数学建模第二章作业答案章绍辉

习题习题 2 作业讲评作业讲评 1 继续考虑继续考虑 2 2 节的节的 汽车刹车距离汽车刹车距离 案例 请问案例 请问 两秒两秒 准则准则 和和 一车长度准则一车长度准则 一样吗 一样吗 两秒准则两秒准则 是否足够安是否足够安 全 对于安全车距 你有没有更好的建议 全 对于安全车距 你有没有更好的建议 两秒准则两秒准则 即 即 后车司机从前车经过某一标志开始 默数后车司机从前车经过某一标志开始 默数 2 秒之后到达同一标秒之后到达同一标 志 而不管车速如何志 而不管车速如何 刹车距离与车速的经验公式刹车距离与车速的经验公式 速度单位为 速度单位为 m s 距离单位为 距离单位为 m 2 0 750 082678dvv 解答解答 1 两秒准则两秒准则 表明前后车距与车速成正比例关系表明前后车距与车速成正比例关系 引引 入以下符号 入以下符号 D 前后车距 前后车距 m v 车速 车速 m s 于是于是 两秒准则两秒准则 的数学模型为的数学模型为 与与 一车长度准一车长度准 2 2DK vv 则则 相比是否一样 依赖于一车长度的选取相比是否一样 依赖于一车长度的选取 比较比较与与 得 得 2 0 750 082678dvv 2Dv 0 0826781 25dDvv 所以当所以当 约合 约合 54 43 km h 时 有 时 有 dD 即前后车距小于刹车距离的理论值 即前后车距小于刹车距离的理论值 15 12 m sv 不够安全不够安全 也就是说 也就是说 两秒准则两秒准则 适用于车速不算很快的情况适用于车速不算很快的情况 另外 还可以通过绘图直观的解释另外 还可以通过绘图直观的解释 两秒准则两秒准则 够不够安够不够安 全全 用以下用以下 MATLAB 程序把刹车距离实测数据和程序把刹车距离实测数据和 两秒准则两秒准则 都画在同一幅图中 图都画在同一幅图中 图 1 v 20 5 80 0 44704 d2 18 25 36 47 64 82 105 132 162 196 237 283 334 22 31 45 58 80 103 131 165 202 245 295 353 418 20 28 40 5 52 5 72 92 5 118 148 5 182 220 5 266 318 376 d2 0 3048 d2 k1 0 75 k2 0 082678 K2 2 d1 v v v k1 d d1 d2 plot 0 40 0 K2 40 k hold on plot 0 40 polyval k2 k1 0 0 40 k plot v v v d ok MarkerSize 2 title 比较刹车距离实测数据 理论值和两秒准则比较刹车距离实测数据 理论值和两秒准则 legend 两秒准则两秒准则 刹车距离理论值刹车距离理论值 刹车距离的最小值 平均值和最大值刹车距离的最小值 平均值和最大值 2 xlabel 车速车速 v m s ylabel 距离 距离 m hold off 0510152025303540 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 v m s m 图图 1 2 用最大刹车距离除以车速 得到最大刹车距离所需要 用最大刹车距离除以车速 得到最大刹车距离所需要 的尾随时间 表的尾随时间 表 1 并以尾随时间为依据 提出更安全的 并以尾随时间为依据 提出更安全的 t 秒准则秒准则 表 表 2 后车司机根据车速快慢的范围 从前车经后车司机根据车速快慢的范围 从前车经 过某一标志开始 默数过某一标志开始 默数 t 秒钟之后到达同一标志秒钟之后到达同一标志 表表 1 1 尾随时间尾随时间 车速车速 mph 车速车速 m s 最大刹车距离最大刹车距离 m 尾随时间尾随时间 s 208 940813 4111 5 2511 17617 8311 5955 3013 41123 7741 7727 3515 64629 4131 8799 4017 88237 7952 1136 4520 11746 4822 3106 5022 35256 6932 5364 5524 58768 7322 7955 6026 82281 6863 0455 6529 05896 4693 3199 7031 293113 393 6234 7533 528132 743 9591 8035 763154 234 3125 表表 2 2 t t 秒准则秒准则 车速车速 mph 0 1010 3535 6060 75 t s 1234 绘制图绘制图 2 的的 MATLAB 程序 程序 v 20 5 80 0 44704 d2 18 25 36 47 64 82 105 132 162 196 237 283 334 22 31 45 58 80 103 131 165 202 245 295 353 418 20 28 40 5 52 5 72 92 5 118 148 5 182 220 5 266 318 376 d2 0 3048 d2 k1 0 75 k2 0 082678 d d2 v v v k1 vi 0 40 plot 0 10 0 44704 0 10 0 44704 k vi k1 vi k2 vi vi k v v v d ok MarkerSize 2 legend t 秒准则秒准则 刹车距离理论值刹车距离理论值 刹车距离的最小值 平均值和最大值刹车距离的最小值 平均值和最大值 2 hold on plot 10 35 0 44704 2 10 35 0 44704 k 35 60 0 44704 3 35 60 0 44704 k 60 75 0 44704 4 60 75 0 44704 k title t 秒准则 刹车距离的模型和数据秒准则 刹车距离的模型和数据 xlabel 车速车速 v m s ylabel 距离 距离 m hold off 0510152025303540 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 v m s m t t 图图 2 4 继续考虑继续考虑 2 3 节节 生猪出售时机生猪出售时机 案例 假设在第案例 假设在第 t 天天 的生猪出售的市场价格 元的生猪出售的市场价格 元 公斤 为公斤 为 1 2 0 p tpgtht 其中其中 h 为价格的平稳率 为价格的平稳率 取取 h 0 0002 其它模型假设和参数取其它模型假设和参数取 值保持不变值保持不变 1 试比较试比较 1 式与式与 2 3 1 式 解释新的假设和原来的假式 解释新的假设和原来的假 设的区别与联系 设的区别与联系 2 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润 3 作灵敏度分析 分别考虑 作灵敏度分析 分别考虑 h 对最佳出售时机和多赚的对最佳出售时机和多赚的 纯利润的影响 纯利润的影响 4 讨论模型关于价格假设的强健性 讨论模型关于价格假设的强健性 解答一 用解答一 用 MATLABMATLAB 数值计算 数值计算 1 比较 比较 1 式与式与 2 3 1 式 式 1 式式表明价格先降后升 表明价格先降后升 2 3 1 式式假设价格匀速下降 假设价格匀速下降 1 式更接近实际 图式更接近实际 图 3 两个假两个假 设都满足设都满足 在最佳出售时机附近误差微小 图 在最佳出售时机附近误差微小 图 4 0 pg 绘图的程序绘图的程序 p t 12 0 08 t 0 0002 t 2 figure 1 n 400 plot 0 n 12 12 0 08 n k 0 1 n p 0 1 n k axis 0 400 0 20 title 模型假设模型假设 1 式与式与 2 3 1 式的比较式的比较 legend p 0 g t 1 式式 p 0 g t h t 2 2 3 1 式式 xlabel t 天 天 ylabel p 元 元 公斤 公斤 figure 2 n 20 plot 0 n 12 12 0 08 n k 0 1 n p 0 1 n k title 模型假设模型假设 1 式与式与 2 3 1 式的比较式的比较 legend p 0 g t 1 式式 p 0 g t h t 2 2 3 1 式式 xlabel t 天 天 ylabel p 元 元 公斤 公斤 050100150200250300350400 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 1 t p p 0 g t 1 p 0 g t h t2 2 3 1 图图 3 02468101214161820 10 4 10 6 10 8 11 11 2 11 4 11 6 11 8 12 1 2 3 1 t p p 0 g t 1 p 0 g t h t2 2 3 1 图图 4 2 在在 1 式和式和 2 3 1 式组成的假设下 多赚的纯利润为式组成的假设下 多赚的纯利润为 23 0 0 0 Q trpgwc thwgr thrt 保留保留 h 代入其他具体数值 代入其他具体数值 得 得 32 900 081 6Q ththtt 令令 2 31800 161 60Q ththt 解得生猪出售时机为解得生猪出售时机为 舍去负根 舍去负根 2 1 0 161800 1619 2 30 6 hh t h 多赚的纯利润为多赚的纯利润为 32 1111 900 081 6Qhthtt 代入代入 h 0 0002 得得天 天 元元 1 13 829t 1 10 798Q 或者用或者用 MATLAB 函数函数 fminbnd 计算 脚本如下 计算 脚本如下 C t 3 2 t w t 90 t p t h 12 0 08 t h t 2 Q t h p t h w t C t 90 12 Qh t Q t 0 0002 t1 fminbnd Qh 0 30 Q1 Q t1 0 0002 为帮助理解 可用以下脚本绘制图为帮助理解 可用以下脚本绘制图 5 5 figure 2 tp 0 250 plot tp Q tp 0 0002 k title 纯利润纯利润 Q xlabel t 天 天 ylabel Q 元 元 050100150200250 600 500 400 300 200 100 0 100 Q t Q 图图 5 3 用以下用以下 MATLAB 脚本脚本计算灵敏度计算灵敏度和和 t t S t h h h 将结果列表 将结果列表 Q Q S Q h h h 结论 结论 h 的微小变化对的微小变化对 t 和和 Q 的影响都很小的影响都很小 Qh t Q t 0 0002 1 01 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn t1 t1 0 01 Qn Q1 Q1 0 01 Qh t Q t 0 0002 1 05 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn t1 t1 0 05 Qn Q1 Q1 0 05 Qh t Q t 0 0002 1 1 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn t1 t1 0 1 Qn Q1 Q1 0 1 表表 3 3 数值计算最佳出售时机数值计算最佳出售时机 t t 对对 h h 的灵敏度的灵敏度 hh h h tt t t t t S t h h h 0 000202113 8860 414590 41459 0 00021514 1212 11760 42352 0 000221014 4314 35360 43536 表表 4 4 数值计算多赚的纯利润数值计算多赚的纯利润 Q Q 对对 h h 的灵敏度的灵敏度 hh h h QQ Q Q Q Q S Q h h h 0 000202110 8380 369360 36936 0 00021511 0011 88020 37604 0 000221011 2143 84790 38479 4 市场价格是经常波动的 如果价格下跌 往往会止跌 市场价格是经常波动的 如果价格下跌 往往会止跌 回稳 模型假设回稳 模型假设 1 式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋 势 如果考虑的时间段长达数月 势 如果考虑的时间段长达数月 1 式比式比 2 3 1 式更接近实际式更接近实际 见图 见图 3 但是本问题的最佳出售时机不超过 但是本问题的最佳出售时机不超过 20 天 天 1 式与式与 2 3 1 式在最佳出售时机附近非常近似 见图式在最佳出售时机附近非常近似 见图 4 1 式导致的式导致的 模型解答可以由模型解答可以由 2 3 1 式导致的解答加上灵敏度分析所代替式导致的解答加上灵敏度分析所代替 所所 以采用更为简单的以采用更为简单的 2 3 1 式作为假设更好式作为假设更好 具体分析如下 具体分析如下 由由 得 得12 gg tp t h 12 1 gp t h ggt 代入代入 h 0 0002 t 13 82852279 g 0 08 得 得 0 034571 g g 由于由于 根据课本 根据课本 2 3 节 代入节 代入 tg S t g tg 5 5S t g t 10 算得 算得 与 与 t 13 829 只相差两天只相差两天 11 901tt 用于以上分析计算的用于以上分析计算的 MATLAB 脚本 脚本 dg g 12 p ts 0 0002 ts 0 08 1 10 dg g 10 5 5 解答二 用解答二 用 MATLABMATLAB 的的 SymbolicSymbolic MathMath ToolboxToolbox 的的 MuPADMuPAD 软软 件符号计算 件符号计算 1 运行以下运行以下 MuPAD 语句 绘得图语句 绘得图 6 和图和图 7 plot plot Function2d 12 0 08 t 0 0002 t 2 t 0 400 plot plot Function2d 12 0 08 t 0 0002 t 2 t 0 400 plot Function2d 12 0 08 t t 0 150 plot Function2d 12 0 08 t t 0 150 LineStyle Dashed LineStyle Dashed plot plot Function2d 12 0 08 t 0 0002 t 2 t 0 20 plot plot Function2d 12 0 08 t 0 0002 t 2 t 0 20 plot Function2d 12 0 08 t t 0 20 plot Function2d 12 0 08 t t 0 20 LineStyle Dashed O LineStyle Dashed O 1 式式表明价格先降后升 在实际当中有一定道理表明价格先降后升 在实际当中有一定道理 而而 2 3 1 式式假设价格匀速下降假设价格匀速下降 两个假设都满足两个假设都满足 在最 在最 0 pg 佳出售时机附近误差微小佳出售时机附近误差微小 图图 6 假设假设 2 3 1 式与式与 1 式的比较式的比较 图图 7 假设假设 2 3 1 式与式与 1 式的比较式的比较 2 在在 1 式和式和 2 3 1 式组成的假设下 保留式组成的假设下 保留 h 代入其他具 代入其他具 体数值体数值 计算 计算多赚的纯利润多赚的纯利润 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 C t 32 10 t C t 32 10 t w t 90 t w t 90 t p t h 12 8 100 t h t 2 p t h 12 8 100 t h t 2 Q t h expand w t p t h C t 90 12 Q t h expand w t p t h C t 90 12 plot plot Function2d Q t 0 0002 plot plot Function2d Q t 0 0002 t 0 290 t 0 290 算得算得 绘得图 绘得图 8 223 2 8 25 90 5 hthhtQttt 图图 8 的图像的图像 0 0002 Q t 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 S solve diff Q t h t t S solve diff Q t h t t assumingassuming h 0 h 0 t1 S 1 t1 S 1 subs t1 h 0 0002 subs t1 h 0 0002 t2 S 2 t2 S 2 ts subs t2 h 0 0002 ts subs t2 h 0 0002 Q2 Q t2 h Q2 Q t2 h Qs subs Q2 h 0 0002 Qs subs Q2 h 0 0002 由方程由方程 解得两根 解得两根 0 Q t 2 38416 5625 1 2 38416 5625 2 25 3240045004 150 450025 324004 150 hhh t h hhh t h 代入代入 h 0 0002 得 得 天天 12 192 8381439 13 82852279tt 符合题意 符合题意 应该舍去 对应的应该舍去 对应的 Q 是负数 是负数 对应的对应的多赚的多赚的 2 t 1 t 2 t 纯利润为纯利润为元元 10 79837809 3 接着上一小题 接着上一小题 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 subs diff t2 h h t2 subs diff t2 h h t2 h 0 0002 h 0 0002 t t 对对 h h 的灵敏度的灵敏度 利用导数算得利用导数算得 t 对对 h 的灵敏度的灵敏度 d 0 4124276803 d t h S t h h t 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 subs diff Q2 h h Q2 h 0 0002 subs diff Q2 h h Q2 h 0 0002 Q Q 对对 h h 的灵敏度 方法一的灵敏度 方法一 subs diff Q t h h h Q t h t ts h 0 0002 subs diff Q t h h h Q t h t ts h 0 0002 Q Q 对对 h h 的灵敏度 方法二 更简单的灵敏度 方法二 更简单 用两种方法利用导数算得用两种方法利用导数算得 Q 对对 h 的灵敏度的灵敏度 d 0 367739025 d Q h S Q h h Q 结论 结论 h 的微小变化对的微小变化对 t2和和 Q2的影响都很小的影响都很小 4 同解答一 同解答一 5 继续考虑第继续考虑第 2 3 节节 生猪出售时机生猪出售时机 案例 假设在第案例 假设在第 t 天的生猪体重 公斤 为天的生猪体重 公斤 为 2 0 00 m t m w w w t wwwe 其中其中 公斤 公斤 公斤 公斤 其它模型假设 其它模型假设 0 0 90ww 270 m w 和参数取值保持不变和参数取值保持不变 1 试比较 试比较 2 式与式与 2 3 2 式 解释新的假设和原来的假设式 解释新的假设和原来的假设 的区别与联系 提示 说明当的区别与联系 提示 说明当 0 取何值时 在取何值时 在 t 0 时可以时可以 保持保持 说明当 说明当 t 增大时 猪的体重会如何变化 增大时 猪的体重会如何变化 0 1wr 2 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润 3 参数 参数代表猪长成时的最终重量 对代表猪长成时的最终重量 对做灵敏度分做灵敏度分 m w m w 析 分别考虑析 分别考虑对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响 m w 4 讨论模型关于生猪体重假设的强健性 讨论模型关于生猪体重假设的强健性 解答一 用解答一 用 MATLABMATLAB 数值计算 数值计算 1 在 在 2 式中 为使式中 为使 必须 必须 0 wr 00 mm w www 当当 270 90 时 有时 有 m w 0 w1 60 新假设新假设 2 式是阻滞增长模型 假设生猪体重的增长率是体式是阻滞增长模型 假设生猪体重的增长率是体 重的线性递减函数 于是体重增加的速率先快后慢 时间充分重的线性递减函数 于是体重增加的速率先快后慢 时间充分 长后 体重趋于长后 体重趋于 而而 2 3 2 式式只假设体重匀速只假设体重匀速 m w 0 w twrt 增加增加 长时间来看 新假设比原假设更符合实际 图长时间来看 新假设比原假设更符合实际 图 9 两个两个 假设都满足假设都满足 在最佳出售时机附近误差微小 图 在最佳出售时机附近误差微小 图 10 0 wr 050100150200250300350400 0 50 100 150 200 250 300 t p 2 3 2 2 p 0 g t 2 3 2 p 0 g t h2 2 图图 9 02468101214161820 90 95 100 105 110 115 t p p 0 g t 2 3 2 p 0 g t h2 2 图图 10 2 在在 2 3 1 式和式和 2 式组成的假设下 用式组成的假设下 用 MATLAB 函数函数 fminbnd 计算 可以求得生猪出售时机为计算 可以求得生猪出售时机为 t 14 434 天 天 多赚的多赚的 纯利润为纯利润为 Q 12 151 元元 3 编程编程计算计算和和 m mm t t S t w ww m mm Q Q S Q w ww 将结果列表将结果列表 表表 5 5 数值计算最佳出售时机数值计算最佳出售时机t t对对的灵敏性的灵敏性 m w mm ww mm ww tt t t m mm t t S t w ww 272 7114 9773 7673 767 283 5517 05718 1733 6345 2971019 4634 8253 4825 表表 6 6 数值计算多赚的纯利润数值计算多赚的纯利润Q Q对对的灵敏性的灵敏性 m w mm ww mm ww QQ Q Q m mm Q Q S Q w ww 272 7113 1087 8727 872 283 5517 12140 8978 1794 2971022 47584 9638 4963 结论 结论 的微小变化对的微小变化对 t 和和 Q 的影响都较小的影响都较小 m w 4 模型假设 模型假设 2 式导致的模型解答可以由式导致的模型解答可以由 2 3 2 式导致的式导致的 解答加上灵敏度分析所代替 所以实践中采用更为简单的解答加上灵敏度分析所代替 所以实践中采用更为简单的 2 3 2 式作为假设即可式作为假设即可 具体分析过程见解答二之 具体分析过程见解答二之 4 MATLAB 脚本 脚本 1 1 绘图的程序绘图的程序 w t 90 270 90 180 exp t 60 w t 90 270 90 180 exp t 60 figure 1 figure 1 n 400 n 400 plot 0 n 90 90 n k plot 0 n 90 90 n k 0 1 n w 0 1 n k 0 1 n w 0 1 n k axis 0 400 0 300 axis 0 400 0 300 legend p 0 legend p 0 g g t t 2 3 2 2 3 2 式式 p 0 p 0 g g t t h 2h 2 2 2 式式 4 4 title title 模型假设模型假设 2 3 2 2 3 2 式与式与 2 2 式的比较式的比较 xlabel txlabel t 天 天 ylabel ylabel 价格价格 p p 元 元 公斤 公斤 figure 2 figure 2 n 20 n 20 plot 0 n 90 90 n k plot 0 n 90 90 n k 0 1 n w 0 1 n k 0 1 n w 0 1 n k legend p 0 legend p 0 g g t t 2 3 2 2 3 2 式式 p 0 p 0 g g t t h 2h 2 2 2 式式 2 2 xlabel txlabel t 天 天 ylabel ylabel 价格价格 p p 元 元 公斤 公斤 2 2 最佳出售时机和多赚的纯利润最佳出售时机和多赚的纯利润 C t 3 2 t C t 3 2 t w t m 90 m 90 m 90 exp t 60 w t m 90 m 90 m 90 exp t 60 p t 12 0 08 t p t 12 0 08 t Q t m p t w t m C t 90 12 Q t m p t w t m C t 90 12 Qh t Q t 270 Qh t Q t 270 ts fminbnd Qh 0 30 ts fminbnd Qh 0 30 Qs Q ts 270 Qs Q ts 270 3 3 灵敏度分析灵敏度分析 Qh t Q t 270 1 01 Qh t Q t 270 1 01 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn ts ts 0 01 tn ts ts 0 01 Qn Qs Qs 0 01 Qn Qs Qs 0 01 Qh t Q t 270 1 05 Qh t Q t 270 1 05 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn ts ts 0 05 tn ts ts 0 05 Qn Qs Qs 0 05 Qn Qs Qs 0 05 Qh t Q t 270 1 1 Qh t Q t 270 1 1 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn Qn fminbnd Qh 0 30 tn ts ts 0 1 tn ts ts 0 1 Qn Qs Qs 0 1 Qn Qs Qs 0 1 4 4 强健性分析强健性分析 dr r w ts 270 90 ts 1dr r w ts 270 90 ts 1 10 dr r 10 6 510 dr r 10 6 5 解答二 用解答二 用 MATLABMATLAB 的的 SymbolicSymbolic MathMath ToolboxToolbox 的的 MuPADMuPAD 软软 件符号计算 件符号计算 1 运行以下运行以下 MuPAD 语句 算得语句 算得 1 60 solve subs diff 90 270 90 270 90 E a t t solve subs diff 90 270 90 270 90 E a t t t 0 1 t 0 1 a a 运行以下运行以下 MuPAD 语句 绘得图语句 绘得图 11 plot plot Function2d 90 270 90 180 E 1 60 t plot plot Function2d 90 270 90 180 E 1 60 t t 0 400 t 0 400 plot Function2d 90 t plot Function2d 90 t t 0 180 t 0 180 LineStyle Dashed LineStyle Dashed plot Line2d 0 270 400 270 LineStyle Dotted O plot Line2d 0 270 400 270 LineStyle Dotted O 运行以下运行以下 MuPAD 语句 绘得图语句 绘得图 12 plot plot Function2d 90 270 90 180 E 1 60 t plot plot Function2d 90 270 90 180 E 1 60 t t 0 20 t 0 20 plot Function2d 90 t t 0 20 LineStyle Dashed O plot Function2d 90 t t 0 20 LineStyle Dashed O 2 式式是阻滞增长模型 假设生猪是阻滞增长模型 假设生猪 0 60 00 m t m w w w t wwwe 体重的增长率是体重的线性递减函数体重的增长率是体重的线性递减函数 于是 体重于是 体重 w 是时间是时间 t 的增函数 体重增加的速率先快后慢 时间充分长后 体重趋的增函数 体重增加的速率先快后慢 时间充分长后 体重趋 于于 而而 2 3 2 式式只假设体重匀速增加只假设体重匀速增加 长时间来长时间来 m w 0 w twrt 看 新假设比原假设更符合实际看 新假设比原假设更符合实际 两假设都满足两假设都满足 在最 在最 0 wr 佳出售时机附近误差微小佳出售时机附近误差微小 图图 11 假设假设 2 3 2 式与式与 2 式的比较式的比较 图图 12 假设假设 2 3 2 式与式与 2 式的比较式的比较 2 在由 在由 2 式和式和 2 3 1 式组成的假设下 保留式组成的假设下 保留 代入 代入 m w 其他具体数值其他具体数值 计算 计算多赚的纯利润多赚的纯利润 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 C t 3 2 t C t 3 2 t w t wm 90 wm 90 wm 90 E t 60 w t wm 90 wm 90 wm 90 E t 60 p t 12 0 08 t p t 12 0 08 t Q t wm w t wm p t C t 90 12 Q t wm w t wm p t C t 90 12 plot plot Function2d Q t 270 t 0 30 plot plot Function2d Q t 270 t 0 30 算得算得 绘得图 绘得图 13 60 90120 08 3 21080 9090 e m m t m wt Q t wt w 图图 13 的图像的图像 270 Q t 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 T solve diff Q t 270 t t T solve diff Q t 270 t t ts T 1 ts T 1 Qs Q ts 270 Qs Q ts 270 可解出可解出 Q 的驻点的数值解的驻点的数值解 天 天 根据函数图 根据函数图 14 43357158 s t 像和问题的实际意义 可知这是所求的最佳出售时机 对应的像和问题的实际意义 可知这是所求的最佳出售时机 对应的 多赚的纯利润为多赚的纯利润为元元 12 15129217 s Q 3 接着上一小题 接着上一小题 运行以下运行以下 MuPAD 语句 但是求不出语句 但是求不出 当当达到最大值时达到最大值时 t 关于关于的函数解析式 的函数解析式 m Q t w m w solve diff Q t wm t t solve diff Q t wm t t 运行以下运行以下 MuPAD 语句 语句 solve diff Q t wm t wm solve diff Q t wm t wm 可见当可见当达到最大值时达到最大值时关于关于 t 的反函数解析式却的反函数解析式却 m Q t w m w 有可能求得出 只是有可能求得出 只是 MuPAD 给出的表达式很复杂给出的表达式很复杂 其实可以其实可以 按如下步骤推出按如下步骤推出关于关于 t 的反函数解析式 的反函数解析式 m w g1 diff Q t wm t 0 g1 diff Q t wm t 0 算得算得即 即 0 Q t 2 60 60 60 30 0812907 2 3 20 90 90 90 2e90 e e mm m m t m t t wtww w w 观察上式 发现分母大于零 而且去分母之后 合并观察上式 发现分母大于零 而且去分母之后 合并的的 m w 同类项 同类项 可以表示为可以表示为的二次方程 的二次方程 m w g2 g1 wm 90 E t 60 90 2 25 E t 60 g2 g1 wm 90 E t 60 90 2 25 E t 60 去分母去分母 g2 collect g2 wm g2 collect g2 wm 合并合并 wmwm 的同类项 的同类项 t t 当作参数当作参数 30 2 606060 30 6060 801440016200e 270327038700 eee 648000e648000 12960000 ee t mm ttt t tt t wtw 运行以下运行以下 MuPAD 语句 由图像 图语句 由图像 图 14 可知 可知在实际问题在实际问题 关心的关心的 0 t 30 范围内 二次项系数范围内 二次项系数 60 80 27030 et t plot plot Function2d 270 80 E t 60 3 t t 0 100 plot plot Function2d 270 80 E t 60 3 t t 0 100 图图 4 二次项系数的符号二次项系数的符号 于是 运行于是 运行以下以下 MuPAD 语句 解方程 语句 解方程 S solve g2 wm S solv