2019届高考数学第二章函数导数及其应用课堂达标12函数模型及应用文新人教版

1 课堂达标课堂达标 十二十二 函数模型及应用函数模型及应用 A 基础巩固练 1 向一杯子中匀速注水时 杯中水面高度h随时间t变化的函数h f t 的图象如图 所示 则杯子的形状是 解析 从题图看出 在时间段 0 t1 t1 t2 内水面高度是匀速上升的 在 0 t1 上升慢 在 t1 t2 上升快 故选 A 答案 A 2 用长度为 24 的材料围一矩形场地 中间加两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔 墙的长度为 A 3 B 4 C 6 D 12 解析 设隔墙的长度为x 0 x 6 矩形面积为y 则y x 2x 6 x 24 4x 2 2 x 3 2 18 当x 3 时 y最大 答案 A 3 一个人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到 0 3 mg mL 在停止喝酒后 血液中的酒精含量以每小时 25 的速度减少 为了保障交通安全 某地根据 道路交通安 全法 规定 驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0 09 mg mL 那么 此人至少经过 小时才能开车 精确到 1 小时 解析 1 设经过x小时才能开车 由题意得 0 3 1 25 x 0 09 0 75x 0 3 x log0 750 3 4 19 x最小为 5 答案 5 4 2018 北京朝阳区统一考试 设某公司原有员工 100 人从事产品A的生产 平均每 人每年创造产值t万元 t为正常数 公司决定从原有员工中分流x 0 x 100 x N N 人 去进行新开发的产品B的生产 分流后 继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产 值在原有的基础上增长了 1 2x 若要保证产品A的年产值不减少 则最多能分流的人数是 2 A 15 B 16 C 17 D 18 解析 由题意 分流前每年创造的产值为 100t 万元 分流x人后 每年创造的产 值为 100 x 1 1 2x t 则由Error 解得 0 x 50 3 因为x N N 所以x的最大值为 16 答案 B 5 2018 武汉检测 某汽车销售公司在A B两地销售同一种品牌的汽车 在A地的 销售利润 单位 万元 为y1 4 1x 0 1x2 在B地的销售利润 单位 万元 为y2 2x 其 中x为销售量 单位 辆 若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车 则能获得的最大 利润是 A 10 5 万元 B 11 万元 C 43 万元 D 43 025 万元 解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆 则在B地销售该品牌的汽车 16 x 辆 所以可得利润y 4 1x 0 1x2 2 16 x 0 1x2 2 1x 32 0 1 2 0 1 32 x 21 2 212 4 因为x 0 16 且x N N 所以当x 10 或 11 时 总利润取得最大值 43 万元 答案 C 6 2018 石家庄模拟 在翼装飞行世界锦标赛中 某翼人空中高速飞行 如图反映 了他从某时刻开始的 15 分钟内的速度v x 与时间x的关系 若定义 速度差函数 u x 为时间段 0 x 内的最大速度与最小速度的差 则u x 的图象是 解析 由题意可得 当x 0 6 时 翼人做匀加速运动 3 v x 80 x 速度差函数 u x x 40 3 当x 6 10 时 翼人做匀减速运动 速度v x 从 160 开始下降 一直降到 80 u x 160 80 80 当x 10 12 时 翼人做匀减速运动 v x 从 80 开始下降 v x 180 10 x u x 160 180 10 x 10 x 20 当x 12 15 时 翼人做匀加速运动 速度差函数 u x 160 60 100 结合所给的图象 故选 D 答案 D 7 2018 河南安阳模拟 某类产品按工艺共分 10 个档次 最低档次产品每件利润为 8 元 每提高一个档次 每件利润增加 2 元 用同样工时 可以生产最低档产品 60 件 每 提高一个档次将少生产 3 件产品 则获得利润最大时生产产品的档次是 解析 由题意 第k档次时 每天可获利润为 y 8 2 k 1 60 3 k 1 6k2 108k 378 1 k 10 配方可得y 6 k 9 2 864 当k 9 时 获得利润 最大 答案 9 8 2018 沈阳模拟 一个容器装有细沙a cm3 细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢 地匀速漏出 t min 后剩余的细沙量为y ae bt cm3 经过 8 min 后发现容器内还有一半 的沙子 则再经过 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一 解析 依题意有a e b 8 a b 1 2 ln 2 8 y a e t 若容器中只有开始时的八分之一 ln 2 8 则有a e t a 解得t 24 ln 2 8 1 8 所以再经过的时间为 24 8 16 min 答案 16 9 某商人购货 进价已按原价a扣去 25 他希望对货物订一新价 以便按新价让利 20 销售后仍可获得售价 25 的利润 则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系式为 解析 设新价为b 依题意 有b 1 20 a 1 25 b 1 20 25 化简得 b a y b 20 x a 20 x 即y x x N N 5 4 5 4 a 4 答案 y x x N N a 4 10 2018 珠海模拟 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的 调查研究中 发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线 当 4 t 0 14 时 曲线是二次函数图象的一部分 当t 14 40 时 曲线是函数 y loga t 5 83 a 0 且a 1 图象的一部分 根据专家研究 当注意力指数p大于等 于 80 时听课效果最佳 1 试求p f t 的函数关系式 2 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳 请说明理由 解 1 t 0 14 时 设p f t c t 12 2 82 c 0 将 14 81 代入得c 1 4 当t 0 14 时 p f t t 12 2 82 1 4 t 14 40 时 将 14 81 代入y loga t 5 83 得a 当t 14 40 时 1 3 p f t log t 5 83 1 3 所以p f t Error 2 t 0 14 时 由 t 12 2 82 80 1 4 解得 12 2 t 12 2 所以t 12 2 14 222 t 14 40 时 由 log t 5 83 80 解得 5 t 32 所以t 14 32 所以 1 3 t 12 2 32 即老师在t 12 2 32 时段内安排核心内容使得学生听课效果最 22 佳 B 能力提升练 1 2018 郑州模拟 某化工厂打算投入一条新的生产线 但需要经环保部门审批同意 方可投入生产 已知该生产线连续生产n年的累计产量为f n n n 1 2n 1 吨 但 1 2 如果年产量超过 150 吨 会给环境造成危害 为保护环境 环保部门应给该厂这条生产线 拟定最长的生产期限是 A 5 年 B 6 年 C 7 年 D 8 年 解析 第n年的年产量 y Error 5 因为f n n n 1 2n 1 所以f 1 3 1 2 当n 2 时 f n 1 n n 1 2n 1 1 2 所以f n f n 1 3n2 n 1 时 也满足上式 所以第n年的年产量为y 3n2 令 3n2 150 所以n2 50 因为n N N n 1 所以 1 n 7 所以nmax 7 答案 C 2 某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克 如图所示为函数y f x 的图象 当血液中药物残留量不小于 240 毫克时 治疗有效 设某人上午 8 00 第一次服药 为保 证疗效 则第二次服药最迟的时间应为 A 上午 10 00 B 中午 12 00 C 下午 4 00 D 下午 6 00 解析 当x 0 4 时 设y k1x 把 4 320 代入 得k1 80 y 80 x 当x 4 20 时 设y k2x b 把 4 320 20 0 代入得Error 解得Error y 400 20 x y f x Error 由y 240 得Error 或Error 3 x 8 故第二次服药最迟应在当日下午 4 00 故选 C 答案 C 3 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元 此外每生产 1 件该产品还需要 增加投资 1 万元 年产量为x x N N 件 当x 20 时 年销售总收入为 33x x2 万元 当 x 20 时 年销售总收入为 260 万元 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万 元 则y 万元 与x 件 的函数关系式为 该工厂的年产量为 件时 所得年利 润最大 年利润 年销售总收入 年总投资 解析 当x 20 时 y 33x x2 x 100 x2 32x 100 当x 20 时 y 260 100 x 160 x 故y Error x N N 当 0 x 20 时 y x2 32x 100 x 16 2 156 x 16 时 ymax 156 而当 6 x 20 时 160 x 140 故x 16 时取得最大年利润 答案 y Error x N N 16 4 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销售限价 a 最高销售限价b b a 以及实数x 0 x 1 确定实际销售价格c a x b a 这里 x被称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数x恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比 中项 据此可得 最佳乐观系数x的值等于 解析 依题意得x c a 2 b c b a c a b a b c b a c a c a 2 b a 2 b a c a 两边同除以 b a 2 得x2 x 1 0 解得x 1 5 2 0 x 1 x 5 1 2 答案 5 1 2 5 如图所示 在矩形ABCD中 已知AB a BC b a b 在AB AD CD CB上分 别截取AE AH CG CF都等于x 当x为何值时 四边形EFGH的面积最大 求出这个最 大面积 解 设四边形EFGH的面积为S 由题意得S AEH S CFG x2 1 2 S BEF S DHG a x b x 1 2 由此得S ab 2 2x2 a b x 2 2 1 2x2 1 2 a x b x x a b 4 a b 2 8 函数的定义域为 x 0 x b 因为a b 0 所以 0 b a b 2 若 b 即a 3b x 时面积S取得最大值 a b 4 a b 4 a b 2 8 若 b 即a 3b时 函数S 2 2 在 0 b 上是增函数 a b 4 x a b 4 a b 2 8 因此 当x b时 面积S取得最大值ab b2 7 综上可知 若a 3b 当x 时 四边形EFGH的面积取得最大值 若 a b 4 a b 2 8 a 3b 当x b时 四边形EFGH的面积取得最大值ab b2 C 尖子生专练 有一种新型的洗衣液 去污速度特别快 已知每投放k 1 k 4 且k R R 个单位的洗 衣液在装有一定量水的洗衣机中 它在水中释放的浓度y 克 升 随着时间x 分钟 变化的 函数关系式近似为y k f x 其中f x Error 若多次投放 则某一时刻水中的洗衣液 浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和 根据经验 当水中洗衣液的浓度 不低于 4 克 升时 它才能起到有效去污的作用 1 若只投放一次k个单位的洗衣液 当两分钟时水中洗衣液的浓度为 3 克 升 求k 的值 2 若只投放一次 4 个单位的洗衣液 则有效去污时间可达几分钟 3 若第一次投放 2 个单位的洗衣液 10 分钟后再投放 1 个单位的洗衣液 则在第 12 分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用 请说明理由 解 1