入B加油站 求A加油站离甲地的距离 y 千米 x 小时 106O 600 出租 车 客车 例 3 长春 甲 乙两工程队维修同一段路面 甲队先清理路面 乙队在甲队清理后铺设 路面 乙队在中途停工了一段时间 然后按停工前的工作效率继续工作 在整个工作 过程中 甲队清理完的路面长 y 米 与时间 x 时 的函数图象为线段 OA 乙队铺 设完的路面长 y 米 与时间 x 时 的函数图象为折线 BC CD DE 如图所示 从甲队开始工作时计时 1 分别求线段 BC DE 所在直线对应的函数关系式 2 当甲队清理完路面时 求乙队铺设完的路面长 例 4 淮安 甲 乙两地之间有一条笔直的公路 L 小明从甲地出发沿公路 步行前往乙 地 同时小亮从乙地出发沿公路 L 骑自行车前往甲地 小亮到达甲地停留一段时间 原路 原速返回 追上小明后两人一起步行到乙地 设小明与甲地的距离为 y1米 小亮与甲地的 距离为 y2米 小明与小亮之间的距离为 s 米 小明行走的时间为 x 分钟 y1 y2与 x 之间 的函数图象如图 1 s 与 x 之间的函数图象 部分 如图 2 1 求小亮从乙地到甲地过程中 y1 米 与 x 分钟 之间的函数关系式 2 求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s 米 与 x 分钟 之间的函数关系式 3 在图 2 中 补全整个过程中 s 米 与 x 分钟 之间的函数图象 并确定 a 的值 例 5 南宁 在一条笔直的公路上有 A B 两地 甲骑自行车从 A 地到 B 地 乙骑自行 车从 B 地到 A 地 到达 A 地后立即按原路返回 如图是甲 乙两人离 B 地的距离 y km 与行驶时 x h 之间的函数图象 根据图象解答以下问题 1 写出 A B 两地直接的距离 2 求出点 M 的坐标 并解释该点坐标所表示的实际意义 3 若两人之间保持的距离不超过 3km 时 能够用无线对讲机保 持联系 请直接写出甲 乙两人能够用无线对讲机保持联系时 x 的 取值范围 例 6 绥化 2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8 0 级强力地震 某市接到上 级通知 立即派出甲 乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾 区 乙组由于要携带一些救灾物资 比甲组迟出发 1 25 小时 从甲组出发时开始计时 图中的折线 线段分别表示甲 乙两组的所走路程 y甲 千米 y乙 千米 与时间 x 小时 之间的函数关系对应的图象 请根据图象所提供的信息 解决下列问题 1 由于汽车发生故障 甲组在途中停留了 小时 2 甲组的汽车排除故障后 立即提速赶往灾区 请问甲组的汽 车在排除故障时 距出发点的路程是多少千米 3 为了保证及时联络 甲 乙两组在第一次相遇时约定此后两 车之间的路程不超过 25 千米 请通过计算说明 按图象所表示的 走法是否符合约定 例 7 如图中的图象 折线 ABCDE 描述了一汽车在某一直线上的 行驶过程中 汽车离出发地的距离 s 千米 和行驶时间 t 小时 之间的函数关系 根据图中提供的信息 给出下列说法 汽车共 行驶了 120 千米 汽车在行驶途中停留了 0 5 小时 汽车在整 个行驶过程中的平均速度为 3 80 千米 时 汽车自出发后 3 小时至 4 5 小时之间行驶的速 度在逐渐减少 其中正确的说法共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点考点 2 2 方案选择 方案选择 例 1 A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台 现决定支援 C 村 10 台 D 村 8 台 已 知从 A 市调运一台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 400 元和 800 元 从 B 市调运一台机器 到 C 村和 D 村的运费分别是 300 元和 500 元 1 设