第8章 常微分方程—8-5(二阶线性,常系数)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第8章 常微分方程,高等数学A,8.3 几种高阶微分方程的解法8.3.2 二阶线性微分方程的解法 8.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程,8.3 几种高阶微分方程的解法8.3.2 二阶线性微分方程的解法 8.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程,非齐次方程求线性无关的解 常数变易法,齐次方程求线性无关的解 降阶法,例题和习题,建立模型,常系数方程的定义和解法,模型求解与分析,几种高阶微分方程的解法,8.3.2 二阶线性微分方程的解法,8.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程,小 结,降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,例1,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例1,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,解上述可降阶微分方程,可得通解:,例2,的通解.,解:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,故原方程通解为,补充内容,可观察出一个特解,模型.,解:,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,由8.3.2的模型可知, 位移满足,常系数线性微分方程定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，,即,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,由求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,3) 特征方程有一对共轭复根：,是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为,由线性方程解的性质：,均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ),解的特征:,简谐振动,A: 振幅, : 初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,临界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,小阻尼自由振动解的特征 :,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.,大阻尼解的特征:,( n k ),1) 无振荡现象;,此图参数:,2) 对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,临界阻尼解的特征 :,( n = k ),任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2) 无振荡现象 ;,此图参数:,例4,例3,例5,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例4,例5,的通解.,解 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例6 求解初值问题,解 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,n 阶常系数齐线性微分方程,形如,的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，,n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,特 征 根,通 解 中 的 对 应 项,例8,求下列方程的通解：,