数学分析课程教学大纲(修订稿).doc

数学分析课程教学大纲(修订稿) 内蒙古大学数学科学学院数学分析课程教学大纲（修订稿）xx年8月课程编号课程名称数分析（）、（）、（）英文名称Mathematical Analysis（）、（）、（）学分6+6+6=18开课学期秋季春季秋季共三个学期先修课程高中数学课程目的与任务以经典微积分为主体内容的数学分析，是大学理科数学各个专业的重要必修课程，历来为各专业课程体系中的主干。 本课程的基本目的要使学生掌握极限理论、一元微积分学、多元微积分学和无穷级数理论的基本概念和方法，为数学科学各专业一切后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练。 数学分析课程的得失，将直接关系到专业教育的成败。 以经典微积分为主体内容的数学分析，是大学理科数学各个专业的重要必修课程，历来为各专业课程体系中的主干。 本课程的基本目的要使学生掌握极限理论、一元微积分学、多元微积分学和无穷级数理论的基本概念和方法，为数学科学各专业一切后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练。 数学分析课程的得失，将直接关系到专业教育的成败。 本课程总学时为288，分三个学期授课，平均每学期96（166）学时，其中习题与考试所占总学时比例，可视具体教学情况而定，但习题课最低不宜少于84学时。 本课程总学时为288，分三个学期授课，平均每学期96（166）学时，其中习题与考试所占总学时比例，可视具体教学情况而定，但习题课最低不宜少于84学时。 本课程主要内容分为三个部分 （1）一元微积分（包括极限理论和实数完备性的一系列等价命题）； （2）多元微积分； （3）无穷级数理论（包括广义积分和含参变数积分理论）。 其中前两部分主要讲述微积分的基本概念、方法和应用，包括一切相关数学原理的严格证明；第 （3）部分讲述极限理论在无穷级数、含参数广义积分理论中的深入应用。 极限和实数完备性理论、定积分理论以及极限理论的各种应用对学生抽象思维和逻辑推理的训练，对分析数学中必要的方法技巧的掌握都是至关重要的。 本课程主要内容分为三个部分 （1）一元微积分（包括极限理论和实数完备性的一系列等价命题）； （2）多元微积分； （3）无穷级数理论（包括广义积分和含参变数积分理论）。 其中前两部分主要讲述微积分的基本概念、方法和应用，包括一切相关数学原理的严格证明；第 （3）部分讲述极限理论在无穷级数、含参数广义积分理论中的深入应用。 极限和实数完备性理论、定积分理论以及极限理论的各种应用对学生抽象思维和逻辑推理的训练，对分析数学中必要的方法技巧的掌握都是至关重要的。 对课程各部分内容和学时建议，我们按学期分列如下，并用符号（A）、（B）、（C）表示教学上的不同要求，其中（A）表示教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习，并最后达到明晰的理解与巩固的掌握。 （C）对课程各部分内容和学时建议，我们按学期分列如下，并用符号（A）、（B）、（C）表示教学上的不同要求，其中（A）表示教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习，并最后达到明晰的理解与巩固的掌握。 （C）表示教师应当有明晰介绍，学生应当有较好的了解并明了其应用，但不要求练习和熟练掌握其中的逻辑论证。 （B）则表示教学要求介于（A）、（C）之间，教师可根据具体情况机动掌握。 表示教师应当有明晰介绍，学生应当有较好的了解并明了其应用，但不要求练习和熟练掌握其中的逻辑论证。 （B）则表示教学要求介于（A）、（C）之间，教师可根据具体情况机动掌握。 课程内容与学时建设第一学期（按16周计算，授课66学时，习题30学时，合计96学时）篇章名称内容提要课程建议学时一元函数1.实数到实数的映射，复合映射和逆映射A4+22.基本初等函数和初等函数A3.隐式方程、参数方程和极坐标表示的函数B序列极限1.序列极限、无穷小、无穷大及其运算法则A8+42.夹逼收敛A3.单调有界数列的收剑性(可介绍而不证明)A4.若干重要的序列极限A5.无穷小、无穷大的比较和阶A函数极限1.函数极限的定义与不同形式A6+22.函数极限的离散描述及函数极限性质B3.几类基本的函数极限A函数连续性1.函数的连续与间断A6+32.初等函数的连续性A3.闭区间上连续函数的性质（可介绍而不证明）B极限续论1.子序列A10+42.确界定义和确界存在定理；单调有界数列有极限定理A3.区间套定理；致密性定理；Cauchy收敛准则，有限覆盖定理A4.闭区间上连续函数性质的证明A导数及其运算1.函数的变化及导数定义A10+42.初等函数求导法A3.隐函数及由参数表示的函数的求导法A4.高阶导数A5.微分A导数应用1.微分学基本定理A12+62.不定型极限A3.Taylor公式A4.函数作图A不定积分1.原函数，不定积分基本公式及运算法则A10+52.换元积分法A3.分部积分法A4.有理函数积分法（包括三角函数有理式的积分）A5.若干无理函数积分法B第二学期（按16周计算，授课68学时，习题课28学时，合计96学时）篇章名称内容提要课程课程建议学时建议学时定积分理论1.定积分的几何物理背景B14+42.定积分定义和性质A3.积分第一中值定理A4.Dauboux上、下和、上、下积分A5.函数可积性的充分必要条件，可积函数类A6.变限积分，原函数存在的充分条件A7.微积分基本定理，积分第二中值定理A定积分的计算和应用1.分部积分和换元积分公式A10+42.积分微元B3.定积分在几何上的应用A4.定积分在物理上的应用A广义积分1.无穷积分及其敛散性判别法A8+42.瑕积分及其敛性判别法B正项级数1.序列的上下极限B8+42.数项级数基本概念和性质A3.正项级数的比较判别法1A4.正项级数的比较判别法2A变号级数1.变号级数的绝对收敛和条件收敛A8+42.Leibniz、Abel和Dirichlet判别法A3.条件收敛级数的正项分解A4.级数的Riemann重排C5.无穷级数的乘积B函数项级数与幂级数1.函数项级数的一致收敛性A12+42.函数项级数所定义的函数的分析性质A3.幂级数与收敛半径A4.幂级数所定义的函数的分析性质A5.初等函数的幂级数展开A6.Weierstrass多项式逼近定理C Fourier级数与Fourier1.可积函数的Fourier级数A8+42.三角级数的均方逼近C3.Dirichlet积分公式A4.Reimann-Lebesgue引理A积分5.Dini条件与Fourier级数的点收敛性A6.Fourier级数的复数形式和积分公式C第三学期（按16周计算，授课70学时，习题课26学时，合计96学时）篇章名称内容提要课程课程建议学时建议学时多元微分学及其在几何上的应用1.平面点集A22+82.闭集套定理、致密性定理、有限覆盖定理、Cauchy收敛准则C3.多元函数的极限与连续性A4.有界闭域上连续函数的性质C5.偏导数、全微分、复合函数求导的链锁法则A6.方向导数和梯度，高阶偏导数A7.多元隐函数的求导法B8.Jacobi行列式B9.曲线的切线和法平面A10.曲面的切平面和法线A11.多元Taylor公式A隐函数存在定理和极值1.隐函数存在定理(包括一个方程和方程组两种情形)A8+22.函数的极值与条件极值A含参变数的积分1.含参数常义积分所定义的函数A8+42.含参数广义积分的一致收敛性及广义积分所定义函数的分析性质A3.Euler积分B重积分1.二重积分的概念与计算A14+62.二重积分的变量替换，曲面面积A3.三重积分的概念与计算B4.三重积分的变量替换B5.重积分在几何与物理上的应用A线面积分和场论初步1.第 一、二型曲线积分A18+62.第 一、二型曲面积分A3.Green公式、Gauss公式、Stokes公式，散度、旋度及场的的概念A4.积分与路径无关的条件A教材和教学参考书1.教材 (1)曹之江等编著微积分简明教积上、下册，高等教育出版社曹之江编著微积分公理基础，内蒙古大学出版社 (2)复旦大学陈传璋等编数学分析上、下册，高等教育出版社 (3)南开大学李成章、黄玉民编著数学分析上、下册，科学出版社 (4)周民强编著数学分析第 一、二册，上海科学技术出版社方企勤编著数学分析第三册，上海科学技术出版社 (5)陈纪修等编著数学分析上、下册，高等教育出版社 (6)其它优秀的数学分析教材（须经讨论议定）。 2.教学参考书 (1)菲赫金哥尔茨著微积分学教程 一、 二、三卷（共八分册），人民教育出版社 (1)菲赫金哥尔茨著微积分学教程 一、 二、三卷（共八分册），人民教育出版社 (2)柯朗著微积分学和数学分析引论，科学出版社） (3)Walter Rudin:Principles ofMathematical Analysis（影印版） (4)江泽坚等编著数学分析上、下册，人民教育出版社 (5)克莱姆鲍尔著数学分析，上海科学技术出版社 (6)张筑生编著数学分析新讲 一、 二、三册，北京大学出版社考试和成绩评定每学期期中，期末进行考试，考试形式为闭卷。 学生每学期期末总成绩要结合平时作业、期中和期末考试成绩综合评定，作业成绩和期末考试成绩的比例可为37或46，期中成绩可作为综合评定成绩的参考。 学生每学期期末总成绩要结合平时作业、期中和期末考试成绩综合评定，作业成绩和期末考试成绩的比例可为37或46，期中成绩可作为综合评定成绩的参考。 对期末考试要求写出试卷参考答案和评分细则以及成绩单，要进行试卷分析，并由教师写出分析报告；期中考试只要求教师写出成绩单和试卷分析报告。 对期末考试要求写出试卷参考答案和评分细则以及成绩单，要进行试卷分析，并由教师写出分析报告；期中考试只要求教师写出成绩单和试卷分析报告。 教学基本要求本课程教学方式为教师讲授。 主讲教师应该做到1.按照教学大纲的规定写出每学期的教学实施计划，掌握教学进度，完成教学任务。 1.按照教学大纲的规定写出每学期的教学实施计划，掌握教学进度，完成教学任务。 2.熟悉教材，认真备课，写出讲稿。 3.讲授清楚，板书工整，注意改进教学方法。 4.对辅导教师要给予热情指导，对辅导教师的工作要做到心中有数并及时提出改进意见。 4.对辅导教师要给予热情指导，对辅导教师的工作要做到心中有数并及时提出改进意见。 辅导教师应该做到1.随堂听课。 2.定时辅导。 通常安排在当天课后辅导，每周不少于二次，每次不少于一小时。 2.定时辅导。 通常安排在当天课后辅导，每周不少于二次，每次不少于一小时。 3.批改作业。 每周批改一次，批改量为100%，对作业中出现的错误不能简单地划“”，要明确指出存在的主要问题，要有优、良、合格和不合格四级记载。 每次作业批改完毕都要向主讲教师交一份作业批改情况简介。 3.批改作业。 每周批改一次，批改量为100%，对作业中出现的错误不能简单地划“”，要明确指出存在的主要问题，要有优、良、合格和不合格四级记载。 每次作业批改完毕都要向主讲教师交一份作业批改情况简介。 4.上好习题课。 根据主讲内容和作业中出现的问题，认真选题、备课，习题课上应展开讨论，形成师生互动氛围，激发学生学