解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

18 第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线 3 1 平面的方程平面的方程 1 求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程 1 通过点和点 1 1 3 1 M 且平行于矢量的平面 2 通过点和且垂 0 1 1 2 M 2 0 1 1 5 1 1 M 2 2 3 2 M 直于坐标面的平面 3 已知四点 求xoy 3 1 5 A 2 6 1 B 4 0 5 C 6 0 4 D 通过直线 AB 且平行于直线 CD 的平面 并求通过直线 AB 且与平面垂直的平面 ABC 解 解 1 又矢量平行于所求平面 故所求的平面方 1 2 2 21 MM 2 0 1 程为 一般方程为 2 由于平面垂 vuz uy vux 21 21 23 07234 zyx 直于面 所以它平行于轴 即与所求的平面平行 又 xoyz 1 0 0 3 7 2 21 MM 平行于所求的平面 所以要求的平面的参数方程为 一般方程为 vuz uy ux 31 75 21 即 3 设平面通过直线 AB 且0 5 2 1 7 yx01727 yx 平行于直线 CD 从而的参数方 程为 1 5 4 AB 2 0 1 CD 一般方程为 设平面通过直线 AB 且 vuz uy vux 23 51 45 0745910 zyx 垂直于所在的平面 ABC 1 5 4 AB 均与平行 所以的参数式方程为 1 1 1 4 4 4 4 1 1 0 1 5 4 ACAB 一般方程为 vuz vuy vux 3 51 45 0232 zyx 2 化一般方程为截距式与参数式 解 解 与三042 zyx 个坐标轴的交点为 所以 它的截距式方程为 4 0 0 0 20 0 0 4 19 又与所给平面方程平行的矢量为 所求平面的1 424 zyx 4 0 4 0 2 4 参数式方程为 vz uy vux24 3 证明矢量平行与平面的充要条件为 ZYXv 0 DCzByAx 证明 证明 不妨设 则平面0 CZBYAX0 A 的参数式方程为 故其方位矢量为 0 DCzByAx vz uy v A C u A B A D x 从而平行于平面的充要条件为 1 0 0 1 A C A B v0 DCzByAx 共面 v 1 0 0 1 A C A B 0 10 01 A C A B ZYX 0 CZBYAX 4 已知连接两点的线段平行于平面 求点的 12 0 5 10 3 zBA 0147 zyxB 坐标 解 解 而平行于 z 5 2 3 zAB AB0147 zyx 由题 3 知 从而 0 5 427 3 z18 z 5 求下列平面的一般方程 通过点和且分别平行 1 1 2 1 1 2 3 2 于三坐标轴的三个平面 过点且在轴和轴上截距分别为和的 4 2 3 xy2 3 平面 与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面 已知0325 zyx 两点 求通过且垂直于的平面 原点在所求平 1 2 4 2 1 3 21 1 21 面上的正射影为 求过点和且垂直于平面 6 9 2 1 5 3 1 2 1 4 2 的平面 解 平行于轴的平面方程为0138 zyxx 即 同理可知平行于轴 轴的平面的方程分别为0 001 011 112 zyx 01 zyz 20 设该平面的截距式方程为 把点01 01 yxz1 32 c zyx 代入得 故一般方程为 若所求 4 2 3 19 24 c02419812 zyx 平面经过轴 则为平面内一个点 和为所求平面的方位矢量 x 0 0 0 2 1 5 0 0 1 点法式方程为 一般方程为 同理经过轴 轴0 001 215 000 zyx 02 zyyz 的平面的一般方程分别为 垂直05 052 yxzx 2121 3 1 1 于平面 该平面的法向量 平面通过点 因此平面 3 1 1 n 2 1 3 1 的点位式方程为 化简得 02313 zyx023 zyx 5 6 9 2 op 1136814 opp 6 9 2cos cos cos11 0 npop 则该平面的法式方程为 11 6 cos 11 9 cos 11 2 cos 0 11 11 6 11 9 11 2 zyx 既 6 平面的法向量为 0 121692 zyx0138 zyx 3 8 1 n 点从 写出平面的点位式方程为 则 1 6 1 21 MM 2 1 40 161 381 214 zyx 则一 26 16 38 A74282426 14 11 31 2 11 13 DCB 般方程即 0 DCzByAx 0 37713 zyx 6 将下列平面的一般方程化为法式方程 0 7444 0 23 0 12 0 352 1 zyxxyxzyx 解 将已知的一般方程乘上得 3 D 30 11 222 CBA 30 1 法式方程 将已知的一般 0 30 3 30 5 30 2 30 zyx 2 1 1 2 D 21 方程乘上得法式方程 2 1 0 2 1 2 1 2 1 yx 将已知的一般方程乘上得法式方程 1 2 3 D 1 0 2 x 即或 将已知的一般方程乘上或得 9 1 0 4 D 9 1 9 1 9 1 9 1 法式方程为或0 9 7 9 4 9 4 zyx 0 9 7 9 4 9 4 zyx 7 求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦 0 2122 2 0 3563 2 1 zyxzyx 解 化为法式方程为原点指向平面的单位法 7 1 35 1 D05 7 6 7 3 7 2 zyx 矢量为它的方向余弦为原点到平面 7 6 7 3 7 2 u 7 6 cos 7 3 cos 7 2 cos o 的距离为 化为法式方程为 5 DP 3 1 21 2 D 原点指向平面的单位法矢量为它的方向余07 3 2 3 2 3 1 zyx 3 2 3 2 3 1 0 n 弦为原点到平面的距离 第 20 页 122 cos cos cos 333 o 7 pD 8 已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她 0 7 0 2 1 1 2 2 2 ABC ABCA 相距为 2 各单位的平面方程 解 设点则 ABa ACb 0 7 0 A 写出平面的点位式方程 设一般方程 2 6 1 2 9 2ab 7 2610 292 xyz 则 相0 3 2 6 140 AxByCzDABCD 1 2 7 pD 距为 2 个单位 则当时当时 所求平面为4p 28 D 0p 0 D 和326280 xyz 3260 xyz 9 求与原点距离为 6 个单位 且在三坐标轴与上的截距之比为 ox oyoz 的平面 1 3 2a b c 解 设设平面的截距方程为 3 2 0 ax bx cxabc 1 xyz abc 22 即 又原点到此平面的距离 bcxacyabzabc 6 d 2222222 1 6 abc b ca ca bx 所求方程为 1 1132 7777 xabc 7 32 yz x 10 平面分别与三个坐标轴交于点求的面积 解 1 xyz abc A B CABCA 0 0 A a 0 0 Bb 0 0 Cc 0ABa b 0 ACac ABACbc ca ab 222222 ABACb cc aa b 11 设从坐标原点到平面的距离为 S ABCA 222222 1 2 b cc aa b 求证 证明 由题知 从而有 222 222 11111 111 p pabc abc 2222 1111 pabc 3 2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置 1 计算下列点和平面间的离差和距离 1 2 3 4 2 M 0322 zyx 3 2 1 M 0435 zyx 解 解 将的方程法式化 得 故离差为 01 3 2 3 1 3 2 zyx 到的距离 3 1 13 3 2 4 3 1 2 3 2 M M 3 1 Md 2 类似 1 可求得 到的距离0 35 4 35 3 35 6 35 5 M M 2 求下列各点的坐标 1 在轴上且 0 Md y 到平面的距离等于 4 个单位的点 2 在轴上且到点与02222 zyz 0 2 1 M 到平面距离相等的点 3 在 x 轴上且到平面09623 zyx 和距离相等的点 解 解 1 设要01151612 zyx0122 zyx 求的点为则由题意得 或 7 即所 0 0 0 yM4 9 22 0 y 61 0 y 5 0 y 求的点为 0 5 0 及 0 7 0 2 设所求的点为则由题意知 0 0 0 z 23 由此 或 82 13 故 要求的点为及 7 96 21 02 0 22 z z2 0 z 2 0 0 3 设所求的点为 由题意知 由此解得 13 82 0 0 0 0 0 x 3 12 25 1012 0 x 或 11 43 所求点即 2 0 0 及 11 43 0 0 2 0 x 3 已知四面体的四个顶点为 计算从顶点向底 4 1 1 5 11 2 3 5 3 4 6 0 CBASS 面 ABC 所引的高 解 解 地面 ABC 的方程为 所以 高0522 zyx 4 求中心在且与平面3 3 5426 h 2 5 3 C 相切的球面方程 解 球面的半径为 C 到平面 01132 zyx 的距离 它为 所以 要求01132 zyx142 14 28 14 116532 R 的球面的方程为 即 56 2 5 3 222 zyx 0184106 222 zyxzyx 5 求通过轴其与点相距 8 个单位的平面方程 解 设通过x 5 4 13M 轴的平面为它与点相距 8 个单位 从而x0 ByCz 5 4 13M 因此 从而得 22 22 413 8 481041050 BC BBCC BC 1235430 BCBC 或于是有或 所求平面为12350BC 430 BC 35 12B C 3 4 B C 或35120yz 340 yz 6 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹 053407263 yxzyx和062901429 zyxzyx和 解 令化简整理可 07263 7 1 1 zyx 534 5 1 7263 7 1 yxzyx 得 与 对应项系数相同 可求0105113 zyx07010943 zyx 从而直接写出所求的方程 4 2 614 2 21 DD D0429 zyx 24 9 判别点 M 2 1 1 和 N 1 2 3 在由下列相交平面所构成的同一个二面角内 还是在相邻二面角内 或是在对顶的二面角内 1 与 1 3 230 xyz 2 与 2 240 xyz 1 2 510 xyz 2 3 2610 xyz 解 1 将 M 2 1 1 N 1 2 3 代入 得 则 1 6 123 0 3263 0 M N 在的异侧 再代入 得 MN 在的同侧 MN 1 2 22 147 0 1 4344 0 2 在相邻二面角内 2 将 M 2 1 1 N 1 2 3 代入 得 1 则 MN 在的异侧 再代入 得 4 1 5 19 0 22 15 18 0 1 2 则 MN 在的异侧 MN 在对顶的二面角内 662 1130 34 18 1200 2 10 试求由平面 与 所成的二面角的角平 1 2230 xyz 2 32610 xyz 分方程 在此二面角内有点 1 2 3 解 设 p x y z 为二面角的角平分面上的点 点 p 到的距离相等 12 化简得 把点 p 代入到 222222 2233261 212326 xyzxyz 5332190 1 234240 2 xyz xyz 上 在 1 上取点 0 0 代入 12 1 0 2 0 18 5 12 12 00 在 2 上取点 0 0 6 代入 2 为所求 解平面的方 12 12 00 程为 34240 xyz 3 3 两平面的相关位置两平面的相关位置 1 判别下列各对直线的相关位置 1 与 2 0142 zyx03 24 z yx 与 3 与0522 zyx013 zyx05426 zyx 解 解 1 0 2 9 639 zyx 1 2 1 4 1 4 2 1 1 中的两平面平行 不重合 2 2 中 1 3 1 2 1 2 两平面相交 3 3 中两平面平行 不重合 6 3 9 4 2 6 25 2 分别在下列条件下确定的值 1 使nml 和表示同一08 3 1 3 znymxl016 3 9 3 zlynxm 平面 2 使与表示二平行平面 3 使0532 zmyx0266 zylx 与表示二互相垂直的平面 解 解 1 欲013 zylx027 zyx 使所给的二方程表示同一平面 则 即 16 8 3 3 9 1 3 3 l n n m m l 从而 2 欲使所给的二方程表示二平 092 072 032 nl mn lm 9 7 l 9 13 m 9 37 n 行平面 则 所以 3 欲使所给的二方程表示二垂 6 3 6 2 m l 4 l3 m 直平面 则 所以 0327 l 7 1 l 3 求下列两平行平面间的距离 1 0218419 zyx0428419 zyx 2 解 解 1 将所给的方程化为 07263 zyx014263 zyx 所以两平面间的距离为 2 01 21 8 21 4 21 19 zyx02 21 8 21 4 21 19 zyx 1 1 2 同 1 可求得两平行平面间的距离为 1 2 3 4 求下列各组平面所成的角 1 2 011 yx083 x 解 1 设 012632 zyx0722 zyx 1 011 yx 2 083 x 2 2 32 3 cos 21 或 2 设 4 21 4 3 1 012632 zyx 2 0722 zyx 21 8 37 1262 cos 21 或 21 8 cos 1 21 21 8 cos 1 21 5 求下列平面的方程 1 通过点和且与坐标面成角的 1 0 0 1 M 0 0 3 2 MxOy 0 60 平面 2 过轴且与平面成角的平面 解 设所求z0752 zyx 0 60 平面的方程为 又 xoy 面的方程为 z 0 所以 1 13 z b yx 26 解得 所求平面的方程为 2 1 1 1 3 1 10 1 0 3 1 60cos 2 22 b b 20 3 b 即 设所求平面的方程为 1 26 3 3 z yx 03326 zyx0 ByAx 则 或 2 1 514 2 60cos 22 BA BA 3 0383 22 B ABABA BA3 所求平面的方程为或 03 yx03 yx 3 4 空间直线的方程空间直线的方程 1 求下列各直线的方程 1 通过点和点的直线 2 通过点 1 0 3 A 1 5 2 B 且平行于两相交平面 的直线 0000 zyxM i 0 iiii DzCyBxA 2 1 i 3 通过点且与三轴分别成的直线 4 通过点 3 51 Mzyx 120 45 60 且与两直线和垂直的直线 5 通过点 2 0 1 M 1 1 11 1 zyx 0 1 1 1 1 zyx 且与平面垂直的直线 解 解 1 由本节 3 4 5 3 2 M02536 zyx 6 式 得所求的直线方程为 即 亦即 0 1 532 3 zyx 0 1 55 3 zyx 0 1 11 3 zyx 2 欲求直线的方向矢量为 所以 直线方程为 22 11 22 11 22 11 BA BA AC AC CB CB 3 欲求的直线的方向矢量为 22 11 0 22 11 0 22 11 0 BA BA zz AC AC yy CB CB xx 故直线方程为 2 1 2 2 2 1 120cos 45cos 60cos 1 3 2 5 1 1 zyx 欲求直线的方向矢量为 所以 直线方程为 2 1 10 1 11 1 1 欲求的直线的方向矢量为 2 2 11 1 zyx 5 3 6 27 所以直线方程为 5 5 3 3 6 2 zyx 求以下各点的坐标 在直线上与原点相距 个单位的点 3 8 1 8 2 1 zyx 关于直线与点对称的点 解 解 设所求 0322 0124 zyx zyx 1 0 2 P 的点为 则 zyxM tz ty tx 38 8 21 又即 解得 或 所 2222 25 zyx 2222 25 38 8 21 ttt4 t 7 62 以要求的点的坐标为 已知直线的方向矢 7 130 7 6 7 117 20 12 9 量为 或为 过垂直与已知直线的平面为 3 6 62 1 24 1 1 1 2 2 P 即 该平面与已知直线的交点为0 1 2 2 2 zyx0322 zyx 所以若令为 P 的对称点 则 3 1 1 zyx P 2 2 1 x 2 0 1 y 2 1 3 z 即 7 2 0 zyx 7 2 0 P 求下列各平面的方程 通过点 且又通过直线的平 1 0 2 p 3 2 12 1 zyx 面 通过直线且与直线 1 1 5 3 1 2 zyx 052 032 zyx zyx 平行的平面 通过直线且与平面垂直 2 2 3 2 2 1 zyx 0523 zyx 的平面 通过直线向三坐标面所引的三个射影平面 0142 09385 zyx zyx 解 解 因为所求的平面过点和 且它平行于矢量 所以 1 0 2 p 2 0 1 p 3 1 2 要求的平面方程为 即 已知直线的方0 303 312 12 zyx 015 zyx 向矢量为 平面方程为 即 5 3 11 2 11 1 2 0 531 151 132 zyx 要求平面的法矢量为 平015211 zyx 13 8 11 2 32 3 2 28 面的方程为 即 4 由已知0 2 13 2 8 1 zyx09138 zyx 方程 分别消去 得到 0142 09385 zyx zyx xyz0231136 zy 此即为三个射影平面的方程 079 zx06411 yx 4 化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程 并求出直线的方向余弦 1 2 3 解 解 0323 012 zyx zyx 0642 06 zyx zx 2 0 x zyx 1 直线的方向数为 射影式方程为 5 1 3 13 12 32 21 21 11 即 标准方程为 方向余弦为 5 9 5 1 5 2 5 3 zy zx 5 9 5 1 5 2 5 3 zy zx z yx 5 1 5 9 5 3 5 2 35 3 5 35 5 3 cos 35 1 5 35 5 1 cos 35 5 5 35 1 cos 2 已知直线的方向数为 射影式方程为 4 3 4 42 01 21 11 14 10 即 标准方程为 方向余弦为 4 18 4 3 4 24 4 4 zy zx 2 9 4 3 6 zy zx z y x 4 3 2 9 1 6 41 4 4 41 1 cos 41 3 4 41 4 3 cos 3 已知直线的方向数为 射影式1 1 0 1 1 0 01 11 10 11 00 11 方程为 标准式方程为 方向余弦为 2 2 zy x z yx 1 2 0 2 0cos 2 1 cos 2 1 cos 29 5 一线与三坐标轴间的角分别为 证明 222 sinsinsin2 证 即 222 coscoscos1 222 1 sin1 sin1 sin1 222 sinsinsin2 3 5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置 1 判别下列直线与平面的相关位置 1 与 2 37 4 2 3zyx 3224 zyx 与 3 与 723 zyx 8723 zyx 012 05235 zyx zyx 07734 zyx 4 与 解 解 1 49 92 tz ty tx 010743 zyx 而 所以 直线0 2 3 2 7 4 2 017302 4 234 与平面平行 2 所以 直线与平面相交 且因为 0717 2 233 直线与平面垂直 3 直线的方向矢量为 7 7 2 2 3 3 而点在直线上 1 9 51 1 22 3 5 0179354 0 5 2 M 又 所以 直线在平面上 4 直线的方向矢量为 07 5 3 2 4 9 2 1 097 2 413 直线与平面相交 2 试验证直线 与平面 相交 并求出它的交点l 2 1 1 1 1 zyx 032 zyx 和交角 解 解 直线与平面相交 又直线的坐 032111 1 2 标式参数方程为 设交点处对应的参数为 tz ty tx 21 1 0 t 从而交点为 1 0 1 又设直线 与03 21 1 2 000 ttt 1 0 tl 平面的交角为 则 2 1 66 2111 1 2 sin 6 3 确定的值 使 1 直线与平面平行 ml 13 2 4 1zyx 0153 zylx 30 2 直线与平面垂直 解 解 1 欲使所给直 13 54 22 tz ty tx 076 zmylx 线与平面平行 则须 015334 l 即 2 欲使所给直线与平面垂直 则须 所以 1 l 3 6 42 ml 8 4 ml 4 决定直线和平面的相 0 0 222 111 zCyBxA zCyBxA 0 212121 zCCyBBxAA 互位置 解 在直线上任取 有 1111 zyxM 0 0 121212 111111 zCyBxA zCyBxA 这表明在平面上 所以已给的直线处0 121121121 zCCyBBxAA 1 M 在已给的平面上 5 设直线与三坐标平面的交角分别为证明 证明 设直线与 X Y Z 轴的交角分别为而 2coscoscos 222 直线与 yoz zox xoy 面的交角依次为那么 而 2 2 2 1 coscoscos 222 1 2 cos 2 cos 2 cos 222 从而有 1 sinsinsin 222 2 coscoscos 222 6 求下列球面的方程 1 与平面 x 2y 3 0 相切于点且半径 r 3 的球面 2 与 3 1 1 M 两平行平面 6x 3y 2z 35 0 和 6x 3y 2z 63 0 都相切且于其中之一相切于点的 1 1 5 M 球面 解 为过切点且垂直与已知平面的直线 显见 tz ty tx 3 2 3 3 2 1 3 1 1 是这条直线的方向余弦 取 则得 取 则得 3 2 3 2 3 1 3 t3 2 yx3 t 故所求球面有两个 与5 1 0 zyx 9132 222 zyx 为过点且垂直于 951 22 2 zyxtztytx21 31 65 31 两平面的直线 将其代入第二个平面方程 得 反代回参数方程 得 设2 t3 5 7 zyx 球之中心为 半径为 则 故所求球Cr 49112115 1 2 1 222 2 rC 面方程为 49121 222 zyx 3 7 空间直线的相关位置空间直线的相关位置 1 直线方程的系数满足什么条件才能使 1 直线与轴相 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA x 交 2 直线与轴平行 3 直线与轴重合 解 解 1 所给直线与xx 轴相交 使且 且 不全x 0 x0 101 DxA0 202 DxA 0 22 11 DA DA 1 A 2 A 为零 2 轴与平面平行 x0 1111 DzCyBxA 0001 111 CBA 又轴与平面平行 所以 0 1 Ax0 2222 DzCyBxA 即 但直线不与轴重合 0001 221 CBA 0 2 A0 21 AAx 不全为零 3 参照 2 有 且 21 D D0 21 AA0 21 DD 2 确定值使下列两直线相交 1 与轴 2 0154 0623 zyx zyx z 与 解 1 若所给直线相交 则有 1 2 1 1 1 zyx zyx 11 类似题 1 从而 2 若所给二直线相交 则0 15 62 5 从而 0 111 21 11111 4 5 3 判别下列各对直线的相互位置 如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面 如果 是异面直线 求出它们之间的距离 1 与 2 0623 022 yx zyx 0142 0112 zx zyx 与 3 与 1 3 1 8 3 3 zyx 4 6 2 7 3 3 zyx 2 12 tz ty tx 解 解 1 将所给的直线方程化为标准式 为 5 2 17 4 4 1 zyx 32 2 3 4 2 3 4 二直 43 4 3 2 2 3 z yx 43 2 2 7 zyx 线平行 又点与点 7 2 0 在二直线上 矢量 0 4 3 2 3 平行于二直线所确定的平面 该平面的法矢量为 0 4 5 2 11 0 4 3 2 2 3 7 从而平面方程为 19 22 5 0 4 5 2 11 4 3 2 即 2 因为0 0 19 2 22 7 5 zyx0919225 zyx 二直线是异面的 二直线的距离 0270 423 113 637833 3 因为 303270 3156 270 4 2 31 1 3 423 113 3156 222 d 但是 1 2 1 4 7 5 所以 两直线相交 二直线所0 574 121 031 决定的平面的法矢量为 平面的方程为 1 1 35 7 412 1 4 给定两异面直线 与 试求33 zyx 0 1 12 3 zyx 10 2 1 1zyx 它们的公垂线方程 解 因为 公垂线方程为 1 2 11 0 10 1 2 即 亦即 0 121 101 21 0 121 012 13 zyx zyx 02222 0852 zyx zyx 01 0852 zyx zyx 5 求下列各对直线间的角 1 2 6 1 9 3 22 5 6 2 3 1 zyxzyx 与 33 023 0264 022 0243 zy zyx zyx zyx 与 解 1 77 72 368144369 12546 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx 直线 77 72 arccos 77 72 arccos 或 4 3 4 12 6 3023 0264 11210 022 0243 z yx zy zyx zyx zyx zyx 的对称式方程为 的对称式方程为 195 98 1513 98 1614491214100 442430 cos 195 98 arccos 195 98 arccos 或 6 设和分别是坐标原点到点和的距离 证明当d d M a b c M a b c 时 直线通过原点 证 明 aabbccdd MM OMa b c OMa b c 而当 时 必有OM OMaabbcc OM OMOM OM cos OM OMdd 当时 直线通过原点 cos 1OM OM OMOM aabbccdd MM 7 求通过点且与平面平行 又与直线相交的 2 0 1 0123 zyx 12 3 4 1zyx 直线方程 解 设过点的所求直线为 它与已知 2 0 1 21 Z z Y y X x 平面平行 所以有 1 又 直线与已知直线相交 0123 zyx023 zyx 那么必共面 又有即 7x 8y 12z 0 0124 200311 ZYX 2 由 1 2 得 而 31 50 4 87 13 712 32 128 21 ZYX 所求直线的方程为 1 2 431 50 4 31 2 504 1 zyx 8 求通过点且与两直线都相交的直线方 1 0 4 442 3 22 1 zyx zyx zyx zyx 与 34 程 解 设所求直线的方向矢量为 则所求直线可写为 zyx v 直线平行于矢量 矢 14 Z z Y y X x 1 l 3 3 01 1 21 1 1 21 nn 量为直线的方向矢量 由于因此令 y o 解方程组得 x 1 z o 3 3 0 v 1 l0 21 11 点 1 o o 为直线上的一点 直线的标准方程为 1 l 1 l 6 2 15 5 zyx 3 3 0 1 0 0 1 1121 v Mllll方向矢量为过点都相交且与 有即 6 1 5 2 2 0 1 22 v Ml方向矢量过点0330 103 11 ZYX vvpm X 3Y 3Z 0 即 X 13Y 3Z 0 得 X Y Z 30 6 16 又 0615 103 22 ZYX vvpm 即 即 3 3 016 6 30 1 vv不平行6 1 516 6 30 2 vv不平行 所求直线方程为 8 1 315 4 zyx 9 求与直线平行且和下列两直线相交的直线 1 3 7 1 8 2 zyx 解 在两直线上分别取两点 53 42 34 65 yz xz xz xz tz ty tx tz ty tx 74 105 53 32 第一条直线的方向矢量为 第二条直线的方向矢量 4 3 0 39 0 9 21 MM 0 1 0 1 v 为 作两平面 即 6 2 3 2 v 0 010 178 399 1 zyx 0 623 178 43 2 zyx 将其联立即为所求直线的方程 03198 03038 zyxzx 03198 03038 zyx zx 021532 0 178 132 53 zyx zyx 即 35 1 2 由017 0 178 145 710 zyx zyx 即 1 2 联立 这就是所要求的直线方程 017 021532 zyx zyx 10 求过点且与直线相交的直线方程 解 设所求 0 1 2 垂直 2 25 23 5 zyx l 直线的方向矢量为 则所求直线可写为 ZYXv 0 0 l 012 Z z Y y X x 223 2505 的方向矢量直线 过点直线 v lMl 0 00 vvll垂直 所以有与 3X 2Y 2Z 0 1 即 50X 69Y 6Z 0 2 0 223 2503 00 ZYX vvMPll相交 则有与 由 1 2 得 所求直线为 311 131 120 ZYX 0 l 311131 1 120 2zyx 3 6 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置 1 直线通过原点的条件是什么 解 解 已知直线通过原点 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 故条件为 2 求点 0000 0000 2222 1111 DCBA DCBA 0 0 2 1 D D 0 21 DD 到直线的距离 解 直线的标准方程为 1 3 2 p 017223 0322 zyx zyx 所以 p 到直线的距离为 2 25 12 11 zyx 15 3 45 3 2025