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德龙中学九年级补课学案 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0 例2当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意义 例3当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的0和中的x+10 例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值 第一课时作业设计 一、选择题 1下列式子中，是二次根式的是（ ） A- B C Dx 2下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D 3已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A5 B C D以上皆不对 二、填空题 1形如_的式子叫做二次根式 2面积为a的正方形的边长为_ 3负数_平方根 三、综合提高题 1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？ 3若+有意义，则=_4.使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值第二课时 教学内容 1（a0）是一个非负数； 2（）2=a（a0） 例1 计算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2 分析：我们可以直接利用（）2=a（a0）的结论解题 巩固练习 计算下列各式的值：（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 例2 计算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2分析：（1）因为x0，所以x+10；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20所以上面的4题都可以运用（）2=a（a0）的重要结论解题 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 第二课时作业设计 一、选择题 1下列各式中、，二次根式的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 2数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da=0 二、填空题 1（-）2=_ 2已知有意义，那么是一个_数 三、综合提高题 1计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x0）3已知+=0，求xy的值 4在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 理解=a（a0）并利用它进行计算和化简 例1 化简 （1） （2） （3） （4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a0）去化简 例2 填空：当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？ 分析：=a（a0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a0时，=，那么-a0 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么时候才能保证呢？a2，化简- 第三课时作业设计 一、选择题 1的值是（ ） A0 B C4 D以上都不对 2a0时，、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A=- B- C= 二、填空题 1-=_ 2若是一个正整数，则正整数m的最小值是_ 三、综合提高题 1先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3x2时，试化简x-2+。 （a0，b0），反之=（a0，b0）及其运用 例1计算 （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用（a0，b0）计算即可 例2 化简（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=（a0，b0）直接化简即可练习（1）计算（学生练习，老师点评） 32 (2) 化简: ; ; ; ; 例3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 第一课时作业设计 一、选择题 1若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ） A3cm B3cm C9cm D27cm 2化简a的结果是（ ） A B C- D- 3等式成立的条件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-1 4下列各等式成立的是（ ）A42=8 B54=20 C43=7 D54=20 二、填空题 1=_ 2自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_ 三、综合提高题 1一个底面为30cm30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 2探究过程：观察下列各式及其验证过程 （1）2=验证：2= （2）3=验证：3= 同理可得：4 5， 通过上述探究你能猜测出： a=_（a0）,并验证你的结论 =（a0，b0），反过来=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简 例1计算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b0）便可直接得出答案 例2化简： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的 例3已知，且x为偶数，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-x0且x-60，即60，n0） （2）-3（） （a0） 最简二次根式的运用 例1(1) ; (2) ; (3) 例2如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 例3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 第三课时作业设计 一、选择题 1如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对 2把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化简正确的是（ ）A=3 B=C=a2 D =x4化简的结果是（ ） A- B- C- D- 二、填空题 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_ 三、综合提高题 1已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 2若x、y为实数，且y=，求的值 二次根式的加减 例1计算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 例2计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 第一课时作业设计 一、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个 二、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_ 三、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27 运用二次根式、化简解应用题 例1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值 例2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度 例3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 作业设计 一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）（结果用最简二次根式） A5 B C2 D以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示） A13 B C10 D5 二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_m（结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）；（2）；（3）你会算吗？ （4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 例1计算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 例2计算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 例3已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可作业设计 一、选择题 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2计算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1 二、填空题 1（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若x=-1，则x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_ 三、综合提高题 1化简 2当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示） 课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A与 B与C与 D与 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式 练习：+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的 练习：把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4） 4其它材料：如果n是任意正整数，那么=n 理由：=n练习：填空=_；=_；=_二次根式例题精选【例题精选】：二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。分析：式子要在时，才被称为二次根式，即有意义，而取任意实数它均有意义，依据此概念，去解上述各题。解：（1）要使有意义，必须，由得， 当时，式子在实数范围内有意义。（2）要使有意义，为任意实数均可， 当x取任意实数时均有意义。（3）要使有意义，必须 的范围内。 当时，式子在实数范围内有意义。（4）要使有意义，必须 解得 当时，有意义。（5）要使有意义，必须使 解得且，取公共区间 当时，式子在实数范围内有意义。（6）要使有意义，必须 解得 当时式子有意义。小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？ （3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数3已知y=+5，求的值4若+有意义，则=_5. 若有意义，则的取值范围是 。6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1）(2)(3)(4)(5) (6)最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解：同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解： 分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。解：求值：例5：计算：分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解： （1）原式 小结：注意运算顺序如（2）切不可，作成，要先作括号内的加法，又考虑到除法又要颠倒相乘，因此也没有必要先分母有理化，又如（3）中各项的符号问题不能出错，所有这些地方都注意到了，才能得出正确结果。化简：例6：化简：分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。解：例7：化简练习：分析：依据公式来化简。解： 化简求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。解：小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式分解： 来源:学*科*网Z*X*X*K2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】2（x）（x）x42x23【提示】先将x2看成整体，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、综合应用：如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）2011年暑期初三数学补课作业一（二次根式）第一讲:知识回顾,平方根,算术平方根,立方根的理解和相关运算一、 知识结构：1、平方根、算术平方根、立方根的概念2、二次根式的化简及运算3、=5,则a= ；=5,则a= .二、 练习与巩固1、4的平方根是 ；4的算术平方根为 ；8的立方根是 ； 2、计算：2）= ；3、已知：，则的值为（ ）（A）8 （B）10 （C）14 （D）154、=（A） （B） （C） （D）5+25,的平方根是 ；的算术平方根是 ；6,的算术平方根是 ；的立方根是 。7,若是的立方根，则 ；若的平方根是6，则 。8,计算： ；9.若某数的两个平方根是与，则这个数是 ；10、先观察下列等式，再回答问题：=（1） 根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面个等式反映的规律，试写出用（为正整数）表示的等式。 第二讲: 二次根式定义题型一：二次根式定义及辨别一般地,我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，称为二次根号1下列式子中二次根式的个数有 （ ） ；.A2个 B3个 C4个 D5个2.有下列式子：；。其中一定是二次根式的是：_(只填序号)。3、下列式子一定是二次根式的有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 4、在，中，是二次根式的有： 。5、 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）6、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）A、 B、 C、 (a1) D、 7.有下列式子：；。其中一定是二次根式的是：_(只填序号)。8、下列各式： 、（a）、中的二次根式有 。9、在，中，是二次根式的有： 。10,下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）第三讲：二次根式的非负性一般地,我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，称为二次根号 a的非负性，即a0时二次根式在实数范围内有意义； 的非负性，即0 若互为相反数的两数都为被开数,则这两个数为0 两个非负数的和为零，则这两个非负数必须同时为零.例1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？例3、若，则 。例4、当x取_值时，的值最小。 练习11. x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：2若为二次根式，则m的取值为 （ ）Am3 Bm3 Cm3 Dm33当有意义时，a的取值范围是 （ ）Aa2 Ba2 Ca2 Da24当x_时，是二次根式5当x_时，在实数范围内有意义6.求使为实数的实数的值为_。7如果是二次根式，那么应满足的条件是（ ） A、2的实数 B、2的实数 C、2的实数 D、0且2的实数8.当x为_时，有意义；当x-1时，=_.9.当x取_时，的值最小，最小值是_；当x取_时，2-的值最大，最大值是_.10（2010年无锡）使有意义的的取值范围是（2010，安徽芜湖）要使式子有意义，a的取值范围是（2010绵阳）要使有意义，则x应满足(2010湖北省荆门市)化简=_已知，则的值为_11、x为任意实数时，下列各式中，一定有意义的是 （ ）A B C D 12、如果有意义，则x的取值范围是 （ ） A x3 B x3 C x3 D x313、若式子有意义，则x的取值范围是 （ ） A x1 B x1且x2 C x2 D x1且x214、能使式子有意义的实数有（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个6、15.当 时，在实数范围内有意义。16.若 有意义，则a的取值范围是_.17、如果 是二次根式，则x的取值范围是（ ）A、x2 C、 D、18、x_时，在实数范围内有意义.19若是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）Aa，b均为非负数 Ba，b同号 Ca0，b0 D20、使式子有意义的x的取值范围是_21若为二次根式，则m的取值为 （ ）Am3 Bm3 Cm3 Dm322当有意义时，a的取值范围是 （ ）Aa2 Ba2 Ca2 Da223当x_时，是二次根式24当x_时，在实数范围内有意义25、x_时，在实数范围内有意义.笫四讲：互为相反数作被开方数，则每个数均为01.已知2.如果，则=_。3.若a，b满足a= + + ，那么a2-ab+b2=_。4.已知x是实数，求的值；5.式子= _。6.若，则=_。7, (2010湖北省荆门市)化简=_8.已知，则的值为_第四讲：几个非负数之和为0，则每个非负数均为01若=0，则=_。2正数m，n满足的值。3如果求的算术平方根。4若+=0 求xy；5.如果+= 0，那么以a，b为边长的等腰三角形的周长是_。6.在ABC中，a，b，c为三角形的三边，则=_。7已知则以x,y为两边长的等腰三角形的周长是_.8.若0,求的值. 9.若+|2x+y-7|=0,则x,y的值是A. B. C. D.10.已知+=0，求的值.11、如果，那么等于 （ ） A 2006 B 2006 C 1 D 112.若a，b，c是三角形的三边，则.第五讲,观察与猜测1、观察下列运算，完成下列各题的解答：（1） 判断下列各式是否正确 （ ） （ ） （ ） （ ）（2） 根据上述判定结果你能发现什么规律？请你用含有自然数n的式子将你发现的规律写出来，并注明n的取值范围。（3） 请说明你发现的式子的正确性。2,.观察下列计算：计算结果中找出规律，用n（n为正整数）表示为_，并利用这一规律计算.3,观察下列各式： A: 猜想 ：_。 B：针对上述各式反应的规律，写出n（n为自然数，且n2）表示的等式，并给出验证过程。笫六讲：知识结构：利用=a(a0)1、计算 ；2、化简：= ；= ；（b是正数）= 。 = ；3、若7，则 ；4、已知实数在数轴上的对应点如图所示，则 ；5，若0，则 ； 6，若，则 7、根式的值等于（ ） A：-2 B：2 C：2 D：4 8.成立的条件是_9，当a_时，；当a_时，。10若，则_；若，则_。11把根号外的因式移入根号内，结果为_。12把-3根号外的因式移到根号内，结果为_。13把根号外的因式移入根号内，得_。14化简|-2|+的结果是_。15xy，那么化简为_16.求使为实数的实数的值为_。22)1()2(xx-17若1x2，则化简 = 18若=a-1，则a的取值范围是_ .19。把x根号外的因式移到根号内得（ ）.20计算的结果是（ ）A B 9 C3 D21若，则与3的大小关系是（ ） A B C D （ ）22计算的值是（ ） A、 B、0.14 C、 D、 23将中的根号外的因式移入根号内后为（ ） A、 B、 C、 D、 24计算的结果是_；25.当时,化简的值为_.26.若,则a的取值为_.27.若则128若则x的取值范围是_.29成立的条件是：ABCD30已知t1，化简得：ABC2D031下列各式中，正确的是：ABCD32下列命题中假命题是：A设B设C设D设33.当x为_时，有意义；当x-1时，=_.34当1x3时，| 1-x |+等于_35如果+=2,那么x满足的条件是_.第七讲:整数与整数部分小数部分1.若 是一个整数，则整数n的最小值是 。2、若 为正整数，则实数n的最大值是_.3 是整数，则正整数 的最小值是（ ）。4.已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值5的整数部分是_，小数部分是_。6 的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值是_。7.设4-的整数部分为，小整数部分为，则的值为_。8.已知的小数部分是，的小数部分是，求4b3a + ab7的值。9.若分别是的整数和小数部分,则求的值.10若的整数部分为，小数部分是b求：的值。二次根式的运算第八讲：最简二次根式1.把下列各式化简二次根式： （1） (2) (3) 2.下列二次根式中，最简二次根式是（）（A）（B）（C）（D）3.中属于最简二次根式为_.4.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A、 B、 C、 D、5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D 6.下列根式中,最简二次根式是( )A. B. C. D.7. 把化为最简二次根式得