高中数学典型解答题.doc

一:三角函数典型题例示范讲解 例1在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？命题意图 本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力 知识依托 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系 错解分析 考生对方位角识别不准，计算易出错 技巧与方法 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题 解 (1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30 在ACD中，据正弦定理得，答 此时船距岛A为千米 例2已知ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB() (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域 命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力 知识依托 主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题 错解分析 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题 技巧与方法 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意|的范围 解 (1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定义域为(，)(，1 (2)设x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，则4x1230 4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0 即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是减函数 (3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2 故f(x)的值域为(，)2，+ 例3已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B ，求cos的值 解法一 由题设条件知B=60，A+C=120 设=，则AC=2，可得A=60+，C=60，依题设条件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0 从而得cos 解法二 由题设条件知B=60，A+C=120，把式化为cosA+cosC=2cosAcosC ，利用和差化积及积化和差公式，式可化为 ， 将cos=cos60=，cos(A+C)=代入式得 将cos(AC)=2cos2()1代入 4cos2()+2cos3=0，(*)， 例4: 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_ 解析 A+B+C=，A+C=2B，例5: 在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_ 解析 A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180 cos(2A+C)=，sin(2A+C)= C为最大角，B为锐角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)= cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1= 答案 例6: 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， (1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值 二:空间几何典型题例示范讲解A1ED1C1B1DCBA例1:如图，在正方体中，是的中点，求证： 平面。证明：连接交于，连接，为的中点，为的中点为三角形的中位线 又在平面内，在平面外平面。 例2: 已知正方体，是底对角线的交点.求证：() C1O面；(2)面 证明：（1）连结，设，连结 是正方体 是平行四边形A1C1AC且 又分别是的中点，O1C1AO且是平行四边形 面，面 C1O面 （2）面 又， 同理可证， 又面 例3: 正方体中，求证：（1）；（2）.A1AB1BC1CD1DGEF正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD证明：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD (2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD例4; 如图，在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面平面.证明：、分别是、的中点，又平面，平面平面四边形为平行四边形，又平面，平面平面，平面平面例5：如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.证明：（1）设，、分别是、的中点，又平面，平面，平面（2）平面，平面，又，平面，平面，平面平面例6：如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD三:概率统计典型题例示范讲解例1：从1，2，3，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数值的个数为(A) 64 (B) 56 (C) 53 55 (D) 51 解 从1，2，3，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为；1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去；1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个；，应减去2个所示求不同的对数值的个数为例2：四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同的排法数有（A）3600 （B）3200 （C）3080 （D）2880解 三名女生中有两名站在一起的站法种数是； 将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是，其中的三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是。符合题设的排列数为：例3：由展开所得x多项式中，系数为有理项的共有（A）50项 （B）17项 （C）16项 （D）15项解 可见通项式为: 且当时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个.例4：在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（A） 5/6 （B） 4/5 （C） 2/3 （D） 1/2解 所有两位数的个数为90个；能被2或3整除的二位数的个数:能被2整除的二位数的个数是有,能被3整除的二位数的个数为有24个(从中选2的排列, 九组中各选2的排列有),能被3整除的二位数中有9个()也能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是；所有的两位数中，能被2或3整除二位数所占比例是.因此, 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是例5：从集合中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是（A） 19/68 （B） 13/35 （C） 4/13 （D） 9/34 解 从集合中任取3个数的取法种数为；取到的数含3或6时,其余二数为12、15、24、27、45、57，能被3整除的数的个数为；取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7，取法种数有种；因此，所求概率为：例6：某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元 70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少买3片软件，至少买2盒磁盘，则不同的选购方式共有（A）5种 （B）6种 （C）7种 D）8种解 设选购片软件，盒磁盘，则：，解得：，软件和磁盘数量的选购方式分别为，共7种。四:数列典型题例示范讲解例1：已知数列满足，.(1) 求数列的通项公式；(2) 求数列的前项和；解： (1) 由，得，数列是常数列，即，得.数列是首项为，公比为的等比数列，故数列的通项公式为.(2) .设， . 得：， . 故.例2：数列是递增的等比数列，且.()求数列的通项公式;()若,求证数列是等差数列;()若,求的最大值.解:()由 知是方程的两根,注意到得 .得.等比数列.的公比为,()数列是首相为3,公差为1的等差数列. () 由()知数列是首相为3,公差为1的等差数列,有=10分 ,整理得,解得.的最大值是7. 例3：三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.解析：设原来三个数为 则必有 , 由： 代入得：或 从而或13 原来三个数为2,10,50或例4：设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn.解析：法一：利用基本元素分析法设an首项为a1，公差为d，则 此式为n的一次函数 为等差数列 法二：an为等差数列，设Sn=An2+Bn 解之得： ，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例5：一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 五:导数与函数典型题例示范讲解例1：已知，求的最大值与最小值。， ， 。例2：设x0，比较A=xe-x，B=lg(1+x)，C=的大小.解 令f(x)=C-B=-lg(1+x)，则f(x)= 0，f(x)为上的增函数，f(x)f(0)=0，CB.令g(x)=B-A=lg(1+x)-xe-x，则当x0时，g(x)=0，g(x)为上的增函数，g(x)g(0)=0，BA.因此，CBA（x=0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)=(a)，要证明当xa时，有f(a)=(a)，则只要设辅助函数F(x)= f(a)-(a)，然后证明F(x)在xa单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷的压轴题就考查了此知识点.例3：以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是A. B. C. D. 解 设过曲线y=sinx上点P的切线斜率角为，由题意知，tan=y=cosx.cosx-1，1， tan-1，1，又，.故选A.点评 函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线，y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线斜率，即k=tan(为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.例4：曲线y=x3-ax2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a的值.解 点（0，1）不在曲线上，可设切点为（m,m3-am2）.而y=3x2-2ax，k切=3m3-2am，则切线方程为y=(3m3-2am)x-2m3-am2.切线过（0，1），2m3-am2+1=0.(*)设（*）式左边为f(m)，f(m)=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f(m)=0有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a0”.由f(m)=2m3-am2+1，得f(m)= 6m3-am2=2m(3m-a)，令f(m)=0，得m=0，m=，a0，f(0)f()=0，即a0，-a3+1=0，a=3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.例5：设函数f(x)与数列an满足关系：a1，其中是方程f(x)=x的实数根；an+1=f(an)，nN*；f(x)的导数f(x)（0，1）.（1）证明：an，nN*；（2）判断an与an+1的大小，并证明你的结论.（1）证明：（数学归纳法）当n=1时，由题意知a1，原式成立.假设当n=k时，ak，成立.f(x)0，f(x)是单调递增函数.ak+1= f(ak) f()=，（是方程f(x)= x的实数根）即当n=k+1时，原式成立.故对于任意自然数N*，原式均成立.（2）解：g(x)=x-f(x),x，g(x)=1-f(x)，又0 f(x)0.g(x)在上是单调递增函数.而g()=-f()=0，g(x)g() (x)，即xf(x).又由（1）知，an，anf(an)=an+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.六:圆锥曲线典型题例示范讲解例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）的最小值为 （2）的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解：（1）4- 设另一焦点为，则(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。（2）3 作出右准线l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。解：如图， （*）点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 （*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02