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1 导数与微分精讲及习题讲解导数与微分精讲及习题讲解 理解导数的概念 了解导数的几何意义 会求曲线的切线和法线 会用定义计算简单函 数的导数 在点 处可导是指极限 存在 且该点处的导数就是这个极限的值 导数的定义式还可写成极限 函数 在点 处的导数 的几何意义是曲线 上点 处切线的斜率 曲线 在点 处的切线方程为 函数 在 点可导 则在 点连续 反之则不然 函数 在 点连续 在 点不一定可导 了解微分的概念 知道一阶微分形式不变性 熟记导数基本公式 熟练掌握下列求导方法 1 导数的四则运算法则 2 复合函数求导法则 3 隐函数求导方法 4 对数求导方法 2 5 参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算 如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时 求导时采用取对数求导法 例如函数 求 在求导时直接用导数的除法法则是可以的 但是计算时会麻烦一些 而且容易出错 如果 我们把函数先进行变形 即 再用导数的加法法则计算其导数 于是有 这样计算不但简单而且不易出错 又例如函数 求 显然直接求导比较麻烦 可采用取对数求导法 将上式两端取对数得 两端求导得 整理后便可得 3 若函数由参数方程 的形式给出 则有导数公式 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则 复合函数的求导法则计算函数的导 数 能够利用隐函数求导法 取对数求导法 参数表示的函数的求函数的导数 熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 一阶微分形式的不变性 微分的计算可以归结为导数的计算 但要注意它们之间的不同之处 即函数的微分等于函 数的导数与自变量微分的乘积 了解高阶导数的概念 会求显函数的二阶导数 函数的高阶高数即为函数的导数的导数 由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导 数 要求函数的 阶导数就要先求函数的 阶导数 导数的应用导数的应用 1 函数的单调性与极值 函数的单调性判别法 函数极值及其求法 4 2 最大值 最小值问题 通过学习要达到下列目标 1 函数的单调性与极值 函数的单调性判别法 函数极值及其求法 掌握用一阶导数求函数单调区间的方法 2 最大值 最小值问题 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法 以几何问题为主 下列类型的题目是要掌握的 例1 函数 的单调增加区间是 解 当 时 故函数的单调增加区间是 例 2 应用题 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l 问当底半径与高分别为多少时 圆柱 体的体积最大 求曲线 上的点 使其到点 的距离最短 解 如图所示 圆柱体高 与底半径 满足 l 圆柱体的体积公式为 5 将 代入得 求导得 令 得 并由此解出 即当底半径 高 时 圆柱体的体积最大 曲线 上的点到点 的距离公式为 与 在同一点取到最大值 为计算方便求 的最大值点 将 代入得 求导得 令 得 并由此解出 即曲线 上的点 和点 到点 的距离最短 例 3 证明题 证明不等
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