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物理学第七章 振动和波动第七章 振动和波动基本要求：1. 熟练掌握简谐振动的基本特征、矢量图解法、复数解法以及确定振动状态的三个特征量的物理意义；2. 掌握在同一直线上的两个简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握，了解拍现象的成因和应用；3. 掌握两个互相垂直的简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握；4. 理解阻尼振动、受迫振动和共振的一般规律；5. 在明确关于波动的几个基本概念的基础上，熟练掌握平面简谐波波函数的几种表示，并明确其物理意义；理解波的叠加原理和惠更斯原理的基本内容；6. 掌握一维波动方程的推导过程及其解的一般形式；7. 掌握相干波条件以及干涉加强和干涉减弱的条件、驻波的形成和规律，初步懂得千涉现象是波独具的重要特征之一；8. 了解声波一般性质和声强的量度，理解多普勒效应成因，了解多普勒效应的应用。基本概念：1、振动：物体在一定的位置附近作往返运动，或者任何一个物理量在某一定位置附近作反复变化。2、机械振动：物体位置随时间的变更的运动。3、机械波/弹性波：依靠弹性介质质点的机械振动。7-1简谐振动简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。我们的讨论就从简谐振动开始。一、简谐振动的基本特征1、平衡位置在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹簧，弹簧的另一端系一小球，如图7-1所示。当弹簧呈松弛状态时，小球在水平方向不受力的作用，此时小球处于点o，该点称为平衡位置。若将小球向右移至点m，弹簧被拉长，这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点o的弹性力f的作用。将小球释放后，小球就在弹性力f的作用下左右往返振动起来，并永远振动下去。2、运动方程为了描述小球的这种运动，我们取小球的平衡位置o为坐标原点，取通过点o的水平线为x轴。如果小球的位移为x，它所受弹性力f可以表示为 (7-1)式中k为所取轻弹簧的劲度系数，负号表示弹性力f的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m，根据牛顿第二定律，小球的运动方程可以表示为 (7-2)将式(7-1)代入式(7-2)，得 或者改写为 (7-3)式中 (7-4)式(7-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征，即在运动过程中，小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。3、简谐振动由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(7-3)的解可以写为以下两种形式 (7-5)或 (7-6)式中a和j都是积分常量，在振动中它们都具有明确的物理意义，对此我们以后再作讨论。式(7-5)和式(7-6)在物理上具有同样的意义，以后我们只取式(7-5)的形式。上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子，这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动，它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出，物体只要在形如 f = -kx的线性回复力的作用下运动，其位移必定满足微分方程式(7-3)，而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的，其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是，由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域，任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都属于振动，于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式并且w是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。二、描述简谐振动的特征量振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量，若知道了某简谐振动的这三个量，该简谐振动就完全被确定了，故称描述简谐振动的特征量。1. 振幅振动物体离开平衡位置的最大幅度称为振幅。在简谐振动中，a就是振幅。在国际单位制中，机械振动振幅的单位是m (米)。2. 周期振动物体完成一次振动所需要的时间, 称为振动周期, 常用t表示；在1秒时间内所完成振动的次数, 称为振动频率, 常用n表示。振动物体在2p秒内所完成振动的次数, 称为振动角频率, 就是式(7-5)中的w。显然角频率w、频率n和周期t三者的关系为 (7-7)在国际单位制中，周期t、频率n和角频率w的单位分别是s(秒)、Hz(赫兹)和rad s-1(弧度/秒)。3. 相位和初相位在式(7-5)中的w t+j称为简谐振动的相位，单位是rad (弧度)。在振幅一定、角频率已知的情况下，振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位w t+j。这从下面的分析中会看得更清楚。将式(7-5)两边对时间求一阶导数，可以得到物体振动的速度 (7-8)由式(7-5)和式(7-8)两式可以看出，在振幅a和角频率w已知的情况下，振动物体的位置和速度完全由相位w t+j所决定。我们已经知道，位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量。相位中的j称为初相位，在振幅a和角频率w已知的情况下，振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位j。在式(7-5)和式(7-8)中令t = 0, 则分别成为下面的形式 (7-9) 式中x0和v0分别是振动物体在初始时刻的位移和速度, 这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态, 也就是振动物体的初始条件。4、振幅和初相位是初始条件决定的：振幅a和初相位j，在数学上它们是在求解微分方程(7-3)时引入的两个积分常量，而在物理上，它们是由振动系统的初始状态所决定的两个描述简谐振动的特征量, 这是因为由初始条件(7-9)可以求得 (7-10)例题：1、一个运动质点的位移与时间的关系为m ,其中x的单位是m，t的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位； (2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。36解 (1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式相比较，可以得到角频率 s-1, 频率 , 周期 , 振幅 ,初相位 .(2) t = 2 s时质点的位移t = 2 s时质点的速度t = 2 s时质点的加速度2、求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。解 以平衡位置O为坐标原点，建立如图6-6所示的坐标系。当物体由原点O向右移动x时，弹簧1伸长了x1 ，弹簧2伸长了x2 ，并有物体所受的力为式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得 于是，物体所受的力可另写为由上式可得 所以装置的振动角频率为装置的振动频率为 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘。在坐标系o-xy中，以为始端画一矢量a，末端为点，如图6-2所示。若矢量a以匀角速度w绕坐标原点作逆时针方向转动时，则矢量末端m在x轴上的投影点p就在x轴上于点o两侧往返运动。如果在t=0时刻，矢量a与x轴的夹角为j，那么这时投影点p相对于坐标原点o的位移可以表示为式中a为矢量a的长度。在任意时刻t , 矢量a与x轴的夹角变为wt+j, 则投影点p相对于坐标原点o的位移为所以, 当矢量a绕其始点(即坐标原点)以匀角速度w旋转时，其末端在x轴上的投影点的运动, 必定是简谐振动。图6-2(b)所描绘的曲线，是点p的位移与时间的关系曲线，称为简谐振动曲线。以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动，这种方法称为简谐振动的矢量图解法。这种方法以后在电学和光学中都要用到。简谐量x还可以用复数来代表：若把一个复数表示为 (7-11)显然，简谐量x就是这个复数的实部，并且简谐量的振幅与复数的模相对应，简谐量的相位与复数的辐角相对应。若要对多个简谐量进行某种运算, 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算, 在运算过程中，实部和虚部、模和辐角总是分别运算而不会相混，所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果。因此，简谐量的复数表示法也是常用方法。例如，求振动速度和加速度，可以用复数进行运算。取位移的复数形式为振动速度的复数则为取速度复数的实部，就是振动速度的真正表示式用同样的方法可以计算振动加速度加速度的真正表示式为由上面的计算可见，用复数来代表简谐量，运算过程也是十分简便的。四、简谐振动的能量从机械运动的观点看，在振动过程中，若振动系统不受外力和非保守内力的作用，则其动能和势能的总和是恒定的。现在让我们以弹簧振子为例，研究简谐振动中能量的转换和守恒问题。弹簧振子的位移和速度分别由下式给出x = a cos (w t+j)v = -aw sin (w t+j)在任意时刻，系统的动能为 (7-12)除了动能以外，振动系统还具有势能。对于弹簧振子来说，系统的势能就是弹力势能，并可表示为 (7-13)由式(7-12)和式(7-13)可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。弹簧振子的总能量为动能和势能之和，即因为, 所以上式可化为 (7-14)由上式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。由公式可以得到 (7-15)上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系： 在平衡位置处， x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x = a, 速度为零。例题3、长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。(1)证明重物的运动是简谐振动；图6-7 (2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。解 (1)以悬挂了重物后的平衡位置O为坐标原点，建立如图6-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点O时重力与弹力相平衡，即(1)当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为将式(1)代入上式，得即. (2) 重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。(2)令, (3)方程式(2)的解为. (4)振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，于是角频率和频率可以根据式(3)求得：(3)位移与时间的关系：由 , 以及当t = 0 时，x0 = -s，v0 = 0，根据式(4)，可以得到由以上两式可解得故有例题4、量为10 g的物体作简谐振动，其振幅为24 cm，周期为1.0 s，当t = 0时，位移为+24 cm，求：(1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间；(3)在x = 12 cm处物体的速度、动能、势能和总能量。解 首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为将 , , , 各量代入上式，同时，根据 时 ，求得 , ，于是得到简谐振动的具体形式为(1) 物体的位置为所受力的大小为方向沿x轴的反方向。(2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的最少时间题目要求最少时间，上式中应取正号。所以(3)在x = 12 cm处物体的速度为物体的动能为物体的势能为所以物体的总能量例题5、（6-9） 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率n作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为m0 ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。解 设物体的质量为m，以平衡位置O为坐标原点建立如图6-8所示的坐标系。图6-8由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为n的简谐振动。振动系统的加速度为可见，加速度a的大小正比与振幅A，在最大位移处加速度为最大值最大加速度amax对应于最大振幅Amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为思考：若木板是在竖直方向以频率作简谐振动，则物体与木板一起振动的最大振幅为多少？7-2 简谐振动的叠加基本要求：1、掌握在同一直线上的两个简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握，了解拍现象的成因和应用；2、掌握两个互相垂直的简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握；简谐振动是最简单也是最基本的振动形式，任何一个复杂的振动都可以由多个不同频率的简谐振动叠加而成。那么几个简谐振动是怎样合成一个复杂的振动的呢？一般的振动合成问题是比较复杂的，我们的讨论只限于简谐振动合成的几种简单情况。在讨论了简谐振动的合成之后，将简要介绍一个复杂的周期振动是如何表示为多个简谐振动的叠加的，也就是振动的分解问题。一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成设一个物体同时参与了在同一直线(如x轴)上的两个频率相同的简谐振动，并且这两个简谐振动分别表示为 x1 = a1 cos (w t+j1) x2 = a2 cos (w t+j2)既然两个简谐振动处于同一条直线上，我们可以认为x1和x2是相对同一平衡位置的位移，于是，物体所参与的合振动就一定也处于这同一条直线上，合位移x应等于两个分位移x1和x2的代数和，即x = x1+x2 = a1 cos (w t+j1) + a2 cos (w t+j2)现在让我们根据简谐振动的矢量图解法求物体所参与的合振动。上述两个分振动分别与旋转矢量a1和a2相对应，如图6-5所示。在初始时刻，这两个矢量与x轴的夹角分别为j1和j2。两个振动的合成反映在矢量图上应该是两个矢量的合成。所以，合成的振动应该是矢量a1和a2的合矢量a的末端在x轴上的投影点沿x轴的振动。因为矢量a1和a2都以角速度w绕点o作逆时针方向旋转，因而它们的夹角是不变的，始终等于(j2-j1)。合矢量a的长度也必定是恒定的，并以同样的角速度w绕点o作逆时针方向旋转。矢量a的末端在x轴上的投影点的位移一定可以表示为x= a cos (w t+j ) (7-16)这显然就是物体所参与的合振动的位移。此式表示，在同一条直线上两个频率相同的简谐振动的合振动，是一个同频率的简谐振动。由图6-5可以求得合振动的振幅和初相位。合振动的振幅为 (7-17)合振动的初相位为 (7-18)由式(7-17)可见，合振动的振幅不仅取决于两个分振动的振幅，而且与它们的相位差(j2-j1)有关。下面根据相位差(j2-j1)的数值，讨论两种特殊情况。 (1) 如果分振动的相位差 j2-j1 = 2kp，k = 0, 1, 2, ，那么从式(7-17)可得这表示，当两个分振动相位相等或相位差为p的偶数倍时，合振动的振幅等于两个分振动的振幅之和，这种情形称为振动互相加强，如图7-6(a)中的虚线所示；(2) 如果分振动的相位差 j2-j1 = (2k+1)p， k= 0, 1, 2, ，那么从式(7-17)可得这表示，当两个分振动相位相反或相位差为p的奇数倍时，合振动的振幅等于两个分振动振幅之差的绝对值，这种情形称为振动互相减弱，如图7-6(b)中虚线所示。在一般情况下，相位差(j2-j1)不一定是p的整数倍，合振动的振幅a则处于a1+a2 和 |a1-a2|之间的某一确定值。二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成设某物体同时参与了在同一直线(x轴)上的两个频率相近的简谐振动，并且这两个简谐振动分别为x1 = a1 cos (w1t +j1 )x2 = a2 cos (w2t +j2)与上一种情况相同，物体所参与的合振动必然在同一直线上，合位移x应等于两个分位移x1和x2的代数和，即x= a1 cos (w1t+j1) +a2 cos (w2 t+j2 ) (7-21)但是与上一种情况所不同的是，这时的合振动不再是简谐振动了，而是一种复杂的振动。合振动的大致情况可以由图7-7产生：首先，我们用简谐振动的矢量图解法看一下这种振动的大致情况。两个分振动分别对应于旋转矢量a1和a2。由于这两个旋转矢量绕点o转动的角速度不同，所以它们之间的夹角随时间而变化。假如在某一瞬间，旋转矢量a1、a2和它们的合矢量a处于图7-7中细实线所示的位置，而在以后的某一瞬间，旋转矢量a1和a2分别到达a1和a2的位置，它们的合矢量变为a，如图7-7中粗实线所示。在这两个任意时刻，由于两个分振动所对应的旋转矢量的夹角不同，合矢量a和a的长度也不同，由合矢量所对应的合振动的振幅自然也不一样。由此我们可以断定，合振动是振幅随时间变化的振动。 在t时刻，旋转矢量a1和a2之间的夹角为(w2-w1)t+(j2-j1)，合矢量a的长度即为合振动的振幅，可以表示为 (7-22)由上式可见，合振动的振幅随时间在最大值 (a1+a2) 和最小值 |a1-a2|之间变化。如果w2w1，或者分振动的频率n2n1，那么每秒钟旋转矢量a2绕点o转n2圈，旋转矢量a1绕点o转n1圈，a2比a1多转(n2-n1)圈。a2比a1每多转一圈，就会出现一次两者方向相同的机会和一次两者方向相反的机会，所以在1s内应出现(n2-n1)次同方向的机会和(n2-n1)次反方向的机会。a1与a2同方向时，合振动的振幅为(a1+a2)；a1与a2反方向时，合振动的振幅为|a1 -a2|。这样便形成了由于两个分振动的频率的微小差异而产生的合振动振幅时而加强、时而减弱的所谓拍现象。合振动在1 s 内加强或减弱的次数称为拍频。显然拍频为n = n2-n1 (7-23)另外，由三角函数的和差化积也可以求出相频：另外，我们还可以利用三角函数的和差化积，求出拍频。为简便起见，假定两个简谐振动的振幅和初相位分别相同，为a和 j，则式(7-21)可化为 (7-24)在上式中，当w1 和w2相差很小时，(w2-w1)比w1和w2都小得多，因而是随时间缓慢变化的量，可以把它的绝对值看作合振动的振幅，这样，式(7-24)就是此合振动，即拍的数学表达式。由此式可见，合振动的振幅是时间的周期性函数。由于余弦函数的绝对值是以p为周期的，所以振幅的周期是故拍频为 (7-25)与式(7-23)相同。根据上面的分析所画出的拍现象的振动曲线，表示在图7-8中。用两个频率相同的音叉可以很容易地演示拍现象： 三、两个互相垂直的简谐振动的合成我们先来讨论两个互相垂直并具有相同频率的简谐振动的合成。设两个振动的方向分别沿着x轴和y轴，并表示为 (7-26)由以上两式消去t ，就得到合振动的轨迹方程。为此，先将式(7-26)改写成下面的形式 (7-27) (7-28)以cos b乘以式(7-27)，以cosa乘以式(7-28)，并将所得两式相减，得 (7-29)以sinb乘以式(7-27)，以sina乘以式(7-28)，并将所得两式相减，得 (7-30)将式(7-29)和式(7-30)分别平方，然后相加，就得到合振动的轨迹方程 (7-31)式(7-31)是椭圆方程，所以在一般情况下，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差(b-a )。下面分析几种特殊情形。1. b-a=0或p，即两分振动的相位相同或相反这时，式(7-31)变为即 (7-32)在式(7-32)中，当 b-a=0，即两分振动的相位相同时，取正号；当b-a=p，即两分振动的相位相反时，取负号。式(7-32)表示，合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图7-9所示。当b-a=0时，此直线的斜率为B/A (图中直线a)；当b-a=p时，此直线的斜率为-B/A (图中直线b)。显然，在这两种情况下，合振动都仍然是简谐振动，合振动的频率与分振动相同，而合振动的振幅为2. ，即两个分振动的相位相差为p/2或-p/2这时式(7-31)变为 (7-33)此式表示，合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如图7-10所示。当b-a= p/2时，振动沿顺时针方向进行；当b-a= -p/2时，振动沿逆时针方向进行。如果两个分振动的振幅相等，即A=B ，椭圆变为圆，如图7-11所示。3.两分振动的相位差不为上述数值如果两个分振动的相位差(b-a)不为上述数值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。图7-12画出了几种不同相位差所对应的合振动的轨迹图形。现在简略讨论一下两个互相垂直的、具有不同频率的简谐振动的合成情况。如果两个分振动的频率接近，其相位差将随时间变化，合振动的轨迹将不断按图7-12所示的顺序，在上述矩形范围内由直线逐渐变为椭圆，又由椭圆逐渐变为直线，并不断重复进行下去。4.如果两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系如果两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这时合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线，这种曲线称为利萨如图形。图7-13表 示了两个分振动的频率之比为1:2、1:3和2:3情况下的利萨如图形。利用利萨如图形的特点，可以由一个频率已知的振动，求得另一个振动的频率。这是无线电技术中常用来测定振荡频率的方法。5.如果两个互相垂直的简谐振动的频率之比是无理数如果两个互相垂直的简谐振动的频率之比是无理数，那么合振动的轨迹将不重复地扫过整个由振幅所限定的矩形(2A2B)范围。这种非周期性运动称为准周期运动。*四、振动的分解 从上节对两个简谐振动的合成的讨论中，已经看到，合成后的振动可能是简谐振动，而一般情况下则是复杂的振动。这就清楚地表明了，一个复杂的振动是由两个或两个以上的简谐振动所合成。由此，我们可以断定，一个复杂的振动必定包含了两个或两个以上的简谐振动。先让我们看一个简单的例子。图6-14是周期分别为t和t/2 (或角频率分别为w和2w)的两个简谐振动合成的情形；图6-15是周期分别为t、t/2和t/3 (或角频率分别为w、2w和3w)的三个简谐振动合成的情形。由合成的结果可见，在这两种情形下所得合振动都是周期为t的周期性振动。由此可以推断，若把有限个或无限个周期分别为t、t/2、t/3、 (或角频率分别为w、2w、3w、)的简谐振动合成起来，所得合振动也一定是周期为t的周期性振动。这就意味着一个周期为t的任意周期性振动，必定包含了周期分别为t、t/2、t/3、 (或角频率分别为w、2w、3w、 )的一系列简谐振动。既然如此，一个周期为t的任意周期性振动一定可以分解为周期分别为t、t/2、t/3、 (或角频率分别为w、2w、3w、 )的一系列简谐振动，其中角频率为w的简谐振动称为基频振动，角频率为nw的简谐振动称为n次谐频振动。数学上的傅里叶级数理论确保了这种分解的可行性。傅里叶级数理论表示，一个以t为周期的周期性函数f(t) 可以展开为正弦或余弦函数的级数 (7-34)式中w= 2p/t是函数f(t)的角频率，级数的各项系数an就是各简谐振动的振幅，而各jn值就是各简谐振动的初相位，它们都可以由函数f(t)的积分求得。将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操作，称为频谱分析：例题1、(6-14) 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： 和(式中x的单位是m，t的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。解 已知A1 = 0.05 m、j = p / 3、A2 = 0.06 m和j2 = -2p / 3，故合振动的振幅为合振动的初相位为但是j不能取p / 3，这是因为x1和x2是两个相位相反的振动，如果它们的振幅相等，则合振动是静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。在我们的问题中， ，所以合振动与x2同相位。于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取 ，即.例题2、（6-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m和0.03 m，当它们的合振动振幅为0.06 m时，两个分振动的相位差为多大？解 合振动的振幅平方可以表示为所以7-3阻尼振动、受迫振动和共振基本要求：理解阻尼振动、受迫振动和共振的一般规律一、阻尼振动以上我们所讨论的简谐振动是严格的周期性振动，即振动的位移、速度和加速度等每经过一个周期就完全恢复原值，但这毕竟只是一种理想情况。任何实际的振动都必然要受到摩擦和阻力的影响，振动系统必须克服摩擦和阻力而作功，外界若不持续地提供能量，振动系统自身的能量将不断减少。振动能量减小的另一种途径是由于振动物体引起邻近介质质点的振动，并不断向外传播，振动系统的能量逐渐向四周辐射出去。由于振动能量正比于振幅的平方，所以随着能量的减少，振幅也逐渐减小。振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。在以下的讨论中，我们只考虑由于摩擦和阻力引起的阻尼振动。当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时，物体所受流体的阻力主要是黏性阻力。黏性阻力的大小与物体运动的速率v成正比，方向与运动方向相反，可以表示为 (7-35)式中g称为阻力系数，负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反。考虑了黏性阻力，物体的振动方程可以写为 (7-36)令式(7-36)可以改写为 (7-37)式中w0称为振动系统的固有角频率，b称为阻尼常量，它取决于阻力系数g。上式阻尼振动满足的方程式。由于阻尼大小的不同，阻尼振动有三种情形：在阻尼较小的情况下，b2 w02，式(7-37)的解可以表示为 (7-38)其中 (7-39)A0和j为积分常量，可由初始条件决定。式(7-38)所表示的位移与时间的关系，可描绘成图7-17中曲线a所示的情形。由图可以看出，阻尼振动不是严格的周期运动，因为位移不能在每一个周期后恢复原值，也是一种准周期性运动。若与无阻尼的情况相比较，阻尼振动的周期可表示为 (7-40)可见，由于阻尼的存在，周期变长了，频率变小了，即振动变慢了。a、欠阻尼b、过阻尼c、临界阻尼二、受迫振动在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。如机器运转时所引起的机架、机壳和基础的振动，扬声器纸盆在音圈的带动下所发生的振动，都属于受迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为驱动力，它可以是简谐力，也可以是非简谐力。我们这里所要讨论的是在简谐力的作用下发生的受迫振动。一个振动系统由于不可避免地要受到阻尼作用，振动能量不断减小，若没有能量补充，系统的运动将以阻尼振动的形式，逐渐衰减并停止下来。现通过驱动力对振动系统作功，不断对系统补充能量，如果补充的能量正好弥补了由于阻尼所引起的振动能量的损失，振动就得以维持并会达到稳定状态。设驱动力为 f cosw t，则振动方程可写为或者 (7-41)式中，而b和w0的定义同前所述。方程(7-41)的解可以写为 (7-42)式(7-42)表示, 受迫振动是由阻尼振动和简谐振动两项叠加而成的。第一项随时间逐渐衰减，经过足够长时间后将不起作用，所以它对受迫振动的影响是短暂的。第二项体现了简谐驱动力对受迫振动的影响。当受迫振动达到稳定状态时，位移与时间的关系可以表示为x = a cos (w t-y) (7-43)可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动。三、共振式(7-47)表明，稳定状态的受迫振动振幅a与驱动力的角频率w 有关，图7-18画出了与不同阻尼常量b相对应的a-w 曲线。由此曲线可以看出，当驱动力的角频率w 与振动系统的固有角频率w 0相差较大时，受迫振动的振幅a是很小的；当w 接近w0时，a迅速增大；当w 为某确定值时，a达到最大值。当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率。利用式(7-47)求振幅的极大值，并令变量w 等于共振角频率wr，可求得图18.(7-48)可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。从图7-18还可以看出，阻尼常量b越大，共振时振幅的峰值越低，共振角频率越小；阻尼常量b越小，共振时振幅的峰值越高，共振角频率越接近系统的固有角频率；当阻尼常量b趋于零时，共振时振幅的峰值趋于无限大，共振角频率趋于系统的固有角频率。图7-18所表示的共振角频率随阻尼常量b的变化规律，都已包含在式(7-48)中；而共振时振幅的峰值随阻尼常量b的变化情形，可以由式(7-47)和式(7-48)求得。在式(7-47)中令w=wr，并将式(7-48)代入，可求得共振时振幅的峰值ar与阻尼常量b的关系 (7-49)共振现象的研究，无论在理论上还是在实践上都有重要意义：共振现象的研究，无论在理论上还是在实践上都有重要意义。我们知道，构成物质的分子、原子和原子核，都具有一定的电结构，并存在振动。当外加交变电磁场作用于这些微观结构并恰好引起共振时，物质将表现出对交变电磁场能量的强烈吸收。从不同方面研究这种共振吸收，如顺磁共振、核磁共振和铁磁共振等，已经成为现今研究物质结构的重要手段。收音机、电视接收机的调谐，就是利用共振来接收空间某一频率的电磁波的。在设计桥梁和其他建筑物时，必须避免由于车辆行驶、风浪袭击等周期性力的冲击而引起的共振现象。当这种共振现象发生时，振幅可能达到使桥梁和建筑物破坏的程度。例题1、试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为和式中是振动系统的固有角频率，是阻尼常量。7-4关于波动的基本概念基本要求：1、在明确关于波动的几个基本概念的基础上，熟练掌握平面简谐波波函数的几种表示，并明确其物理意义；理解波的叠加原理和惠更斯原理的基本内容；一、波的产生和传播当用手拿着绳子的一端并作上下振动时，绳子上将形成一个接着一个的凸起和凹陷，并由近及远地沿着绳子传播开去，对这一现象我们一定不感到陌生。这一个接一个的凸起和凹陷沿绳子的传播，就是一种波动。显然，绳子上的这种波动，是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的，对于波动而言，这一点就称为波源。绳子就是传播这种振动的弹性介质。我们可以把绳子看作为一维的弹性介质，组成这种介质的各质点之间都以弹性力相联系，一旦某质点离开其平衡位置，则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用，此弹性力既迫使这个质点返回其平衡位置，同时也迫使此邻近质点偏离其平衡位置而参与振动。另外，组成弹性介质的质点都具有一定的惯性，当质点在弹性力的作用下返回平衡位置时，质点不可能突然停止在平衡位置上，而要越过平衡位置继续运动。所以说，弹性介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程。在波的传播过程中，虽然波形沿介质由近及远地传播着，而参与波动的质点并没有随之远离，只是在自己的平衡位置附近振动。所以，波动是介质整体所表现的运动状态，对于介质的任何单个质点，只有振动可言。弹性介质是产生和传播机械波的必要条件：弹性介质是产生和传播机械波的必要条件，而对于其他类型的波并不一定需要这个条件。光波和无线电波都属于电磁波，是变化的电场和变化的磁场互相激发而产生的波，可以在真空中产生和传播。实物波或德布罗意波反映了微观粒子的一种属性，即波动性，代表了粒子在空间存在的概率分布，并非某种振动的传播，更无需弹性介质的存在。二、横波和纵波在波动中，如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直，这种波称为横波；如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行，这种波称为纵波。上面所说的凸起(称为波峰)和凹陷(称为波谷)沿绳子的传播，就是横波。纵波的产生和传播可以通过下面的实验来观察。将一根长弹簧水平悬挂起来，在其一端用手压缩或拉伸一下，使其端部沿弹簧的长度方向振动。由于弹簧各部分之间弹性力的作用，端部的振动带动了其相邻部分的振动，而相邻部分又带动它附近部分的振动，因而弹簧各部分将相继振动起来。弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子的凸起和凹陷，而表现为弹簧圈的稠密和稀疏，如图7-19所示。图中每一根竖直线代表一个弹簧圈，弹簧圈的振动方向与波的传播方向相平行。对于纵波，除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横波不同外，其他性质与横波无根本性差异，所以对横波的讨论也适用于纵波，对纵波的讨论当然也适用于横波。有的波既不是纯粹的纵波，也不是纯粹的横波，如液体的表面波。当波通过液体表面时，该处液体质点的运动是相当复杂的，既有与波的传播方向相垂直的方向上的运动，也有与波的传播方向相平行的方向上的运动。这种运动的复杂性，是由于液面上液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果。介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程：弹性介质是产生和传播机械波的必要条件，而对于其他类型的波并不一定需要这个条件。光波和无线电波都属于电磁波，是变化的电场和变化的磁场互相激发而产生的波，可以在真空中产生和传播。实物波或德布罗意波反映了微观粒子的一种属性，即波动性，代表了粒子在空间存在的概率分布，并非某种振动的传播，更无需弹性介质的存在。三、波线和波面波线和波面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念。图720（a）（b） 从波源沿各传播方向所画的带箭头的线，称为波线，用以表示波的传播路径和传播方向。波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面，称为波面。显然，波在传播过程中波面有无穷多个。在各向同性的均匀介质中，波线与波面相垂直。波面有不同的形状。一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波，其波面是一系列同心球面。波面为球面的波，称为球面波；波面为平面的波，称为平面波。当球面波传播到足够远处，若观察的范围不大，波面近似为平面，可以认为是平面波。图6-20(a)和(b)分别表示了球面波的波面和平面波的波面，图中带箭头的直线表示波线。在二维空间，波面退化为线：球面波的波面退化为一系列同心圆，平面波的波面退化为一系列直线。四、波速、波长以及波的周期和频率波速u、波长l、波的周期t和频率n是描述波动的四个重要物理量。这四个物理量之间存在一定的联系。波速是单位时间内振动传播的距离。波速也就是波面向前推进的速率。在固体中横波的波速为 (7-50)式中g是固体材料的剪切模量，r是固体材料的密度。纵波在固体中的传播速率为 (7-51)式中y是固体材料的杨氏模量。在流体中只能形成和传播纵波，其传播速率可以表示为 (7-52)式中b是流体的体变模量，定义为流体发生单位体变需要增加的压强，即 (7-53)式中负号是由于当压强增大时体积缩小，即dv为负值。式(7-50)、(7-51)和式(7-52)表明，波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性和惯性，弹性模量是介质弹性的反映，密度则是介质质点惯性的反映。波在传播过程中，沿同一波线上相位差为2p的两个相邻质点的运动状态必定相同，它们之间的距离为一个波长。在横波的情况下，波长等于两相邻波峰之间或两相邻波谷之间的距离；在纵波的情况下，波长等于两相邻密部中心之间或两相邻疏部中心之间的距离。一个完整的波(即一个波长的波)通过波线上某点所需要的时间，称为波的周期。周期的倒数等于波的频率，即 (7-54)波的频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义，我们不难想象，每经过一个周期，介质质点完成一次完全的振动，同时振动状态沿波线向前传播了一个波长的距离；在1 s内，质点振动了n次，振动状态沿波线向前传播了n个波长的距离，即波速，所以u = nl = (7-55)因为在一定的介质中波速是恒定的，所以波长完全由波源的频率决定：频率越高，波长越短；频率越低，波长越长。而对于频率或周期恒定的波源，因为波速与介质有关，则此波源在不同介质中激发的波的波长又由介质的波速决定。五、波动所遵从的基本原理1. 波的叠加原理大量实验表明：两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。这一规律称为波的叠加原理。在我们的日常生活中经常可以看到波动遵从叠加原理的例子。当水面上出现几个水面波时，我们可以看到它们总是互不干扰地互相贯穿，然后继续按照各自原先的方式传播；我们能分辨包含在噪杂声中的熟人的声音；收音机的天线通常有许多频率不同的讯号同时通过，它们在天线上产生了复杂的电流，然而我们可以接收到其中任意一频率的讯号，并与其他频率的讯号不存在时的情形大体相同。也正是由于波动遵从叠加原理，我们可以根据傅里叶分析把一列复杂的周期波表示为若干个简谐波的合成。2. 惠更斯原理惠更斯(c.huygens, 1629-1695)原理是这样表述的：波所到之处各点，都可以看作是发射子波的波源，在以后任一时刻，这些子波的包络就是波在该时刻的波面。利用惠更斯原理，可以由t时刻的波面求得t+dt时刻的波面。在图7-21中，波从波源o发出，以速率u向四周传播，在t时刻的波面是半径为r1的球面s1。根据惠更斯原理，t时刻的波面s1上的各点，都可以看作为发射子波的波源。所以，我们可以s1上的各点为中心、以r = udt为半径，画许多半球面形的子波，再作这些半球面的包络面s2，s2就是t+dt时刻的波面。显然，s2是以波源o为中心、以r2= r1 + udt为半径的球面。对于平面波，如图7-22所示，t时刻的波面为s1，以s1面上各点为中心、以r=udt为半径，画许多半球面形的子波，再作这些半球面的包络面s2，s2就是t+dt时刻的波面。显然，s2也是平面。由惠更斯原理可以推知，当波在各向同性的均匀介质中传播时，波面的几何形状不变；当波在各向异性或不均匀介质中传播时，由于不同方向上波速不同，波面的形状会发生变化。惠更斯原理不仅适用于机械波，也适用于电磁波。它在广泛的范围内解释了波的传播问题。在波动光学中我们将进一步讨论这个原理。例题1、（6-21） 某一声波在空气中的波长为0.30 m，波速为340 ms-1 。当它进入第二种介质后，波长变为0.81 m。求它在第二种介质中的波速。解 由于波速u、波长l和波的频率n之间存在下面的关系当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所