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第三节 齐次线性方程组定理 n元齐次线性方程组Ax=0 一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S=x|Ax=0表示齐次线性方程组Ax=0解的全体，则集合S具有如下性质 ：（1） 若1，2S ，那么12S。即两个解的和还是方程组的解（2） 若S，kR，那么 kS。即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S构成Rn的一个子空间 。(二) 相关概念: 解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S是齐次线性方程组Ax=0的解空间。解空间S的任意一个基（即S的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数,其线性组合是方程的解, 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A是mn阶矩阵，且R(A)=r，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r个向量，即解空间S的维数dimS=n-r。 证明 (1)对矩阵A作初等行变换得到矩阵 ，两个方程组与是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r，利用矩阵的初等行变换将A化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有 称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于把上式改写为令分别取组数代入(4)可依次确定为从而得到的n-r个解 显然为齐次线性方程组Ax=0的n-r个线性无关解(3) 最后，证明Ax=0的任意一个解都可由线性表示。 设齐次线性方程组Ax=0的一个解为 由是齐次线性方程组Ax=0的解,故也是Ax=0的一个解,是方程的解故满足(3),即,即注 (1)理解系数矩阵的秩非自由变量、自由变量的个数、未知量个数、解空间的维数之间的关系（2）思考若，？（3）自由未知量是否有其它取法，若有注意什么（4）若将（4）写成基础解
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