24导函数与不等式.doc

导数、函数不等式一课题的设想对“导数、导数的方法”的考察，一直是全国高考及高考模拟试题的重点和热点如：武汉市二月份、四月份的调研试题，09全国高考湖北卷文19、理21题试题呈现方式积极、生动，以函数的主干知识为载体展开问题，在知识的“交汇”点考察学生的知识水平和思维能力命题呈现了一个共同特点：“构造新函数，运用函数的单调性，解、证函数不等式”教学实践表明：学生面对问题，常常是解题模式混乱混淆“求导”与“解、证函数不等式”的“目标差”突破问题的难点，综合、归纳、小结求解程式，帮助和支持学生构建求解范式，是本次课题的设想 二教学目标 1帮助学生形成：“构造新函数”的必要性、合理性和程序性； 2帮助学生理解：函数不等式合理变形的条件与过程和呈序性、必要性； 3帮助学生构建：区间上函数符号的判别的几种主要形式； 4通过知识与方法的梳理，用学生感受数学的内在美，培养归纳、小结的科学素养 5通过“导数、函数不等式”的学习，为用导数求解“恒成立”、求“方程的根”等问题，建构知识与方法模块 三教学流程 问题引入： 例2（08、山东、理）已知函数f (x)aln(x1)，其中n是正整数，a是常数若a1时，求证：当x2时，f (x)x1 证法一：当a1时，f (x)ln(x1)，构造函数F(x) (x1)f (x)，下证：当x2时，F(x)(x1)ln(x1)0恒成立F(x)1( x2)若n为偶数，x2，0，1x10，0，0，所以：当x2时，F(x)0F(x)minF(2)(21)ln(21)0，所以：当x2，且n为偶数时，F(x)(x1)ln(x1)0恒成立 若n为奇数，要证ln(x1)x1，x2，0，所以只需证：ln(x1)x1（下略）小结2：含有正整数“n”的表达式的符号、数值判断，“对n分奇、偶讨论”是一种重要的方法在数列中运用很多 证法二：当x2时，1，只需要证明1ln(x1)x1构造函数F(x) (x1)1ln(x1)，即F(x) x2ln(x1)，则F(x)(下略) 小结3：证法一是直接作“差函数”(直接构造新函数)，然后分奇、偶讨论；证法二是先适当放缩，然后构造新函数解题时，要有敏锐的观察力2 变形与整理直接构造新函数F(x)f (x)g (x)，来证明函数不等式f (x)g (x)时，目标是：F(a)min0，从而F(x)0，所以：f (x)g (x)但常常会出现下列几种异常情况：F(x)的符号无法判断，【F(x)的符号F(x)的单调性F(x)的极值】从而F(x)的极值无法求出；虽然F(x)的极值能够求出，但极值是关于参数a的表达式F(a)，无法判断极值F(a)是大于0，还是小于0；直接构造的新函数F(x)f (x)g (x)，其导函数F(x)非常复杂或根本无法求出出现这种异常情况，表明所构造的新函数F(x)，不适当这时，需要对“函数不等式”重新整理后，再构造新函数F(x),如题2注意下面的题目的求解方法 题3（09、江苏、模拟）求证：对于x（1，2）恒成立 证明：整理不等式有：(x1)lnx2(x1)0，下证：当x（1，2）时，不等式 (x1)lnx2(x1)0恒成立构造新函数F(x)(x1)lnx2(x1)，x（1，2） F(x)()，1x2，1，0，0()，()0，0()，所以：F(x) 0 函数F(x)(x1)lnx2(x1)，x(1，2)时为增函数，F(x)F(1)(11)ln12(11)0，即(x1)lnx2(x1)，x（1，2）时恒成立小结4：这里的F(x)的符号也不好判断，采取的二次函数的方法正是命题专家高明之处不要一味地“再导一次”本题也给出了“恒成立”问题的求解方法 题4（08、湖南、理）已知函数f (x)ln(1x)(1)求函数f (x)的单调区间；(2)若不等式e对意的正整数n都成立，求实数a的取值范围【注：“都成立”“恒成立”】 解：（1）定义域：x(1,)，f (x)ln(1x)，f (x)【注：此处的导函数f (x)的符号不能判断，需要“再导一次”，问题是：怎么样“再导一次”：分母(1x)0,其符号确定，所以只需要考虑分子的符号】构造新函数g (x)2(1x)ln(1x)x2x，g(x)2 ln(1x)2x2ln(1x)x0,【这是教材上的一个不等式，若不清楚，则“再再导一次”】所以：分子g (x)2(1x)ln(1x)x2x是定义域(1,)上的减函数且g (0)0当1x0时，g (x)0，从而：f (x)0，得：f (x)；当0x时，g (x)0，从而：f (x)0，得：f (x)；所以：f (x)ln(1x)f (0)0，即：(1x) ln(1x)x0小结5：（1）函数f (x)的单调性导函数f (x)的符号；（2）确定导函数f (x)的符号有两条途径：不等式f (x)0的解集区间，是函数f (x)的单调增区间，只需要解不等式f (x)0；当不等式f (x)0无法求解时，则再求导函数f (x)的单调性（有时：需要“再导一次”），且求f (0)的值如：f (x)在（2，）上是，且f (0)a，那么：在（2，0）上，f (x)a；在（0，）上，f (x)a专家常常把a设置为0】 （2）整理不等式e【两边取以e为底的对数】：(na)(1)1所以：问题转换为：不等式a恒成立，求实数a的取值范围等价于a的最小值 构造函数F(x)，x(0,1【注：理解为令x,则x(0,1】则有：F(x)，由（1）知：分子(1x) ln(1x)x0，所以F(x) 0，函数F(x)是(0,1上的减函数F(x)minF(1)1所以：实数a的取值范围是：(, 1 四课堂小结（略） 五练习（附详细解答）1（01、全国）已知m、n是正整数，且1mn,求证：2 (07、山东、理)求证:对于任意的正整数n，不等式都成立【数列不等式转化为函数不等式问题】3(09、汕头模拟)已知函数f(x)x(x1)4（09、武汉市二月）（1）求证：当a1时，不等式exx1axe|x|/2（xR)恒成立 （2）对于(0,1)中的任意一个常数a，问是否存在x0，使得不等式exx1axe x/2成立？若存在，求出符合条件的x，否则说明理由5（09、武汉、四月、调考、理20）已知函数f (x)2lnxx2（1）若方程f (x)m0在1/e，e内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（2）如果函数g (x)f (x)ax的图象与x轴交于两点A（x1,0)，B(x2,0)，且x1x2 求证：g (px1qx2)0（其中正常数p,q满足pq1，qp）6（09、湖北、文）已知关于x的函数f(x)1/3xbxcxbc，其导函数为f(x)令g(x)| f(x)|，记函数g(x)在区间1，1上的最大值为M(1)如果函数f(x)在x1处有极值4/3，试确定b、c的值；(2)若|b|1,求证：对于任意的c，都有m2；(3)若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值7（09、湖北、理）在R上定义运算：pq(pc)(qb)4bc(b、c为实常数)记f1(x)x2c，f2(x)x2b(xR)令f(x)f1(x)f2(x)(1)如果函数f(x)在x1处有极值4/3，试确定b、c的值；(2)求曲线yf(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点；(3)记g(x)| f(x)|(1x1)的最近值M若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值8（07、江西、理）已知正实数集上的函数f (x)x22ax，g (x)3a2lnxb，其中：a0求证：f (x)g (x) 六练习详解1（01、全国）已知m、n是正整数，且1mn,求证： 证明：2mn,且m、n是正整数，问题等价于：nln(1m)mln(1n)，问题等价于：构造函数F(x)（x2），则有：F(x)x2，分子中的01,ln(1x)ln31,所以：分子0【注：判断导函数符号的方法】，故有：F(x)0，函数F(x)（x2）是减函数当2mn时，F(m)F(n)，即：，也就是：nln(1m)mln(1n)，2 (07、山东、理)求证:对于任意的正整数n，不等式都成立【数列不等式转化为函数不等式问题】证明： 构造函数F(x)ln(x1)xx，x(0,1【理解为：令x,则x(0,1】则有：F(x)，显然：当x(0,1时，F(x)0，F(x)ln(x1)xx，当x(0,1时为增函数所以：F(x)F(0)ln(01)000，故对于任意的正整数n，不等式都成立小结5：求解函数不等式（含数列不等式）问题时，要“拾级而上”，充分运用第一问中的函数的结论如题4“（08、湖南、理）：已知函数f (x)ln(1x)(1)求函数f (x)的单调区间；(2)若不等式e对意的正整数n都成立，求实数a的取值范围”在证明第二问时，就应用了第一问的结论：f (x)在（1，0），在(0，),所以f (x)ln(1x)f (0)0并且，把这个不等式变形为：(1x) ln(1x)x0显然变形后的不等式：(1x) ln(1x)x0，在第二问的导函数符号判断时，至关重要】3(09、汕头模拟)已知函数f(x)x(x1)(1)令N(x)(1x)1ln(1x),证明：N(x)在x1上是单调递增的，并求N(0)的值；(2)求f (x)在定义域上的最小值；(3)是否存在实数m、n满足0mn,使得f (x)在m,n上的值域也是m,n 解：（1）当x1时，N(x)2(1x)0，所以：N(x)在x1上是单调递增的，且N(0)0；所以：在(1,0)上，N(x)0；在(0,)上，N(x)0【这一点十分重要，下面的问题求解，很有可能用到】 (2)由f(x)x(x1)，得：f(x)，由上面的结论知：在(1,0)上，f(x)0，f(x)；在(0,)上，f(x)0，f(x)所以：f (x)在定义域上的最小值f (0)0【真的用到了第一问的结论】 (3)由第二问的结论知：f(x)是0,）上的单调递增函数假设存在实数m、n满足0mn,使得f (x)在m,n上的值域也是m,n，则必有：f (m)m，且f (n)n即方程：f (x)x在0,）上有两个不等的实数根即方程：xx在0,）上有两个不等的实数根即方程：xx在0,）上有两个不等的实数根即方程： 0在0,）上有两个不等的实数根事实现上方程：0在0,）上仅有一个实数根：x0，矛盾所以：不存在实数m、n满足0mn,使得f (x)在m,n上的值域也是m,n4（09、武汉市二月）（1）求证：当a1时，不等式exx1axe|x|/2（xR)恒成立 （2）对于(0,1)中的任意一个常数a，问是否存在x0，使得不等式exx1axe x/2成立？若存在，求出符合条件的x，否则说明理由 （1）证明：先证x0的情况整理不等式有：a/2x(x1)/ex10 作函数f(x)a/2x(x1)/ex1，则f(x)x(a1/ex)a1，x0，f(x)0，所以：函数f(x)a/2x(x1)/ex1是0，）上的增函数 f(x)f(0)0，所以：a/2x(x1)/ex10成立 当x0时，整理不等式有：ax/2e 2 x(x1)/ex10 作函数g(x)ax/2e 2 x(x1)/ex1，则g(x)x/e 2 xex (x1)a， 又作函数p(x)ex (x1)a，p(x)ex a0，p(x)是(，0）上的增函数，p(x)p(0)1a0，又x/e 2 x0，g(x)0，所以：g(x)是(，0）上的减函数，g(x)g(0)0，所以：ax/2e 2 x(x1)/ex10 综合：、知：不等式exx1axe|x|/2（xR)恒成立 （2）假设存在x0，使得不等式exx1axe x/2成立，a(0,1)整理不等式有：a/2x(x1)/ex10，a(0,1)，x0 作函数t(x)a/2x(x1)/ex1，则t(x)x(a1/ex)a1，x0 令t(x)0，得极值点x10（舍去），x2lna0x，t(x)，t(x)的变化情况如下： x (0,lna) lna (lna,） t(x) 0 t(x) 极小值(最小值) t(x)mint(lna)(alna)/2a(1lna)1作函数K(a)(alna)/2a(1lna)1，则K(a)(lna)/20,K(a)是(0,1)上的增函数，所以：t(x)minK(a)K(1)a10， 所以存在xlna0，使不等式exx1axe x/2成立，a(0,1)5（09、武汉、四月、调考、理20）已知函数f (x)2lnxx2（1）若方程f (x)m0在1/e，e内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（2）如果函数g (x)f (x)ax的图象与x轴交于两点A（x1,0)，B(x2,0)，且x1x2 求证：g (px1qx2)0（其中正常数p,q满足pq1，qp）（1） 解：求导（定义域：x0）：f (x)2/x2x2(1x)(1x)/x x，f (x)，f (x)的变化情况如下： x (0,1) 1(1,）f (x) 0 f (x) 增 极大值 减 又f(1/e)21/e2，f(1)1，f(e)2e2，2e221/e21，其图象大致如下所以：当21/e2m1时，即：1m21/e2时，方程f (x)m0在1/e，e内有两个不等的实根 （2）证明：【求a】g (x)2lnxx2ax的图象与x轴交于A（x1,0)，B(x2,0)，且x1x2，2lnx1x12ax10，2lnx2x22ax20两式相减：a2(lnx1lnx2)/(x1x2)(x1x2)所以：g (x)2lnxx22(lnx1lnx2)/(x1x2)(x1x2)x【建立目标g (px1qx2)的表达式】g (x)2/x2x2(lnx1lnx2)/(x1x2)(x1x2)，g (px1qx2)2/(px1qx2)(px1qx2)2(lnx1lnx2)/(x1x2)(x1x2)2/(px1qx2)2(lnx1lnx2)/(x1x2)(px1qx2)(x1x2)2/(px1qx2)2(lnx1lnx2)/(x1x2)(12p)x1(12q)x22/(px1qx2)2(lnx1lnx2)/(x1x2)(qp)x1(pq)x2，【命题变换】(qp)x1(pq)x2(pq)(x2x1) 0，【qp,x1x2】所以只须证：2/(px1qx2)2(lnx1lnx2)/(x1x2)0，只须证：(x1x2)/(px1qx2)(lnx1lnx2)0令：x1/x2t，则0t1，下证：lnt(1t)/(ptq)0【引入新的函数】作函数u(t)lnt(1t)/(ptq)，0t1只须证：当0t1时，u(t)0恒成立等价于证明：当0t1时，u(t)max0u(t)1/t(ptq)p(1t)/(ptq)2（t1)(p2 tq2)/t(ptq)2 0【pq，0t1】，所以：当0t1时，函数u(t)为增函数，u(t)u(1)0，lnt(1t)/(ptq)0由上述等价性知：g (px1qx2)0 6（09、湖北、文）已知关于x的函数f(x)1/3xbxcxbc，其导函数为f(x)令g(x)| f(x)|，记函数g(x)在区间1，1上的最大值为M(1)如果函数f(x)在x1处有极值4/3，试确定b、c的值；(2)若|b|1,求证：对于任意的c，都有m2；(3)若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值 解：(1) f(x)x2bxc，由题设知：f(1)0，即12bc0 f(1)4/3，即：1/3bcbc4/3 解与，得b1，c1或b1，c3当b1，c1时，：f(1)(x1)0，f(x)单调减，无极值，所以舍去当b1，c3时，f(x)x2x3(x3) (x1)，x, f(x)，f(x)的变化情况： x（，3） 3（3，1） 1（1，） f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以，函数f(x)在x1处有极大值4/3，b1，c3 (2)|b|1,g(x)在区间1，1上的最大值为Mmax g(1)，g(1)，所以：2Mg(1)g(1)|f(1)|f(1)|12bc|12bc|(12bc)(12bc)|4b|4,所以：M2 (3) g(x)|f(x)|x2bxc|(xb)bc|，(1x1)若|b|1,由(2)知：M2 若|b|1，则Mmaxg(1)，g(1)，g(b),4Mg(1)g(1)2g(b)|12bc|12bc|2|b2c|(12bc)(12bc)(2b22c)|2b22|2，M1/2综合：M1/2，所以对任意的b、c恒成立的k的最大值1/27（09、湖北、理）在R上定义运算：pq(pc)(qb)4bc(b、c为实常数)记f1(x)x2c，f2(x)x2b(xR)令f(x)f1(x)f2(x)(1)如果函数f(x)在x1处有极值4/3，试确定b、c的值；(2)求曲线yf(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点；(3)记g(x)| f(x)|(1x1)的最近值M若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值 解：(1)由f(x)f1(x)f2(x)，pq(pc)(qb)4bc，f1(x)x2c，f2(x)x2b(xR)f(x)( x3c)( x3b)4bcxbxcxbc，则：f(x)x2bxc0的根为x1，得：12bc0 又