高中数学恒成立问题

高中数学不等式的恒成立问题高中数学不等式的恒成立问题 不等式恒成立的问题既含参数又含变量 往往与函数 数列 方程 几何有机 结合起来 具有形式灵活 思维性强 不同知识交汇等特点 考题通常有两种设计 方式 一是证明某个不等式恒成立 二是已知某个不等式恒成立 求其中的参数的 取值范围 解决这类问题的方法关键是转化化归 通过等价转化可以把问题顺利解 决 下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法 一 构造函数法一 构造函数法 在解决不等式恒成立问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 即 构造函数法 然后利用相关函数的图象和性质解决问题 同时注意在一个含多个变 量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更加面 目更加清晰明了 一般来说 已知存在范围的量视为变量 而待求范围的量视为参 数 例 1 已知不等式对任意的都成立 求 的取值范围 解 由移项得 不等式左侧与二次函数非常相 似 于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立 当时 即 解得故 的取值范围是 注 此类问题常因思维定势 学生易把它看成关于 的不等式讨论 从而因计 算繁琐出错或者中途夭折 若转换一下思路 把待求的 x 为参数 以为变量 令 则问题转化为求一次函数 或常数函数 的值在内 恒为负的问题 再来求解参数 应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了 二 分离参数法二 分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中 当不等式中的参数 或关于参数的代数式 能够与其它变量完全分离出来并 且分离后不等式其中一边的函数 或代数式 的 最值或范围可求时 常用分离参数法 例 2 已知函数 为常数 是实数集上的奇函数 函数 在区间上是减函数 若对 中的任意实数都有在上恒成立 求实数 的取值范围 解 由题意知 函数在区间上是减函数 在上恒成立 注 此类问题可把要求的参变量分离出来 单独放在不等式的一侧 将另一侧 看成新函数 于是将问题转化成新函数的最值问题 若对于 取值范围内的任一个 数都有恒成立 则 若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立 则 三 数形结合法三 数形结合法 如果不等式中涉及的函数 代数式对应的图象 图形较易画出时 可通过图象 图形的位置关系建立不等式求得参数范围 例 3 已知函数若不等式恒成立 则实数的 取值范围是 解 在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象 由于 不等式恒成立 所以函数的图象应总在函数的图象下方 因此 当时 所以故的取值范围是 注 解决不等式问题经常要结合函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适 当的两个函数 利用函数图像的上 下位置关系来确定参数的范围 利用数形结合 解决不等式问题关键是构造函数 准确做出函数的图象 如 不等式 在时恒成立 求 的取值范围 此不等式为超越不等式 求解时一般使用数 形结合法 设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象 借助图象观察便可求解 四 最值法四 最值法 当不等式一边的函数 或代数式 的最值较易求出时 可直接求出这个最值 最值可能含有参数 然后建立关于参数的不等式求解 例 4 已知函数 当时 求的单调区间 若时 不等式恒成立 求实数 的取值范围 解 当时 不等式即恒成立 由于 亦即 所以 令 则 由得 且当时 当时 即 在上单调递增 在上单调递减 所以在处取得极大值 也就是函数在定义域上的最大值 因此要使恒成立 需要 所 以 的取值范围为 例 5 对于任意实数 x 不等式 x 1 x 2 a 恒成立 求实数 a 的取值 范围 分析 把左边看作 x 的函数关系 就可利用函数最值求解 解法 1 设 f x x 1 x 2 2x 1 x 1 3 1 x 2 2x 1 x 2 f x min 3 a 3 分析 利用绝对值不等式 a b a b a b 求解 f x x 1 x 2 的最小值 解法 2 设 f x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 f x min 3 a 3 分析 利用绝对值的几何意义求解 解法 3 设 x 1 2 在数轴上的对应点分别是 P A B 则 x 1 x 2 PA PB 当点 P 在线段 AB 上时 PA PB AB 3 当点 P 不在 线段 AB 上时 PA PB 3 因此不论点 P 在何处 总有 PA PB 3 而当 a 3 时 PA PB a 恒成立 即对任意实数 x 不等式 x 1 x 2 a 恒成立 实数 a 的取值范围为 3 小结小结 求 恒成立问题 中参数范围 利用函数最值方便自然 利用二次不等式恒为 正 负 的充要条件要分情况讨论 利用图象法直观形象 综上 恒成立问题多与 参数的取值范围问题联系在一起 是近几年高考的一个热门题型 它以 参数处理 为主要特征 以 导数 为主要解题工具 往往与函数的单调性 极值 最值等有 关 所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来 通过函数最值求解相关问 题 不等式恒成立问题 因题目涉及知识面广 解题方法灵活多样 技巧性强 难 度大等特点 要求有较强的思维灵活性和创造性 较高的解题能力 上述方法