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(二)空间中的距离谢党培八种距离1.点点距离；2.点线距离；重点*3.点面距离；4.平行线线距离；5.线面距离；6.面面距离；难点7.两异面直线距离；以上几种距离最终转化为两点间距离求解。8.球面上两点距离：过两点的大圆的劣孤以上七种距离之间有密切的联系，有些可以相互转化。如两平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线的线面间距离或平行平面间的距离都可转化成点到面的距离。3.重点掌握点到面的距离的求法：常用方法三种：直线法：由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长，关键是找出这一垂线及垂足的位置。转移法：将该点转移到所求平面的一个垂面内，利用面面垂直的性质作两平面交线（常用）的垂线，此垂线垂直平面，从而将点到面的距离转化为点到线的距离。掌握指法：7.异面直线距离的求法：常用三种：（1）定义法 求分垂线段长 （2）转移法 转化为求直线与平面的距离 （3）函数相值法常用方法：（具体实施）直线法：作出要求的垂线段，再计算；关键：找出垂线的位置及垂足的位置。转移法：转移到更有利的位置上去处理；关键：如何转移（转化）及转化的依据。（多与平行有关）体积法：利用四面体的体积计算；等积代换。计算球面面积关键是求出两点在大圆上夹的劣弧所对的圆心角；三个重要环节，二作，作出所要求的距离，二证：证明所作为所求 计算：例1.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC，将其折成直二面角，求B、D两点间的距离。注意：翻折过程中的“变”与“不变”解 在平面图形中 ABCD为矩形AC为对角作DPAC于P，BEAC于Q则BQ=OP AB=3，BC=4AC=5DP=RtADC中，DPACCD2=CPCACP=AQPQ=5-2=RtBQP中，BP2=BQ2+QP2=+= 在空间圆形中面ADC面ABC，DPACPD平面ABC在RtDPB中DB2=DP2+BP2=+=|DB|=即BD两点间距离为例2.长方体AC1中，底面ABCD是边长为a的正方形，AA1=2a，求点B到平面AB1C的距离。关键找出经过点B垂直于平面AB1C的平面及高线在长方体AC1中解法1：连结DB交AC于O。 ABCD为正方形 BDAC且O为AC的中点 AB1=CD1， O为AC中点 BDB1O=O AC平面B1BO 又AC平面AB1C 平面AB1C平面B1BO交线为B1O 作BHB1O垂足为H 则BH平面AB1C的距离 BH为点B到平面AB1C的距离 RtB1BO中：OB= B1B=2a B1O= 又BHB1O=B1BBO BH= 点B到平面AB1C的距离为解法2（求体积法） 设B到平面AB1C的距离为h 在长方体AC1中，B1B底面为ABC1O为AC中点的B1AC VB1-ABC=VB-AB1C SABCh=SABCB1B h=例3.三棱锥S-ABC的底面是等腰三角形，AB=AC=17，BC=16，侧面BSC是等腰三角形，SB=SC，二面角S-BC-A等于60，求点A到侧面BSC的距离。借助垂面找垂足一取BC中点D，连结AD，SD则SDA为所求二面角的平面角，即60平面ADS平面SBC，作AHSDAH平面SBCAH有公共底边的两等腰三角形，辅助线常在公共底边中点处作解：取BC中点D 连结AD SDAB=AC ADBCSB=SC SDBC ADS为二面角S-BC-A的平面角ADS？CB平面SBC平面SBC平面ADS 交线为SD作AHSD垂足为HAH平面SBCAH为点A到平面SBC的距离ABC中 BC=16 AB=AC=17 D为CB中点BD=8AD2=AB2-BD2=172-82=152 AD=15又RtAHD中AHD=90ADH=60AH=ADsin60=15例4.正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为棱的中点，求点B到平面C1EAF的距离。可证：作BHAC1交AC1于H，BH平面AFC1EBH为所求距离，或用体积法关键找出经过点B垂直平面AFC1E的平面，注意图形特征。解法 在正方体AC1中，取AB的中点G 连EG，BC1 EFEF分别为A1B1，DC的中点 AFGE为菱形 FGABB1B平面ABCDEG平面ABCDEFABAFGE为菱形 EFAC1又AC1AB=AEF平面ABC1EF平面AFC1E平面AFC1E平面ABC1 交线为AC1作BHAC1垂足是为HBH平面AFC1EBH为点B到平面AFGE的距离RtABC1中BH=解法二 等体积法：连FB作EGAB于G，设三棱锥BAEF的高为h正方体A1C面A1B面AC EF面AC VE-AFB=VB-AEF等积法：连FB C1B的距离为即点B到平面C1EAFh=h=练习：已知长方形ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1 A1A=，求AB1与BC1间的距离（）例5.已：ABCD为边长是4的正方形，E、F分别为AB、AD中点，GC平面ABCD，GC=2，求点B到平面EFG的距离。解法1：如图（红）连结分别交AC于O KABCD为正方形，E、F分别为AB和AD的中点EFBD K为EF的中点BD平面EFG EF平面EFGBD平面EFGBD与平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离BDAC EFDBEFKCGC平面ABCDEFGC 又GCKC=CEF平面GKC 又EFC平面EFG平面EFG平面GKC交线为GK作OHGK垂足为HOH平面GCKOH长为点B到平面GEF的距离正方形ABCD中，AB=4，CG=2AC=4，OK=AC= CK=3 GK= RtGEK中，OH=解法2：延长CB交FE延长线M作BPME于P 连结MG作BNCG交MG于N连PNGC平面ABCD，BNCGBN平面ABCDBNEMBPEM BNBP=PEM平面BPN EM平面EFG作BHPN垂足为HBH平面EFB，BH点B到平面EFG的距离AB=4 CG=2BE=BM=2 BD= BN=RtBNP中BH=解法3（等体积法）连BG连BF，设B到平面EFG的距离为hVB-EFG=VG-EFBSEFGh=SBEFCGh=例6求棱长为1的正方体中，下列各组，异面直线距离（1）AB和CC1距离；（2）AB和B1C距离；（3）AB和B1D1距离（4）A1B和B1C距离（5）A1C和BD距离；（6）A1C和C1D1距离；作CEBD连AF结AG面C1DB O1O为所求。法二：作OO1A1C于O1A1BC面C1BD（6）连结A1DABA1B1，A1B1平面A1B1CDAB平面A1B1CDBCB1C，BDA1B1BO平面A1B1CDBO长即是B到平面A1B1CD的距离，即异面直线AB与A1C的距离A1CAD1 A1DAD1 AD1面A1DB1于O1 D1O为所求.AB与A1C间距离为例7 直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB=4 E、F分别是AB、PC的中点，求点B到平面DEF的距离延长DE交CB延长线于M，取PD中点G，连结AGFGF、G分别为PC、PD的中点FG=CD，FGCD又AEEB ABCD ABCDAEFG AEFGAEFG是平行四边形 AGEFPA平面ABCD 且PAAD平面PAD平面ABCD 且AGPD又CDADCD平面PADCDAGPDCDDAG平面PCDEFAGEF平面PCD 平面DEF平面PCD作CHDF于H，则CH平面DEFCH为点C到平面DEF的距离E是AB中点，ABCD ，ABCDB是MC中点C到平面MDE的距离是B点到平面MDE距离的2倍由已知PAAD4 CD4C到平面DEF的距离为 B到平面DFE的距离为解法2等积法作业：1在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2。求；（1）点A到BD1的距离（2）点B1到平面A1BC1的距离（3）直线B1D1到平面DBC1的距离2已知ABC和平面，并且，AB和平面平行点C在平面内，ACB135，AC和BC分别与成45角和30角，求AB与平面的距离。解（提示）：如图 作AA，BB，A和B为垂足。连结AC和BC，则AA和BB的长均表示AB到的距离。ACA45，BCB30，设AABBh。则，ACB135h216， h4即AB到平面的距离为4。3如图 ACAB，BC6，CABCBD90 CDB60，面ABC面BDC（1）求证：面ABD面ACD（2）求二面角ACDB的正切值（3）求AD和平面BCD所成角的正切值（4）求异面直线AD和BC所成角的正切值（5）求异面直线AD和BC的距离提示：（2）作AECB，垂足为E，且面ABC面BCD，高线为BC， 作EFCD于F，连，AFE为面角ACDB的平面角。（3）已证AE面BCD，连DE，则