课标通用高考数学一轮复习第五章5.3平面向量的数量积学案理.docx

5.3平面向量的数量积考纲展示1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系考点1平面向量的数量积的运算 1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则_ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积答案：(2)|a|b|cos |a|b|cos (3)|b|cos 2平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)c_(分配律)答案：(3)acbc(1)教材习题改编在ABC中，0，则ABC是_三角形答案：钝角解析：由向量夹角的定义可知，与的夹角为B，则|cos(B)0，得cos(B)0，cos B(4)0， b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|cos 301， |b|.(2)2017河北石家庄模拟已知平面向量a，b的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|_.答案解析|ab|2|a|22ab|b|242|a|b|cos 1523，|ab|.角度二平面向量的夹角典题3(1)2017湖南衡阳八中高三月考若向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|1，则a与a2b的夹角为()A. B. C. D.答案A解析设向量a与a2b的夹角等于，因为向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|1，所以a(a2b)a22ab4221cos 6，|a2b|2，cos .0，.故选A.(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.答案2解析bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2t1tt10，t2.角度三平面向量的垂直典题4已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_答案解析，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，解得.点石成金平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|. 真题演练集训 12016新课标全国卷已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cosABC，则ABC30.22016北京卷设a，b是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：D解析：取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0.|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选D.32015重庆卷若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D答案：A解析：由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又 |a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20， |b|2|b|2cos 2|b|20. cos .又 0， .42014新课标全国卷设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5答案：A解析：由条件可得，(ab)2 10，(ab)2 6，两式相减得4ab4，所以ab1.52016天津卷已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B. C. D.答案：B解析：如图，设m，n.根据已知得，m，所以mn，mn，(mn)m2n2mn. 6.2016浙江卷已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be| ，则ab的最大值是_答案：解析：由题意，令e(1,0)，a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，则由|ae|be|，可得|cos |2|cos |.令sin 2sin m.2 2，得4|cos cos |sin sin 1m2对一切实数，恒成立，所以4|cos cos |sin sin 1.故ab2(cos cos sin sin )2|cos cos |sin sin . 课外拓展阅读 以向量为背景的创新题典例1(1)对任意两个非零的平面向量和，定义，若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab等于()A. B. C1 D.答案D审题视角先根据定义表示ab和ba，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos ，然后利用确定cos 的取值范围，结合集合中nZ的限制条件即可确定n的值，从而求出ab的值解析根据新定义，得abcos ，bacos .又因为ab和ba都在集合中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又，故cos2，所以0n1n22.所以n1，n2的值均为1.故ab.(2)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_答案审题视角根据定义先写出m，进而求出，确定函数yf(x)的解析式解析设