概率统计简明教程（同济版）课件第3章

第三章 条件概率与事件的独立性,重点,条件概率的概念,概率的乘法定理,第一节 条件概率,定义 设A、B两个事件，P(A) 0，称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为 。,下面我们来推导条件概率的计算公式。,例1 箱中有同型号的产品7件，其中4件正品，3件次品，无放回地抽取2件，每次取1件，已知第一次取到的是正品，求第二次取到次品的概率。,P(AB)=,而P(A)=,发现,这就是已知A发生条件下B发生的条件概率的计算公式，其中P(A) 0。,类似地，如果P(B) 0，那么给定B已发生条件下，A发生的概率为：,由以上，可得概率的乘法定理：,乘法定理：,推广,条件概率与乘法公式的区别,1、 表示A发生并且B发生的概率；,2、 表示在B发生的条件下A发生的概率，条件概率的标志词：“当、已知、如果”等。,条件概率与一般概率的区别,条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率。条件概率是以B这样一个新的样本空间来考虑问题的；一般概率是以基本事件的总数构成的样本空间来考虑的。,解,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 则,（2）,（3）,（1）,例2,练一练,某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,0.8,第二节 全概率公式,在社会经济统计中，欲统计某种指标数据时，常常采用由各部门、单位汇总的方式和途径（比如全校党员人数由各单位党员数汇总而得），类似地，欲计算某一事件概率时，也往往采用由偏概全，把各种不同来源、出处的可能性加以汇总的方式和途径得到。,例1 某市场供应的灯泡中，甲、乙两厂的产品分别占70与30，而甲、乙两厂的产品的合格品率分别为95与80。试求从市场上任买一只灯泡为合格品的概率及这个合格品来自甲厂的概率。,为互斥事件，,也为互斥事件。,在上面求解过程中，待求概率的事件B的分解式,十分关键，将事件B看成“结果”，而事件 看成是产生结果的两个可能“原因”。分解式正是“结果”与可能“原因”之间的一种联系方式，而问题就是已知可能“原因”发生的概率，求“结果”发生的概率。,我们称这一类问题为全概率问题。,设事件 两两互斥，且 又事件B满足,则有全概率公式：,当事情分成两个随机阶段来完成，而且第二个阶段需要根据第一阶段各种各样的结果来计算的时候，用全概公式。,例2（课本）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。,解 记B从仓库随机提出的一台是合格品 提出的一台是第i车间生产的,则有,练一练,设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，求抽到的一份是女生表的概率。,第三节 贝叶斯公式,例1 某市场供应的灯泡中，甲、乙两厂的产品分别占70与30，而甲、乙两厂的产品的合格品率分别为95与80。试求从市场上任买一只灯泡为合格品的概率及这个合格品来自甲厂的概率。,为互斥事件，,也为互斥事件。,在这一只灯泡为合格品的概率为0.905中，来自甲厂的占了 ，从而一只合格品来自甲厂的概率为：,这个问题与第一个问题恰好相反，第一个问题是由“原因”推断“结果”，而这个问题则是由“结果”推断“原因”。我们称它为贝叶斯公式：,且 ，则对任一 ，有,贝叶斯公式是大统计学家Bayes提出的。其中 一般可利用统计资料事先取得，故称为先验概率或事前概率，而 则是一种已知结果后追查原因、出处的逆向条件概率，称为后验概率或逆概率，贝叶斯公式也可称为逆概率公式。,贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献. 贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。,他对统计推理的主要贡献是使用了逆概率这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来。贝叶斯公式是他在1763年提出来的.,从时间的顺序上来说，贝叶斯公式是已知第二阶段的某一结果，来求第一阶段某一结果的概率。,例 有朋自远方来，他乘火车、船、汽车、飞机的概率分别为3/10，1/5，1/10，2/5。若乘火车、船、汽车迟到的概率分别为1/4，1/3，1/12，而乘飞机便不会迟到，即概率为0，结果他迟到了。求在这一条件下，他乘火车来的概率。,解,设1 ,2 ,3，A4分别表示乘火车，乘船，乘汽车，乘飞机。表示“他迟到了” 依题意，有,例（课本） 一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1的概率误将健康人检出阳性。设人群中带菌病人为0.5%,求已知一个个体检出为阳性条件下，该个体确实带菌的概率。,解：设B阳性，A1带菌， A2不带菌,解 设原发信号为“ ” 为事件 A1 原发信号为“ ”为事件 A2,收到信号“不清” 为事件 B,练习 在无线电通讯中发出信号“ ”,由于随机干扰,收到信号“ ”,“不清”,“ ” 的概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ ”,收到信号“ ”,“不清”,“ ”的概率分别为0, 0.1, 0.9.已知在发出的信号中, “ ”和“ ”出现的概率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ ”还是“ ”的概率哪个大？,可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为“ ”的可能性大,已知：,第四节 事件的独立性,一般来说，条件概率 ，,引例 将一颗均匀骰子投掷两次A第一次掷出3点 B=第二次掷出6点,显然，事件A是否发生，对事件B发生的概率没有影响。事件A与事件B没有关系。,事件A与事件B是相互独立的。,相互独立事件满足：,设、为任意两个随机事件，如果 （）（） (1)即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立,显然，对于独立，则对于也独立，故称与相互独立,定义,由(1)式，在等式两边同时乘以 ，得：,我们称这是事件与事件独立的充要条件。,(2),注 在实际应用中，我们一般是根据问题的实际意义去判断两事件是否相互独立，并不根据(2)式去判断。而仅将(2)式作为相互独立事件的一个性质加以应用。,如：(1)甲乙两人向同一目标射击，A甲命中目标，B乙命中目标,(2)从有限的总体中，有放回的抽取两次产品，A第一次抽到次品，B第二次抽到次品,(3)掷一颗均匀的骰子两次，两次掷到的点数。,对于三事件 A, B, C 如果：,注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,(2),定义,(1)与(2)同时成立，则称A，B，C相互独立。,例 随机投掷编号为 1 与 2 的两颗骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数,则,但,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立,定义,四对事件,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立,如,事实上,利用独立事件的性质计算其并事件的概率,若 A1, A2, , An 相互独立, 则,例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率 分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不影响的求加工出 来的零件的次品率,解,设1 ，2 ，3 分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：1 ,2 ,3 相互独立，且,（1）2 % , （2）1% , （3）5%,又设表示加工出来的零件是次品, 则 A123,1(1 0.02)(1 0.01)(1 0.05), 0.0783,练习 有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为0.9）？,第五节 伯努利试验和二项概率,有时为了了解某些随机现象的全过程，需要观察一串试验，例如对某一目标进行连续射击；在一批灯泡中随机抽取若干个测试它们的寿命等。,这些试验是由某个随机试验的多次重复所组成，且各次试验的结果是相互独立的，称这样的试验序列为独立重复试验，称重复试验次数为重数。,特别地，在n重独立重复试验中，若每次试验只有结果A与 ，且A在每次试验中发生的概率为p，则称其为伯努利试验。,独立重复试验与伯努利试验,定理,设在一次试验中，事件A发生的概率为p，则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率,记 在n次伯努利试验中，A恰好发生k次,此公式与二项展开式有密切关系，,(1)式恰好是二项展开式的通项，因此也称概率公式(1)为二项概率。,(1),“只知次数，不知位置”,雅各布伯努利 (16541705),是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家。最初遵从父亲的意见学神学，当他读了R.笛卡儿的书后，顿受启发，兴趣转向数学.自学掌握了莱布尼茨形式的微积分学。从1687年直到逝世，他都在巴塞尔任数学教授。雅各布是首先对微积分的发展做出重大贡献的人之一。,许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年）等。 雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著猜度术，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。,1695年提出著名的伯努利方程,最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。,约翰伯努利(16671748),约翰于1685年18岁时获巴塞尔大学艺术硕士学位，这点同他的哥哥雅各布一样。他们的父亲老尼古拉要大儿子雅各布学法律，要小儿子约翰从事家庭管理事务。但约翰在雅各布的带领下进行反抗，去学习医学和古典文学。约翰于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位。但他发现他骨子里的兴趣是数学。他一直向雅各布学习数学，并颇有造诣。1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授 。,约翰的数学成果比雅各布还要多。例如解决悬链线问题（1691年），提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），出版积分学教程（1742年）等。,约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。,丹尼尔伯努利 (17001782),丹尼尔的父亲曾试图强迫丹尼尔经商。但丹尼尔认为他更愿意行医，于是在不由自主的投身数学之前先做了医生。他和伟大的欧拉是密友，丹尼尔像欧拉一样，也有10次赢得法国科学院奖金的辉煌纪录。他的最杰出的工作是关于流体动力学的，今天所有研究理论流体运动或应用流体运动的人都知道丹尼尔伯努利的名字。,丹尼尔是伯努利家庭中成就最大的科学家.在数学方面，丹尼尔的研究涉及代数、概率论、微积分、级数理论、微分方程等多学科的内容，取得了重大成就；在物理学方