高数第五版答案(同济)12-7

习题 12 7 1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的 1 x x2 解 因为不恒为常数 所以 x x2是线性无关的 x x x 2 2 x 2x 解 因为 所以 x 2x 是线性相关的 2 2 x x 3 e2x 3e2x 解 因为 所以 e2x 3e2x是线性相关的 3 3 2 x x e e 4 e x ex 解 因为不恒为常数 所以 e x ex是线性无关的 x x x e e e 2 5 cos2x sin2x 解 因为不恒为常数 所以 cos2x sin2x 是线性无关的 x x x 2tan 2cos 2sin 6 2 x e 2 2 x xe 解 因为不恒为常数 所以 是线性无关的 x e xe x x 2 2 2 2 2 x e 2 2 x xe 7 sin2x cos x sin x 解 因为 所以 sin2x cos x sin x 是线性相关的 2 sincos 2sin xx x 8 excos2x exsin2x 解 因为不恒为常数 所以 excos2x exsin2x 是x xe xe x x 2tan 2cos 2sin 线性无关的 9 ln x xln x 解 因为不恒为常数 所以 ln x xln x 是线性无关的 x x xx ln ln 10 eax ebx a b 解 因为不恒为常数 所以 eax ebx是线性无关的 xab ax bx e e e 2 验证 y1 cos x 及 y2 sin x 都是方程 y 2y 0 的解 并写 出该方程的通解 解 因为 y1 2y1 2cos x 2cos x 0 y2 2y2 2sin x 2sin x 0 并且不恒为常数 所以 y1 cos x 与 y2 sin x 是方程的x y y cot 2 1 线性无关解 从而方程的通解为 y C1cos x C2sin x 提示 y1 sin x y1 2cos x y2 cos x y1 2sin x 3 验证及都是方程 y 4xy 4x2 2 y 0 的解 2 1 x ey 2 2 x xey 并写出该方程的通解 解 因为 0 24 2442 24 4 2222 22 1 2 11 xxxx exxexexeyxyxy 0 24 2 446 24 4 22222 223 2 2 22 xxxxx xexexexexxeyxyxy 并且不恒为常数 所以与是方程的线性无关解 x y y 1 2 2 1 x ey 2 2 2 x xey 从而方程的通解为 22 2 21 xx xeCeCy 提示 2 2 1 x xey 22 2 1 42 xx exey 22 2 2 2 xx exey 22 3 2 46 xx exxey 4 验证 1 C1 C2是任意常数 是方程 xxx eeCeCy 52 21 12 1 y 3y 2y e5x 的通解 解 令 y1 ex y2 e2x 因为 x ey 5 12 1 y1 3y1 2y1 ex 3ex 2ex 0 y2 3y2 2y2 4e2x 3 2e2x 2e2x 0 且不恒为常数 所以 y1与 y2是齐次方程 y 3y 2y 0 的线 x e y y 1 2 性无关解 从而 Y C1ex C2e2x是齐次方程的通解 又因为 xxxx eeeeyyy 5555 12 1 2 12 5 3 12 25 2 3 所以 y 是方程 y 3y 2y e5x的特解 因此是方程 y 3y 2y e5x的通解 xxx eeCeCy 52 21 12 1 2 C1 C2是任意常 sincos4 32 1 3sin3cos 21 xxxxCxCy 数 是方程 y 9y xcos x 的通解 解 令 y1 cos3x y2 sin3x 因为 sincos4 32 1 xxxy y1 9y1 9cos3x 9cos3x 0 y2 9y2 9sin3x 9sin3x 0 且不恒为常数 所以 y1与 y2是齐次方程 y 9y 0 的线x y y 3tan 1 2 性无关解 从而 Y C1ex C2e2x是齐次方程的通解 又因为 xxxxxxxxyycos sincos4 32 1 9 cos4sin9 32 1 9 所以 y 是方程 y 9y xcos x 的特解 因此是方程 y 9y xcos x sincos4 32 1 3sin3cos 21 xxxxCxCy 的通解 3 y C1x2 C2x2ln x C1 C2是任意常数 是方程 x2y 3xy 4y 0 的通解 解 令 y1 x2 y2 x2ln x 因为 x2y1 3xy1 4y1 x2 2 3x 2x 4 x2 0 x2y2 3xy2 4y2 x2 2ln x 3 3x 2xln x x 4 x2ln x 0 且不恒为常数 所以 y1与 y2是方程 x2y 3xy 4y 0 的线性x y y ln 1 2 无关解 从而 y C1x2 C2x2ln x 是方程的通解 4 C1 C2是任意常数 是方程x x x C xCyln 9 2 25 1 x2y 3xy 5y x2ln x 的通解 解 令 y1 x5 因为 x y 1 2 x x yln 9 2 x2y1 3xy1 5y1 x2 20 x3 3x 5x4 5 x5 0 0 1 5 1 3 2 53 23 2 222 2 xx x x xyyxyx 且不恒为常数 所以 y1与 y2是齐次方程 x2y 3xy 5y 0 的 6 2 1 x y y 线性无关解 从而是齐次方程的通解 x C xCY 25 1 又因为 5 3 2 yxyyx xxx xx x x xxxln ln 9 5 9 ln 9 2 3 3 1 ln 9 2 2 2 2 所以 y 是方程 x2y 3xy 5y x2ln x 的特解 因此是方程 x2y 3xy 5y x2ln x 的通解 x x x C xCyln 9 2 25 1 5 C1 C2是任意常数 是方程 2 1 21 x xx e eCeC x y xy 2y xy ex 的通解 解 令 因为 x e x y 1 1 x e x y 1 2 2 x e y 0 2 22 2 223 111 x e x x e x e x e x e x e xxyyyx xxxxxx 0 2 22 2 223 222 x e x x e x e x e x e x e xxyyyx xxxxxx 且不恒为常数 所以 y1与 y2是齐次方程 xy 2y xy 0 的 x e y y 2 2 1 线性无关解 从而是齐次方程的通解 1 21 xx eCeC x Y 又因为 x xxx e e x ee xxyyxy 22 2 2 2 所以 y 是方程 xy 2y xy ex的特解 因此是方程 xy 2y xy ex的通解 2 1 21 x xx e eCeC x y 6 y C1ex C2e x C3cos x C4sin x x2 C1 C2 C3 C4是任意常 数 是方程 y 4 y x2的通解 解 令 y1 ex y2 e x y3 cos x y4 sin x y x2 因为 y1 4 y1 ex ex 0 y2 4 y2 e x e x 0 y3 4 y3 cos x cos x 0 y4 4 y4 sin x sin x 0 并且 04 cossin sincos cossin sincos xxee xxee xxee xxee xx xx xx xx 所以 y1 ex y2 e x y3 cos x y4 sin x 是方程 y 4 y 0 的线性无关解 从而 Y C1ex C2e x C3cos x C4sin x 是方程的通解 又因为 y 4 y 0 x2 x2 所以 y x2是方程 y 4 y x2的特解 因此 y C1ex C2e x C3cos x C4sin x x2是方程 y 4 y x2的通解 提示 令 k1ex k2e x k3cos x k4sin x 0 则 k1ex k2e x k3sin x k4cos x 0 k1ex k2e x