第九章 中学数学解题策略.doc

习 题 九 （1） 1、已知、分别是方程 的两个根，求答案: -21.2、用三角函数定义证明= 答案: 略.3、记定点M与抛物线上的点P之间的距离为,P到此抛物线准线的距离为，则当+取最小的值时点P的坐标是多少？答案: 由抛物线定义及三角形边长关系，|MP|+|PF|MF|(F焦点)，可得所求P(2,2).4、在双曲线=1的一支上不同的三点A、B、C与焦点F距离成等差数列。（1）求的值；（2）证明：线段AB的垂直平分线经过某一定点，并求该点的坐标。答案: (1)由双曲线第二定义，|AF|=ey-a,|CF|=ey-a,|BF|=6e-a,由条件得y+y=12,(2)设x+x=t,则AC中点(,6).由=1,=1得.于是AC的垂直平分线方程为y-6=,即(y-)t+13x=0.过定点(0,).5、若关于的方程有三个整数解，求的值。答案:由y=|x-a|-1|及y=a图象知a=1.6、若不等式-在内恒成立，求的取值范围。答案:由y=x,y=logx图象，分a1,0a1讨论得a1.7、求方程的实根的个数答案:观察y=x与y=sinx图象，有7个实交点，故方程有7个实解.8、以知函数其中 当时，求的最大值和最小值。 求的取值范围，使 在上是单调函数。 答案: (1) f(x)最大值，最小值-;(2) f(x)对称轴x=-tan，f(x)在-1,上单调时，-tan-1或-tan,得(-,-,).9、若是正整数，试证明关于的一元二次方程不存在有理根。答案: 反证法.若有有理根，则=(2n+1)-4(2m+1)=(2p+1),得n(n+1)-p(p+1)=2m+1,左边是偶数，右边为奇数，矛盾.10、若抛物线 与轴有两个不同的交点，且至少一个交点在轴负半轴，求实数的取值范围。答案: 1m2或2m0,故由f(-2)0且f(2)0得x(-,-1)(3,+).12、若椭圆 与连接两点A（1，2)， B（3，4） 的线段没有公共点，求的范围。答案:AB的方程y=x+1,x1,3.由方程及y=x+1得a=x+2x+1,x1,3，于是有公共点时，a.从而无公共点时0a.13、 设 且求证：。答案: 分析法.只需证xy+x+y-xy+10.而由x+y=1知x+y=(x+y)-2xy=1-2xy,故只需证xy-xy+20，即(xy-8)(xy-)0，而xy()=0,b0),A、B是双曲线同一支上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P(x,0),则|x|.设A(x,y),B(x,y),AB中点M(x,y),由条件可得l方程为y-y=-(x-x)，令y=0得ayx=(a+b)xy.注意y0，有x=x，而x,x同号，|x|a,|x|a.有|x|a,|x|.19、在等差数列中，若=0，则有等式 成立，类似上面的性质，相应的在等比数列 中 ，若 =1，写出相应的等式。答案: 设bbb=bbb(nm,nN)，令n=i时，bbb=1,由等比数列性质，取(i+1)+(m-i)=29，有m=17.所以相应的等式是bbb=bbb(n1)，可得如下解答：f(-x)+f(-x)=f(x)=f(x)+f(x),f(-x)=f(x).故f(x)为偶函数；令x=y=1得f(1)=0,于是f(-1)=0;由f(x)+f(x-1)=fx(x-1)0，利用单调性脱去f,得x(x-1)1或x(x-1)-1,解得x或x.21、将勾股定理类比推广到三维空间，并加以证明。答案:形式1：长方体中，对角线的平方等于长、宽、高的平方和.形式2：直三面角组成的四面体中，三个相互垂直的面的面积平方和等于第四个面的面积的平方.22、已知则的值是多少？答案:由f(x)+f()=2,原式=100f(1)+(100-100)2=10000.23、若函数 的图象关于 对称，求的值。答案: P(0,a)在函数图象上，P关于x=-的对称点Q(-,a)也在函数图象上，由Q坐标代入函数式，得a=1.24、由圆 O的直径AB 两端点A、B引切线，在 上取点C，割线CM、CN分别交圆O于及，直线交于，求证： 答案: 以A为原点，AC为x轴建立直角坐标系，设B(0,b),C(c,0),则O方程为x+y-by=0,设CM方程是y=k(x-c),即=1,代入圆的方程得x+y+ (y-kx)y=0,这是过M、M、A的退化二次曲线方程，表示两直线AM、AM，将y=b代入得x-x+b+=0,由韦达定理，易知EE中点为(,b)，与k无关，于是DD中点也是(,b),由中点相同知DE=DE.25、已知直线 ：及椭圆C：，求以C的焦点为焦点，与 有公共点且长轴最短的椭圆方程。答案:椭圆C的焦点F(-3,0),F(3,0),设F关于直线l的对称点F，则F(9,6),且|PF|+|PF|=|PF|+|PF|FF|=6,等号成立时所求椭圆长轴长最短,此时2a=6,a=45,c=9.所求椭圆为=1.26、对任意，恒有，求的取值范围。答案: 令sinx=t,f(t)=t-2kt+2k+1=(t-k)-k+2k+1(|t|1).依题意，问题等价于|t|1时f(t)0恒成立，求k的范围.(1)|k|0得1-k0，故f(t)在-1,1上大于0；(3)k-1时，由f(-1)0得k-矛盾，综上，k的取值范围是k1-.27、等差数列首项，前项和，若，问为何值时最大？答案:S=na+=dn+(a-)n,由a0,S=S知d1使10=成立即可，即使10在f(x)=(x1)的值域范围内，令x-1=t,则f(x)=t+24，104，m2lg2.(1)m=2lg2时，方程只有一解x=2.(2)m2lg2时，104,t+2=10有两正解，因而原方程在(1,+)内有两解，综上，m2lg2时原方程有解；m2lg2时原方程有两不等的实解.29、证明：提示: 改证f(x)=