第五章 刚体力学.doc

第五章 刚体力学在前面的机械运动研究中，主要考虑的是不计体积和形状的物体质点。然而在更多的情况下，我们所遇到的物体体积和形状不可忽略，例如地球的自转、车轮在地面上的滚动、雷达的扫动、运动员的腾挪翻转、机械的运转等。很显然这些物体的运动比质点的运动规律要复杂地多，因此必须找到一种方法研究这类物体的机械运动。这种方法要满足两个条件：第一简单。第二要能够沿用前面所学过的质点运动的一整套方法。这个方法就是刚体力学研究方法，在这个方法中建立了这类物体对象的理想模型刚体。虽然是理想模型，却可以与实际物体联系起来，上述运动中的物体可看成刚体，实际物体在形变不大的情况下都可看成刚体。刚体的定义是：它一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。由于刚体是质点系，所以研究方法将会充分利用质点运动的研究成果，这符合知识学习的连贯性、继承性、体系性。另外刚体中任意两质点在运动中距离始终保持不变，如果研究出刚体中任一质点的运动规律，再研究出其它质点相对该质点的运动，则整个刚体的运动就掌握了，因此这种方法是简单的。不能当作刚体的更复杂物体对象将会用流体力学一类的方法进行研究。第一节 刚体的运动在确定研究对象为刚体之后，接下来就要分析刚体运动的特点，掌握这些特点后，就可以针对刚体每一类运动分别展开研究。通过分析刚体运动可分为如下的几种：一、平动 （a） （b）图51 刚体的平动1.定义：刚体上任一给定直线（或任意二质点间的连线）在运动中空间方向始终不变而保持平行，叫做刚体的平动（图51）。2.性质：平动时刚体内所有质点的位移矢量、瞬时速度矢量、瞬时加速度矢量都相同，即运动规律一样。知道一个质点运动规律，就可知刚体整体和刚体内其它质点的运动规律。我们可以选取刚体上一个特定点的运动来代表刚体的运动，该点的位置和运动规律与整个刚体的质量和所受合外力有关，即满足：刚体的质量与刚体质心的加速度的乘积等于刚体所受的合外力。 用式子表示为。在前面质点运动的章节中出现的大物体都是在做刚体平动一类的运动，所以都被当作质点来对待的。3.自由度：确定刚体平动的自由度为三个。自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量。独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数。例如描述一个质点，在直角坐标下，需要x、y、z三个独立的坐标，即3个自由度。刚体的整体运动与刚体中一个质点的运动相同，所以该刚体内质点的自由度就是刚体的自由度。二、刚体的定轴转动 图52 刚体的定轴转动1.定义：若刚体运动时，所有质点都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，该直线相对刚体的位置和取向始终不变，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作固定转轴。例如门的转动、电风扇的转动等运动（图52）。 2.性质：刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体上轴以外的质点绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。转动时，轴外各点在同一时间间隔内，走过的弧长虽不同，但角位移都一样。和转轴相平行的线上各质点的运动情况完全一样。 图53 刚体的定轴转动分析 3.自由度：1个。定轴转动刚体的自由度就是刚体转动时的角位置坐标。如图所示（图53）：建立O-xyz系，z轴与转轴重合，转轴上一点确定为坐标原点O，如果刚体不转动，则在此坐标系中刚体各质点的位置就确定了。当刚体定轴转动时，截取刚体一个剖面O-xy平面（其余平面都与该平面平行），除O点外，再选刚体上任一点A，A的位置变化可用OA与x轴的夹角的增量来确定，刚体中任一质点的位置变化都可用来确定。确定了刚体中任一质点的位置，确定了刚体在转动时的整体位置，此角称为绕定轴转动刚体的角位置坐标。角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，角为正，否则角为负。4转动平面：垂直于转轴的平面。例如上面提到的O-xy平面（及其平行面）。在刚体转动分析中，要用到转动平面。研究刚体的整体转动规律，往往是对刚体中每个质点的运动分析综合得到的。而刚体转动时，每个质点都有在转动平面上做圆周运动。5刚体定轴转动描述的两套物理量：角量和线量。（1）角量描述：适用于对刚体整体转动描述的需要。1）角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量 。任意质点的角位移是相同的是一整体运动的量。面对z 轴观察：逆时针转动，；反之，。2）角速度： （51）面对z 轴观察：逆时针转动，；反之，。3）角加速度： （52）加速转动，与同号；，反之，。 图54 加速转动 图55 减速转动（2）线量描述：适用于对刚体中某质点mi运动描述的需要，常用的线量为：1）位置矢量，2）瞬时速度，3）瞬时加速度。（3）角量和线量的关系：刚体中质点运动线量与整个刚体角量之间是可以互相转换，这种转换在推导刚体整体运动规律特别重要。现考察刚体转动平面上任一质点（图56），其质量为mi，转动半径为，则有如下变换关系：1）质点mi线速率与刚体角速度的关系： （53）2）质点mi法向加速度与刚体角速度的关系： （54）3）质点mi切向加速度与刚体角加速度的关系： （55）图56 角量与线量的关系三、刚体的平面运动1.定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行，刚体的转轴始终与这些平面垂直。例如手榴弹在空中翻转飞行、车轮在地面向前滚动、黑板擦擦黑板的运动等。2.性质：刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。刚体的平面运动可看成是刚体的平动与刚体定轴转动的叠加。3.自由度：3个。因为：由平面运动的特点，可用与固定平面平行的刚体的任一剖面（截面）来研究，此截面位置一经确定，刚体的位置便确定了。通常选择此平面内刚体上某点的位置坐标（x，y）和绕过该点轴旋转的角度来描述刚体的位置。 四、刚体的一般运动刚体的一般运动可以看成是刚体的平动与刚体的非定轴转动的叠加。例如陀螺在地面上的转动（图57），一方面陀螺绕自转轴转动，一方面陀螺的自转轴在空间的位置和取向也在不断变化。刚体的一般运动（图58）的自由度为6个：确定刚体质心位置的3个坐标（x，y，z），确定通过质心转轴的空间取向2个坐标（，），确定刚体相对转轴转过的角度1个坐标（）。 图57 陀螺的运动 图58 刚体的一般运动本章只研究刚体的平动、定轴转动、平面运动。第二节 刚体定轴转动一、力矩刚体是怎样由静止的状态变为绕固定轴转动的？换句话说刚体的转动运动状态的改变与什么物理量有关？通过实践可以发现，这个物理量不仅与力有关，还和力的作用点以及力的方向有关。这个物理量就是外界施加在刚体上的相对于固定轴的力矩，正是在力矩的作用下刚体绕定轴可以越转越快或越转越慢。 图59 刚体受到的外力矩作用如图59考察绕固定Z轴转动刚体中的一个转动平面，设有一个外力F作用在P点，F不一定落在转动平面内，这个力相对于Z轴的力矩等于什么呢？按照力矩的定义： （56）为转轴到力点的位置矢量，也是力点做圆周运动的转动半径矢量。这个力矩是不是都会改变刚体相对Z轴的转动呢？下面进一步分析：将力F分解为平行于轴的分力F1和垂直于轴的分力F2 ，F1产生的力矩不会影响刚体绕Z轴的转动，只有F2产生的力矩才会改变刚体绕Z轴的转动。也就是外力矩与定轴方向相同或相反就会使静止刚体绕轴逆（顺）时针方向转动，外力矩与定轴方向垂直静止刚体不动。可绕定轴转动的力矩分量： （57） 大小为： （58）在刚体定轴转动计算力矩时，只需考虑外力平行于转动平面的分量，外力垂直于转动平面的分量不用考虑。在下面的转动定律推导中就是这样处理的。二、定轴转动定律 图510 力矩与刚体转动的关系相对于转轴的外力矩会改变刚体的定轴转动状态，刚体可以从静止到转动或从转动到静止。究竟在外力矩的作用下刚体转动的规律是怎样的呢？下面开始进行研究，研究的出发点是刚体中的一个任意的质点。如图510，刚体转动平面中任意一点P点，P点是一个质点，设其质量为，所受外力和内力分别为、，其加速度为。如前所述、是外力和内力落在转动平面上的分量，由于刚体绕定轴转动，质点只能在转动平面内运动，其所受外力和内力垂直于转动平面分量的总和一定为零。据此质点满足的动力学方程： （59）动力学法向分量方程： （510） 其中有线量和角量转换关系：动力学切向分量方程： （511）其中有线量和角量转换关系：切向分量方程两端乘，得到力矩方程： （512）对刚体中所有质点都列出相应力矩方程然后求和得： （513）因为内力总是成对出现，大小相等方向相反，其相对定轴的合力矩为零： （514）得： （515） （516）令，称为刚体绕该定轴的转动惯量。刚体定轴转动定律： （517）刚体定轴转动定律表述：刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。现在我们找出了合外力矩对刚体定轴转动作用的运动规律。注意：（1）转动定律是瞬时关系，式中各量都是状态量，代表了该时刻刚体的运动状态。（2）式中各量都是相对量，相对某转轴的。在式中必须将所有各量统一到相对同一转轴。（3）式中M为外力矩的矢量和。（4）式中为刚体的转动惯量，代表在转动中刚体的惯性大小。三、转动惯量及计算1. 定义刚体绕给定轴的转动惯量J等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。 （518）它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。注意：（1）转动惯量与转轴有关。同样一个刚体，对不同的转轴转动惯量不同。（2）转动惯量与刚体质量的分布有关。在相同质量情况下，质量分布离转轴越近转动惯量越小，越远转动惯量越大。（3）转动惯量也与质量有关。在刚体的形状和质量分布形式一样，并且相对同一转轴，刚体质量越大刚体转动惯量越大。2. 物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。3. 单位：4. 转动惯量的计算 如果刚体上的质点是离散或连续分布的，则其转动惯量可以用求和和积分进行计算，如果刚体的几何形状是不规则的，则其转动惯量可由实验测定得到。（1）离散分布计算：刚体的质量是离散分布的，质量为的质点到转轴的转动半径为，则整个刚体的转动惯量： （519）（2）连续分布计算： 刚体的质量是连续分布的，将刚体分割为一个个质量微元，每个质量微元可看成质点，质量为，其到转轴的转动半径为，则整个刚体的转动惯量就是每个质量微元的转动惯量的积分： （520）1)当刚体的质量是线分布，质量微元分布在线段微元上，为质量线密度，即为单位长度上的质量。转动惯量为： （521）2) 当刚体的质量是面分布，质量微元分布在面积微元上，为质量面密度，即为单位面积上的质量。转动惯量为： （522）3) 当刚体的质量是体分布，质量微元分布在体积微元上，为质量体密度，即为单位体积上的质量。转动惯量为： （523）5.回转半径 图511 回转半径一个实际刚体的转动惯量，可用一个等效刚体的转动惯量来表示。这个刚体可看成是所有的质量集中在距转轴为的地方，称为该刚体的回转半径（图511）。回转半径可用来形象了解一个刚体的转动惯量。根据转动惯量的定义，回转半径为： （524）式中为刚体的总质量。6.平行轴定理 图512 平行轴定理 除了可用上述的方法计算刚体的转动惯量，还可以利用已知的绕某轴的转动惯量来计算同一刚体绕其它轴的转动惯量。如图512，设质量为m的刚体绕过质心C的转轴的转动惯量为，将转轴朝任一方向平移一个距离d，则绕此轴的转动惯量为： （525）由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。7.垂直轴定理 图513 垂直轴定理无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和（图513）。 （526）垂直轴定理适用条件：x、y、z轴过同一点，且互相垂直，z轴垂直于板面x、y轴在板面内。 8.几种常见刚体的转动惯量（1）圆环 （2）圆盘（3）细棒 （4）细棒（5）球体例5-1 如图（例51图）半圆形匀质细杆，半径为，质量为，过圆心和圆弧中点，试求细杆对轴的转动惯量。 例51图解 在细杆上选一质量微元： 质量微元到转轴的转动半径：整个刚体的转动惯量：例52 有一质量为长为的匀质细杆，求：对过质心与杆垂直的轴的转动惯量。对过一端且平行的轴转动惯量。 例52（a）图解：建立如图（例52图）坐标系，坐标原点建立在细杆的中心，选长度为质量为的质量微元，质量微元到转轴的转动半径为x，则刚体绕该轴的转动惯量： 例52（b）图建立如图（例52（b）图）坐标系，坐标原点建立在细杆的左端点，选长度为质量为的质量微元，质量微元到转轴的转动半径为x，则刚体绕该轴的转动惯量：另解：运用平行轴定理，。例53 一定滑轮质量为M 、半径为 R，转动惯量为，轴的摩擦可忽略（例53图）。求用轻绳绕在定滑轮上质量为m的物体由静止开始下落过程中，下落速度与时间的关系。绳与定滑轮边沿没有相对滑动。例53图解 对物体m采用隔离物体受力分析，设物体受绳子向上的拉力T和自身的重力作用，加速度为a，其动力学方程为： 对定滑轮M进行运动分析，M在外力矩TR的作用下，产生角加速度，其所满足的转动定律为： 又因为定滑轮边沿绳子的线加速度与定滑轮角加速度的关系： 已知的定滑轮转动惯量： 解得物体m的线加速度：由物体初速度，得物体下落速度与时间的关系：例54 如图（例54图（a）物体放在光滑桌面上，用轻绳绕过质量为的定滑轮与质量为的物体连接。定滑轮半径为R，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦。初始时刻所有物体和定滑轮静止，然后物体开始下落。求下落过程中的加速度，AC、BC间绳的张力。例54（a）图 例54（b）图解 隔离物体受力分析(例54（b）图)，对有： 为所受绳子的张力，为的加速度。对有： 为所受绳子的张力，为的加速度，与的加速度相同。定滑轮满足转动定律： 式中为定滑轮的角加速度。AC段绳子作用在定滑轮上的作用力为： BC段绳子作用在定滑轮上的作用力为： 由于绳与滑轮无相对滑动有： 联立上面各式，解得下落的加速度： AC间绳子的张力为：BC间绳子的张力为：例55 如图所示（例55图）为测量不规则刚体转动惯量的实验装置，装置轴体半径为，重物质量为，置于轴体顶部的托盘上。轴体及托盘的转动惯量为，一质量为的重物通过轻质绳子绕在轴体上并经过定滑轮下垂。初始物体静止，然后在重力作用下下落，并带动轴体和不规则刚体一起转动，设经过时间，重物下落高度，求不规则刚体的转动惯量。不规则刚体与托盘间没有相对滑动，绳与轴体间没有相对滑动，不计轴承摩擦，不计定滑轮和轻绳的质量。 例55图解 轴体托盘及不规则刚体，在转动中可看成是一个等效刚体。根据转动定律有：式中为绳子作用在轴体边沿的力，也就是等效刚体所受的合外力矩，为等效刚体转动的角加速度。对于重物m：式中为重物所受绳子向上的张力，为重物的加速度。根据定滑轮的转动定律，同时忽略定滑轮的质量，因此有： 因为绳与轴体间没有相对滑动，线量与角量的关系为：联立上面四式解得： 由解可知重物加速度为常数，因此重物在做匀加速运动，并满足题目所给条件： 解得： 将结果代入得不规则刚体的转动惯量为： 实验装置就是通过测量重物下落高度和时间计算出不规则刚体转动惯量的。例56 如图（例56图）一质量为M、半径为r的圆盘，通过在盘心并垂直于盘的光滑轴转动，质量为m，长为的匀质柔软绳索挂在盘上，绳与圆盘间无相对滑动，由于圆盘两边垂挂的绳长度不一样，所受重力不一样，会带动盘的转动。试求当两侧绳长之差为s时，绳的加速度的大小。 例56图解 建立如图（例56图）坐标系，坐标原点在盘心。设任一时刻绳长分别为、，单位长度质量为。对段绳子，列动力学方程，各量向上为正：式中为盘作用于这段绳子的力，为这段绳子的线加速率。对段绳子，列动力学方程，各量向下为正： 式中为盘作用于这段绳子的力，为这段绳子的线加速率。对圆盘，列转动定律： 式中是圆盘和某时刻附着在圆盘上的绳子组成的刚体的转动惯量，为圆盘的角加速度。根据角量和线量的关系： 绳长为： 圆盘外两边垂挂绳长之差：联立上面各式得：第三节 力矩的功 转动动能 上一节研究了刚体在某个瞬间受到外力矩的作用，转动状态发生改变的运动规律，这一节将用另一视角研究刚体的定轴转动。运用这个视角就是要考察刚体在某个过程中，受外力矩对刚体的持续空间作用，刚体转动状态究竟发生了什么样的变化。一、力矩的功 图514 外力矩对刚体转动做功首先考察外力矩对刚体转动的持续作用，这个作用就是外力矩在对刚体转动做功。设刚体某转动平面，有一外力F（实际是外力落在转动平面内的分量，对定轴转动合外力垂直分量一定为零）作用在P点，在外力F的作用下刚体发生转动，经历了dt时间，力点产生了位移ds，则F所做的功为： （527）式中r为转轴到力点的转动半径。 （528）由该式得到：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，外力对位移的积累作用等效于外力矩对角位移的积累作用。即在刚体定轴转动问题中，外力做功等于力矩做功，力矩做功就是力矩对角位移的积累。注意式中应是合外力矩，在上面推导中，是只有一个外力的情况。一般情况下可能是有多个外力，这时应先求出每一个力的力矩，再求出合外力矩。如果刚体在力矩M的作用下绕固定轴从位置q1转到q2 , 在此过程中力矩所作的功为： （529）注意：（1）若上式中力矩为恒量，力矩做的功为：；即恒力矩做的功等于力矩与角位移的乘积。 （2）刚体内部的内力由于总是成对出现，大小相等方向相反，作用在一条直线上，因此内力矩做功之和为零。 （3）力矩的功有正、负。当力矩与角速度同向时，力矩的功为正；反之为负。二、力矩的功率力矩的平均功率可以表示为： （530）力矩的瞬时功率可以表示为： （531）式中w是刚体绕转轴的角速度。 三、转动动能刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第i个质点的质量为，速度为，则该质点的动能为：。刚体做定轴转动时，各质点的角速度w相同。设质点离轴的垂直距离为，则它的线速度，因此整个刚体的动能为： （532） 式中为刚体绕定轴的转动惯量。注意：（1）刚体的转动动能是状态量。（2）刚体的转动动能是相对量，与刚体所绕的定轴有关。（3）刚体的转动动能代表刚体在该状态下做功的能力。（4）刚体转动动能是刚体定轴转动时刚体内所有质点的动能之和。四、刚体转动动能定理定轴转动中合外力矩所做的功对刚体运动状态会产生什么样的影响呢？合外力矩所做的功为： （533）根据刚体定轴转动定律，（533）式变为： （534）即： （535）这就是刚体转动动能定理。其表述为：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。注意：（1）转动动能定理式是过程方程。（2）由此方程式可方便的运用转动动能状态量的增量去求解过程量功。例57 一飞轮转动惯量为J，现有一制动力矩M=-k作用在其上，使得飞轮的转动角速度由0减小到0/2（例57图），问在此过程中所需的时间和制动力矩所做功各是多少？例57图解 根据转动动能定理，制动力矩所做的功等于飞轮转动动能的增量。计算可得制动力矩所做功为：运用转动定律： 两边分别积分：得此过程所用时间为：第四节 质心与质心运动定律 刚体虽然是一个刚性的整体，但可看成是许多质点的集合。为了研究刚体的势能，以及刚体的平动等问题，我们需要找到一个能代表刚体整体运动的点，这个点的运动规律与刚体所受外界对它的作用（如合外力）和整个刚体质量有关。这个点就是刚体的质心，有了质心之后，求解刚体的问题就可以变得简单。我们可以将刚体的运动分解为整个跟随质心所做的平动相对于通过质心转轴的刚体转动。刚体的机械能也可以分解为平动动能转动动能与质心有关的势能。当然本节所计算出的质心和质心运动规律不仅适用于一、质心如果考察刚体或质点系中每个质点的运动会很复杂，为了简化运动的分析研究，我们定义刚体或质点系的质心满足运动定律： （536）式中为刚体或质点系所受合外力，为刚体或质点系的质量，为质心的瞬时加速度。注意：（1）质心的运动可以代表刚体的平动，因为刚体平动时刚体上各点的运动规律相同。（2）用合外力和整个质点系的质量来得到质心的加速度是比较方便的，因为在前面的机械运动研究中我们一直用的是这种方法。（3）质心的概念是把整个刚体或质点系看成为一个等效的质点，整个刚体或质点系的质量集中在这个质点上，所有的合外力也作用在这个质点上。（4）由定义和后面的研究可以得到质心实际上就是刚体或质点系的质量中心。在质量均匀分布的刚体或质点系中，质心就是几何对称中心。二、质心坐标1两小球刚体的质心 图515 两小球刚体质心的测定 由上面的质心要求，即所有质量、所有外力集中在该点，刚体产生平动。那么我们可以通过实验来研究刚体质量分布与坐标的关系，从而得到刚体的质心位置坐标。如图515所示实验装置，两小球可看成两质点，用刚性轻质细杆连接，细杆质量可忽略。将此刚体放在光滑的水平面上，建立oxy坐标系，质量为的小球坐标为（，），质量为的小球坐标为（，）。实验中用棒击打刚体的轻质细棒部分，可以发现打在任意位置刚体都有平动和转动，只有打在C点（坐标为，），刚体只有平动没有转动，根据质心的要求，该点就是质心。下面通过实验数据得到质心的坐标与刚体质量分布和坐标的关系。由实验测量，可得质心到小球的距离与质心到小球的距离的比值为： （537）即距离与质量成反比的关系，质心的坐标靠近质量大的小球。由刚体的几何形状，构造出质心和两小球组成的的两个相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的关系，将式子中的距离之比变为小球和质心坐标之比： （538）由上两式得质心坐标为： （539） （540） 由计算结果可以看出两小球的质量起到了坐标权重的作用，即质量越大的小球坐标对质心的坐标影响越大，质心靠近质量大的小球，远离质量小的小球。2离散质点系的质心 图516 质点系的质心将两小球的计算方法推广到n个离散质点组成的刚体或质点系中，设质点系各质点质量m1、 m2、 mi、 mn，它们的位矢r1、 r2、 ri、 rn （图516）。则质心位置矢量为： （541）式中。质心位置坐标为： （542） （543） （544）3连续分布物体的质心 图517 连续分布物体的质心将质量连续分布的物体（包括刚体）分割为一个个质量微元，其中任一质量微元的质量为，位置矢量为（图517），则其质心位置矢量为： （545）式中为物体或刚体的总质量。质心坐标为： （546） （547） （548）注意：（1）质量均匀对称分布刚体的质心就是它的几何对称中心。（2）质心、重心是两个不同的概念，但物体不太大时，质心和重心位置重合。（3）当以质心为参照系时，质点系总动量为零。（4）一个运动的质点系或刚体，其质心坐标是随时间发生改变的。对于刚体来说，质心相对于刚体中各质点的位置是确定的，该位置不因坐标系的不同选择而不同。对于任意质点系来说，在某一时刻质心相对各质点的位置是确定的，不因坐标系的选择而改变。（5）在前面质点系动量守恒定律例子中，质点系各个质点的位置在运动过程中发生改变，但系统的质心位置不变。例58 如图（例58图），在光滑水平面上，有一质量为长为的小车，质量为的人站在车上，起初人和车均静止，当人从车一端走到另一端时，求人和车相对地面走过的距离是多少？例58图解 人车所受合外力为零，系统质心静止，现在仍静止。设质心为坐标原点，将人和车看成两质点，为人在该过程中相对地面走过的长度，为车在该过程中相对地面走过的长度。则人走动后系统的质心坐标仍为0：再由几何关系可得：计算结果与动量守恒定律计算方法一样。对于坐标原点建立在质心处，有，利用该式可证明刚体转动惯量的平行轴定理。例59 求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板质心的位置坐标（例59图）。 例59图解 如图（例59图）建立坐标系，y轴将直角等分。由对称性可知，下面只要求。上面腰的直线方程为：。在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点的水平坐标值都为x，微元的面积为： 设薄板质量面密度为，则微元质量为： 整个薄板的水平质心坐标为：例510 求半径为a的均质半圆球的质心（例510图）。 例510图解 常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系o-xyz，则C在z轴上，取质量元为如图所示（例510图）的薄圆板，厚度为dz，由于，则例511 求两圆和之间均匀薄片质心（例511图）。 例511图解 由对称性xc0 三、质心运动定律按照实验方法得到的刚体质心坐标，是否符合刚体或质点系质心应满足的条件呢？下面就要进行证明：对由实验得到的质心坐标求导数得： 得质心的速度： （549）两边再求导数，得质心的加速度： （550） 得质心运动定律： （551） 实验得到的质心坐标与质心应满足的条件完全符合。 刚体平动时，刚体上任意一点的运动状况都是相同的，故可以选择质心的运动来描述刚体的运动状态，所以，刚体平动时的动力学方程就是质心运动定律。质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的矢量和。这个结论称为质心运动定律。第五节 刚体的功和能 图518 刚体的重力势能 有了刚体质心的概念之后，我们就可以得到刚体的重力势能、平动动能等，就可以运用功和能的关系研究刚体的机械运动过程。1.刚体的重力势能刚体的重力势能是组成刚体的各个质点重力势能之和，即 （552）即刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心的重力势能（图518）。2.刚体系统机械能在机械运动过程中刚体系统所具有的机械能包括各刚体的平动动能、转动动能、重力势能、其它的势能。具体形式为： （553）3.刚体系统功能原理 刚体系统是质点系统中的一种，所以根据质点系功能原理，刚体系统的功能原理： （554） 为刚体系统所受合外力做的功，为刚体系统非保守内力所做的功，为刚体系统的机械能增量。4.刚体系统机械能守恒定律当刚体系统所受合外力做功和非保守内力做功为零时，即 ，刚体系统机械能守恒： （555） 我们可以运用刚体系统功和能的计算，研究刚体系统的有关机械运动过程。例512 如图（例512图）一长为质量为的均匀细棒，可绕水平光滑轴在竖直平面内转动，离棒的端点的距离为，棒从水平静止的状态开始转动，求棒转到竖直位置时点的速度。例512图解 OC的长度为： 选择棒和地球组成刚体系统，在棒转动的过程中，外力做功为零，非保守内力做功也为零，因此刚体系统的机械能守恒，棒水平位置时的机械能等于棒竖直位置的机械能。重力势能零点选在棒竖直位置时的C点，J是刚体绕O轴的转动惯量。有：根据平行轴定理： 刚体转到竖直位置时的角速度为。 A的速度为：例513 A、B两盘无摩擦转动（例513图）。绳与圆盘间无相对滑动。已知 A、B半径分别为R1，R2，A、B、C质量分别为m1，m2，m，求：重物C由静止下降h时的速度v。 例513图解 选择A、B、C和地球组成刚体系统，在重物C下落的过程中，外力做功为零非保守内力做功为零，系统机械能守恒： 即重物下落前系统的机械能等于重物下落h后系统的机械能。重物下落的速度就是A、B圆盘边沿绳的速度。绳的速度与A、B圆盘转动角速度和满足线量和角量的转换关系： A、B圆盘的转动分别为： 重物下落的速度为：例514 如图（例514图）一轻质弹簧的弹性系数为，连接了一匀质细杆，杆长为，质量为。杆可绕C点在竖直平面内无摩擦转动。若当时弹簧为原长，此时细杆至少具有多大的角速度才能转到水平位置？ 例514图解 取弹簧、细杆、地球为系统，外力做功为零，非保守内力做功为零，系统机械能守恒： 即细杆竖直时的重力势能转动动能细杆水平时的弹性势能。将，。，代入得细杆转动角速度为：第六节 刚体的平面运动在刚体的一般运动中有一种比较简单常见的运动，就是刚体的平面运动。刚体的平面运动的特点是：刚体质心被限制在一个平面内，刚体绕通过质心并与平面垂直的转轴转动。如车轮在地面上的滚动、手榴弹在空中翻滚飞行等都是刚体的平面运动。运用刚体运动的合成与分解方法，刚体平面运动可表示为：刚体平面运动跟随质心的平动绕通过质心垂直平面轴的转动基于刚体平面运动的构成，我们可以采用“动力学辅助条件”的方法研究其运动问题。当然也可以用功和能等其它方法来研究。1.平动在刚体平面运动中，刚体的平动就是刚体跟随质心所做的运动。因此刚体的平动运动规律就是刚体的质心运动定律： （556） 式中为刚体所受合外力，为整个刚体质量，为刚体质心加速度。在直角坐标系中： （557） （558） 、为刚体在x、y方向所受合外力，、为刚体质心在x、y方向的瞬时加速度。2.转动 刚体平面运动中的转动就是刚体绕通过质心垂直于质心运动平面的转轴所做的定轴转动，因此该运动满足刚体定轴转动定律。 （559） 式中为刚体所受相对与通过质心转轴的合外力矩，为刚体绕通过质心转轴的转动惯量，为刚体绕通过质心转轴的角加速度。3.纯滚动条件（无滑滚动）在刚体平面运动中，除了刚体满足上面平动和转动的动力学方程外，常常还会满足刚体纯滚动的条件。在满足纯滚动条件下，刚体做平面运动时又平动又滚动，刚体平动质心的加速度与刚体绕通过质心转轴的角加速度以及圆盘、圆柱、圆球一类刚体的半径之间满足角量和线量的转换关系： （560） 图519 车轮的纯滚动例如半径为R的车轮在地面上做纯滚动，在滚动的过程中车轮与地面间无相对滑动，车轮质心的加速度为，车轮绕通过轮心C的转动角加速度为（图519）。通过运动分析可以得到：由于车轮纯滚动，车轮质心单位时间内运动的长度等于车轮边沿一点绕轴做圆周运动转过的弧长，所以质心切向运动规律与绕轴做圆周运动车轮边沿一点切向运动规律相同，两者的切向线加速度相同，。根据圆周运动角量和线量的转换关系： （561） 从而有： （562）这就是纯滚动条件。在该问题中我们是将车轮的运动分解为质心的平动和绕通过质心转轴的转动两部分运动。其实该问题可以有另外一种运动分析：这个车轮的运动可看成绕通过车轮与地面的接触点S垂直于轮面的转轴转动，该转轴相对地面是静止的，称为瞬时轴。在此分析下刚体只有绕该轴的转动，没有其它的运动。可能这种运动分解，求解起来会比较困难。总之刚体运动的分解可有多种方法，在问题中具体采用哪种方法，取决于求解问题是否简单方便。在刚体平面运动中，一般就是通过这三组方程来求解相关问题，也可以根据问题在结合其它方法和其它辅助条件去求解。4.例题例515 如图（例515图）一质量为的均匀细杆，杆长为，用两根轻质细绳A、B水平悬挂。问当绳被剪断的瞬间，绳上的张力有多大？ 例515图解一：用平动转动的运动分解法。本题是刚体平面运动问题。运动分解为两部分：细杆跟随质心（杆的中心）的平动，细杆绕通过质心的轴转动。设此时绳中张力为T，细杆质心加速度为，满足质心运动定律： 以质心C为轴，满足转动定律： 细杆质心加速度与细杆B端点绕通过质心转轴的角加速度满足角量和线量的关系，类似纯滚动条件，B相对地面不动，质心相对地面的加速度为： 上面三式联立求解，得绳子张力：解二：混合方法。对平动用细杆质心C的运动定律，对转动用细杆绕瞬时轴B的转动定律。质心运动定律： 绕B轴的转动定律： 式中合外力相对B轴的力矩，为细杆绕B轴的转动惯量。纯滚动条件： 绳的张力： 计算结果与解一完全相同，说明刚体问题的计算方法不是唯一的，例516 一半径为R，质量均匀分布并为m的刚性小球，放在有摩擦的水平面上，在如图所示（例516图）的外力F作用下，作无滑动滚动，设力的作用线到质心的垂直距离为d,求摩擦力f的大小方向。例516图解 由于质量均匀对称分布，质心就是球心。可以判断是刚体平面运动，刚体质心始终在平面内运动，同时刚体又绕通过质心C的转轴转动。设质心加速度为，方向水平向右。设小球在纯滚动时受到的摩擦力为f，方向向左。摩擦力f的方向并不能由题意直接正确判断，因此在不违反题意的情况下先设一个方向，此方向为参考正方向，实际方向与它相同，解出的f值为正的，否则为负的。小球满足质心运动定律：小球满足绕通过质心转轴的转动定律： 式中为小球所受合外力矩，是小球转动惯量，等于转动角加速度，是直接用角量转换为线量代入的。解得小球所受摩擦力为：由计算结果可分析出：当时，f方向向左。当时，。 当时，f方向向右。例517 一质量为m、半径为R的圆柱体，无滑动地从倾角为的斜坡上滚下（例517图），求圆柱体质心的加速度。 例517图解 如图（例517图）沿斜坡建立坐标系，圆柱体的质心为几何对称中心，可判断出圆柱体做平面运动。设为圆柱体受到的摩擦力，重力P在x轴上的投影为，圆柱体所满足的质心运动定律为：绕通过质心转轴的转动定律： 无滑动的滚动就是纯滚动，角量和线量变换满足：上三式联立解得圆柱体滚下时质心加速度：例518 一轻质细绳绕着A、B两圆盘，绳与盘边沿间无相对滑动。A盘半径为，质量为，可绕固定轴O转动（例518a图）。B盘半径为，质量为，求B下落时轮心C的加速度以及细绳的拉力。例518a图 例518b图解 建坐标系，向下为正（例518b图）。两盘做平面运动，质心都在盘心处。隔离物体，分别进行运动分析。对A盘，只有定轴转动： 式中为绳子对A盘的拉力，为A盘所受合外力矩，为A盘角加速度。对B盘，有平动有转动。所满足的质心运动定律：式中为绳子对B盘的拉力，为B盘的质心加速度。B盘满足的转动定律： 式中为B盘所受合外力矩，为B盘角加速度。由纯滚动条件得： ，式中为A盘边沿相对O轴做圆周运动的切向加速度，为B盘边沿相对C轴做圆周运动的切向加速度。另根据相对运动关系，B盘质心相对地面的加速度等于： 两段绳中的拉力相同：由上面式子可得B盘加速度： 绳子中的拉力：第七节 刚体的角动量 角动量守恒定律 在第四章中，我们研究了质点的角动量问题。在那里我们考察了外力矩对时间的积累作用改变了质点的角动量。在本节中我们要来研究合外力矩对刚体持续的作用，对刚体运动的影响。1.冲量矩首先考察的合外力矩对刚体的持续作用，即合外力矩对时间的积累作用或合外力矩对时间的积分。我们称其为刚体受到的冲量矩：为刚体所受相对定轴的合外力矩。冲量矩对刚体的运动会产生怎样的影响？根据刚体定轴转动定律：代入冲量矩的计算式： （563）通过计算我们得到：冲量矩的作用会改变刚体的状态量。是什么状态量呢？2.刚体对轴的角动量 图520 刚体中任一质点对转轴的角动量刚体在做定轴转动时，刚体内每个质点的都围绕着转轴做圆周运动，设第i个质点的质量为、圆周运动的线速度为、转动半径为、角动量的大小为，方向沿着转轴，符合右手螺旋关系（图520）。由于刚体每个质点的角动量方向都相同，刚体质点角动量的总和L为： （564）式中用到，刚体中每个质点的角速度都相同，都等于刚体的角速度，将从每一项中提出来，剩下的部分就是刚体的转动惯量。现在清楚了：就是刚体绕定轴转动的角动量。刚体的角动量： （565）注意：（1）刚体角动量是瞬时值。（2）刚体角动量是相对量，相对刚体转动的定轴。3.刚体对轴的角动量定理通过上面的分析，冲量矩的作用是使得刚体绕定轴转动的角动量变化。刚体对轴的角动量定理：在刚体定轴转动过程中，刚体所受冲量矩等于这个过程刚体角动量的增量。积分形式： （566）注意：（1）刚体角动量定理是过程方程。 （2）方程中各量都是相对同一转轴的。（3）角动量的增量与合外力矩方向相同。（4）可通过方程由状态量求解相关过程量。（5）角动量定理对于非刚体也成立，其公式为：，是时刻质点系的转动惯量，是时刻质点系的转动惯量。微分形式： （567） （568） 可以看出微分形式，不仅适用于刚体，而且适用于非刚体的情况。是比刚体定轴转动定律适用范围更广的自然定律。4. 刚体对轴的角动量守恒定律考察对轴的角动量定理的微分形式，当刚体所受合外力矩为零时： 则得到刚体对轴的角动量守恒定律： （569） 定律表述：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ，如人手持哑铃的转动，芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作（图521），都利用了对转轴的角动量守恒定律。 图521 运动中的角动量守恒注意：（1）守恒条件是相对转轴的合外力矩为零。 （2）刚体(不变)的角动量守恒。不变，故的大小，方向保持不变。如：直立旋转的陀螺（图522）。 图522 直立旋转的陀螺 （3）非刚体(可变)的角动量守恒。当增大，就减小，当减小，就增大。如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动（图523），恒星坍缩到中子星的形成等。图523 跳水中的转动（4）多个物体的角动量守恒。若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的