专题：与圆有关的最值问题

第 1 页 共 6 页 B y C xAO D B O C A BO y A x P BO y A x P BO y A x P 与与圆圆有关的最有关的最值值 取 取值值范范围围 问题问题 引例引例 1 1 在坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 B 为 y 轴正半轴上的一点 点 C 是第一象限内一点 且 AC 2 设 tan BOC m 则 m 的取值范围是 引例引例 2 2 如图 在边长为 1 的等边 OAB 中 以边 AB 为直径作 D 以 O 为圆心 OA 长为半径作 O C 为半圆 弧上的一个动点 不与 A B 两点重合 射线 AC 交 O 于点 E BC AC 求的最大值 A ABabab 引例引例 3 3 如图 BAC 60 半径长为 1 的圆 O 与 BAC 的两边相切 P 为圆 O 上一动点 以 P 为圆心 PA 长 为半径的圆 P 交射线 AB AC 于 D E 两点 连接 DE 则线段 DE 长度的最大值为 A 3 B 6 C D 3 3 2 3 3 一 题目分析 一 题目分析 此题是一个圆中的动点问题 也是圆中的最值问题 主要考察了圆内的基础知识 基本技能和基本思维 方法 注重了初 高中知识的衔接 1 引例引例 1 1 通过隐藏圆 高中轨迹的定义 寻找动点 C 与两个定点 O A 构成夹角的变化规律 转化为 特殊位置 相切 进行线段 角度有关计算 同时对三角函数值的变化 增减性 进行了延伸考查 其实质 是高中 直线斜率直线斜率 的直接运用 2 引例引例 2 2 通过圆的基本性质 寻找动点 C 与两个定点 A B 构成三角形的不变条件 结合不等式的性 质进行转化 其实质是高中 柯西不等式柯西不等式 的直接运用 3 引例引例 3 3 本例动点的个数由引例 1 引例 2 中的一个动点 增加为三个动点 从性质运用 构图形式 动点关联上增加了题目的难度 解答中还是注意动点 D E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件 DAE 60 构造弦 DE 直径所在的直角三角形 从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系 其实质是高中 正弦定正弦定 理理 的直接运用 综合比较 回顾这三个问题 知识本身的难度并不大 但其难点在于学生不知道转化的套路 只能凭直 观感觉去寻找 猜想关键位置来求解 但对其真正的几何原理却无法通透 二 解题策略二 解题策略 1 直观感觉 画出图形 2 特殊位置 比较结果 3 理性分析动点过程中所维系的不变条件 通过几何构建 寻找动量与定量 常量 之间的关系 建立 等式 进行转化 三 中考展望与题型训练三 中考展望与题型训练 例一 斜率运用例一 斜率运用 如图 A 点的坐标为 2 1 以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B P为 A 上的一个动点 请分别探索 ab 的最大值 的最小值 的最大值 的最大值 ba ba ba ba 第 2 页 共 6 页 B A C M D D O P C B A 拓展延伸拓展延伸 的范围 的范围 2ba 2ba 例二 圆外一点与圆的最近点 最远点例二 圆外一点与圆的最近点 最远点 1 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 3 点 D 是平面内的一个动点 且 AD 2 M 为 BD 的中点 在 D 点运动过程中 线段 CM 长度的取值范围是 2 如图 O 的直径为 4 C 为 O 上一个定点 ABC 30 动点 P 从 A 点出发沿半圆弧向 B 点运动 A AB 点 P 与点 C 在直径 AB 的异侧 当 P 点到达 B 点时运动停止 在运动过程中 过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点 1 在点 P 的运动过程中 线段 CD 长度的取值范围为 2 在点 P 的运动过程中 线段 AD 长度的最大值为 例三 正弦定理例三 正弦定理 1 如图 ABC 中 BAC 60 ABC 45 AB D 是线段 BC 上的一个动点 以 AD 为直径作 O 分2 2 别交 AB AC 于 E F 两点 连接 EF 则线段 EF 长度的最小值为 2 如图 定长弦 CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动 点 C D 与点 A B 不重合 M 是 CD 的中点 过点 C 作 CP AB 于点 P 若 CD 3 AB 8 则 PM 长度的最大值是 例四 柯西不等式 配方法例四 柯西不等式 配方法 1 如图 已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A 点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点 过点 P 作直线 l 的垂 线 垂足为 C PC 与 O 交于点 D 连接 PA PB 设 PC 的长为 x 2 x 4 则当 x 时 PD CD 的值 最大 且最大值是为 第 3 页 共 6 页 O A B C O P Q A N M B E B A C O D OD C E AB 2 如图 线段 AB 4 C 为线段 AB 上的一个动点 以 AC BC 为边作等边 ACD 和等边 BCE O 外接于 CDE 则 O 半径的最小值为 A 4 B C D 2 2 3 3 3 2 2 3 在平面直角坐标系中 以坐标原点 O 为圆心 2 为半径画 O P 是 O 上一动点 且 P 在第一象限内 过 点 P 作 O 的切线与轴相交于点 A 与轴相交于点 B 线段 AB 长度的最小值是 xy 例四 相切的应用 有公共点 最大或最小夹角 例四 相切的应用 有公共点 最大或最小夹角 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 D 为 AB 边上一点 过点 D 作 CD 的垂线交直线 BC 于点 E 则线段 CE 长度的最小值是 2 如图 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 4 以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作 O 若 O 与边 BC 始终有交点 包括 B C 两点 则线段 AO 的取值范围是 3 如图 射线 PQ 射线 MN PM MN A 为 PM 的中点 O 为射线 PQ 上的一个动点 AC AB 交 MN 于点 C 当 以 O 为圆心 以 OB 为半径的圆与线段 PM 有公共点时 包括 P M 两点 则线段 OP 长度的最小值为 第 4 页 共 6 页 l Q P NM A B C FE C B AO G D O A B D C P 例五 其他几何知识的运用例五 其他几何知识的运用 如图所示 AC AB AB 6 AC 4 点 D 是以 AB 为直径的半圆 O 上一动点 DE CD 交直线 AB 于点 E 设 DAB 0 90 若要使点 E 在线段 OA 上 包括 O A 两点 则的取值范围为 tan 题型训练题型训练 1 如图 已知直线 l 与 O 相离 OA l 于点 A OA 5 OA 与 O 相交于点 P AB 与 O 相切于点 B BP 的延 长线交直线 l 于点 C 若在 O 上存在点 Q 使 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形 则 O 的半径 r 的取值范 围为 2 已知 如图 Rt ABC 中 B 90 A 30 BC 6cm 点 O 从 A 点出发 沿 AB 以每秒cm 的速度向3 B 点方向运动 当点 O 运动了 t 秒 t 0 时 以 O 点为圆心的圆与边 AC 相切于点 D 与边 AB 相交于 E F 两 点 过 E 作 EG DE 交射线 BC 于 G 1 若点 G 在线段 BC 上 则 t 的取值范围是 2 若点 G 在线段 BC 的延长线上 则 t 的取值范围是 3 如图 M N 的半径分别为 2cm 4cm 圆心距 MN 10cm P 为 M 上的任意一点 Q 为 N 上的任意一 点 直线 PQ 与连心线 所夹的锐角度数为 当 P Q 在两圆上任意运动时 的最大值为 l tan A B C D 6 12 4 3 3 3 3 4 4 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 O 为矩形 ABCD 的中心 以 D 为圆心 1 为半径作 D P 为 D 上的一 个动点 连接 AP OP 则 AOP 面积的最大值为 A 4 B C D 21 5 35 8 17 4 第 5 页 共 6 页 A Q C P B O A DBC E F C ADB Q P OAx y P 5 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA CB 分别相交于点 P Q 则线段 PQ 长度的最小值是 A B C 5 D 19 4 24 5 4 2 6 如图 在等腰 Rt ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中点 点 E 在 AB 边上运动 点 E 不与点 A 重合 过 A D E 三点作 O O 交 AC 于另一点 F 在此运动变化的过程中 线段 EF 长度的最小值为 7 如图 A B 两点的坐标分别为 2 0 0 2 C 的圆心的坐标为 1 0 半径为 1 若 D 是 C 上的 一个动点 线段 DA 与 y 轴交于点 E 则 ABE 面积的最小值是 A 2 B 1 C D 2 2 2 22 8 如图 已知 A B 两点的坐标分别为 2 0 0 1 C 的圆心坐标为 0 1 半径为 1 D 是 C 上 的一个动点 射线 AD 与 y 轴交于点 E 则 ABE 面积的最大值是 A 3 B C 10 3 D 4 11 3 9 如图 等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC 4 C 的半径为 1 点 P 在斜边 AB 上 PQ 切 O 于点 Q 则切线长 PQ 长度的最小值为 A B C 3 D 472 2 10 如图 BAC 60 半径长 1 的 O 与 BAC 的两边相切 P 为 O 上一动点 以 P 为圆心 PA 长为半径 的 P 交射线 AB AC 于 D E 两点 连接 DE 则线段 DE 长度的范围为 11 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 P 是第一象限内一点 且 AB 2 则的范围mn mn 为 第 6 页 共 6 页 OA B x y P 12 在坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 B 是 y 轴右侧一点 且 AB 2 点 C 上直线 y x 1 上一动点 且 CB AB 于点 B 则 则的取值范围是 tanACBm m 13 在平面直角坐标系中 M 3 4 P 是以 M 为圆心 2 为