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正六边形在向量中的应用315504 浙江奉化江口中学 毛显勇内容摘要：以正六边形为载体，理解向量的概念、运算等，以及在教科书与高考中的应用。关键词：正六边形 向量正六边形是各内角都相等（都为1200），且六边都相等、对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。可分解成六个等边三角形，有共同的顶点，即正六边形的中心，且过中心的对角线是它外接圆的直径，长度是边长的2倍。等边三角形的高是正六边形内接圆的半径。由于正六边形有这些特点与性质，于是在生活、学习中被大量用到，如蜜蜂营造的蜂房是正六边形的、正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形等等。下面举例在向量中的应用。1书上的应用例1（普通高中课程标准实验教科书 数学 必修4 P76例2） 如图，设O是正六边形ABCDEF的中点，分别写出图中与、相等的向量。解：=；=；=。并提出思考：向量与相等吗？向量与相等吗？答：向量与相等；向量与不相等，虽然长度相等，但方向相反。教师还可以引申：（1）与相等的向量；（2）与模相等的向量；（3）与平行的向量。点评 本例题通过正六边形增加向量的直观感受，理解、巩固相等向量、平行（或共线）向量和模的概念。例2（P118复习参考题A组4） 已知六边形ABCDEF为正六边形，且=，=，分别用，表示、。解析：如图，=+=，=+=2+=， =，=。则=；=2=；=；=+=；=；=；=+=。说明：本解法用到了方程的思想，先解出向量、，再来求其它；其实本题还可以利用平几知识：设BD交AC于点M，因为，可得BD=3BM，AC=AM，所以=，从而也可以得到其它的向量。点评 本练习利用正六边形的性质，理解、巩固和掌握相等向量、平行向量和相反向量的概念与向量的加减和数乘运算。练习 已知正六边形，给出下列表达式：+；2+；+；2。其中与等价的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个选D。2在高考中的应用例3（08江西文16） 如图，正六边形中，有下列四个命题：A BCD 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）解析：, 对取的中点,则, 对设,则,而,错又,对真命题的代号是点评 本题利用正六边形为载体，考查了相等向量、平行向量的概念，向量的加法、数乘和数量积运算，考察了学生对向量概念、运算是否理解透彻、准确，特别对数量积运算能否灵活应用，而不是拘泥于形式。例4（06四川理7文4） 如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是( )（A） （B） （C） （D）解：如图，已知正六边形，设边长，则=.,=，=，=，=0，0， 数量积中最大的是，选A.点评 本题利用正六边形中的边长、角度
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