有理数知识点总结与典型例题(人教版初中数学)

襄阳五中实验中学 我的新浪博客 有理数知识点目录有理数知识点目录 一 正数和负数一 正数和负数 2 考向 1 正数和负数的概念 2 考向 2 正数和负数的相反意义 2 二 有理数二 有理数 3 考向 3 有理数的分类 3 三 数轴三 数轴 4 考向 4 数轴的定义 5 考向 5 利用数轴比较两数的大小 5 四 相反数四 相反数 6 考向 6 相反数 6 五 绝对值五 绝对值 6 考向 7 求一个数的绝对值 7 考向 8 有理数的大小比较 7 六 有理数的加法六 有理数的加法 9 考向 9 有理数的加法 9 七 有理数的减法七 有理数的减法 10 考向 10 有理数的减法 10 八 有理数的乘法八 有理数的乘法 12 考向 11 有理数的乘法 12 九 有理数的除法九 有理数的除法 14 考向 12 有理数的除法 14 十 乘方十 乘方 16 考向 13 乘方的运算 16 十一 有理数的混合运算十一 有理数的混合运算 18 十二 科学计数法十二 科学计数法 18 考向 14 科学计数法 18 十三 近似数十三 近似数 19 考向 15 近似数 19 参考答案 参考答案 21 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 有理数知识点总结与典型例题有理数知识点总结与典型例题 一 正数和负数一 正数和负数 1 正数和负数的概念 比 0 大的数叫做正数 比 0 小的数叫做负数 0 既不是正数 也不是负数 0 是正数与负数的分界 0 的意义已不仅是表示 没有 说明 字母 a 可以表示任意数 当 a 表示正数时 a 是负数 当 a 表示负数时 a 是正数 当 a 表示 0 时 a 仍是 0 带正号的数是正数 带负号的数是负数 这种说法是错误的 例如 a a 就不能做出简单判断 正数有时也可以在前面加 有时 省略不写 所以省略 的正数 的符号是正号 2 正数和负数的意义 在同一个问题中 分别用正数与负数表示的量具有相反的意义 例如 零上 3 记作 3 零下 2 可记作 2 典型例题 考向 1 正数和负数的概念 1 下列各数 3 0 154 2 5 中 正数有 3 1 2 1 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 在 1 2 5 5 0 3 14 中 负数的个数为 3 4 7 5 A 3 个 B 4 个 C 5 个D 6 个 3 在 5 1 0 001 这四个数中 小于 0 的数是 2 3 A 5B C 0 001D 1 2 3 4 在 2 1 四个数中 与其余三个不同的是 2 1 4 3 A 2B C D 1 2 1 4 3 考向 2 正数和负数的相反意义 5 如果收入 80 元记作 80 元 那么支出 20 元记作 A 20 元B 20 元C 100 元D 100 元 6 若火箭发射点火前 10 秒记为 10 秒 那么火箭发射点火后 5 秒应记为 A 5 秒 B 10 秒C 5 秒 D 10 秒 7 如果 30m 表示向东走 30m 那么向西走 40m 表示为 A 30m B 30m C 40m D 40m 8 如果用 0 02 克表示一只乒乓球质量超出标准质量 0 02 克 那么一只乒乓球质量低 于标准质量 0 02 克记作 A 0 02 克 B 0 02 克 C 0 克 D 0 04 克 9 向东运动记作 向西运动记作 下列说法正确的是 A 5 表示向东运动了 5 米 B 向西运动 5 米表示向东运动了 5 米 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 C 5 表示向西运动了 5 米 D 向西运动 5 米也可以记作向西运动 5 米 二 有理数二 有理数 1 有理数的概念 整数和分数统称为有理数 正整数 0 负整数统称为整数 0 和正整数统称为自然数 正分数和负分数统称为分数 说明 由于整数可以看成是分母为 1 的分数 所以有理数可以用 是整数 p q qp 表示 只有能化成分数的数才是有理数 是无限不循环小数 不能0 q 写成分数形式 不是有理数 有限小数和无限循环小数都可化成分数 都是有理 数 2 有理数的分类 说明 有理数最终可分为 5 类 正整数 正分数 零 负整数 负分数 其他常见分类方法 例如 非正数 非负整数 非负有理数 非正数 不是正数 负数和零 非负整数 不是负的整数 正整数和零 非负有理数 不是负的有理数 正有理数和零 典型例题 考向 3 有理数的分类 1 0 这个数是 A 正数B 负数 C 整数D 无理数 2 3 不是 A 有理数B 整数 C 自然数 D 负有理数 3 下列说法中 不正确的是 A 有最小正整数 没有最小的负整数 B 若一个数是整数 则它一定是有理数 C 0 既不是正有理数 也不是负有理数 D 正有理数和负有理数组成有理数 4 下列各数中 是正分数的是 A B 2 C 0D 0 3 2 1 5 下面说法正确的是 A 有理数是整数 B 有理数包括整数和分数 C 整数一定是正数 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 D 有理数是正数和负数的统称 6 在有理数 3 0 3 7 中 属于非负数集合的个数为 3 2 5 8 A 4 B 3 C 2 D 1 7 下列说法正确的是 A 0 是最小的有理数 B 一个有理数不是正数就是负数 C 分数不是有理数 D 没有最大的负数 8 如图表示负数集合与整数集合 则图中重合部分 A 处可以填入的数是 A 3 B 0 C 2 6D 7 9 有理数 2 5 8 0 7 5 和 0 中 分数的个数有 2 3 4 1 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 思路点拨 根据分数定义 2 5 0 7 5 都是分数 所以共有 5 个 在 2 3 4 1 有理数中 除了整数就是分数 10 下列数 中 是有理数的有 51 0 2 3 0 7 22 87 0 1010010001 0 A 3 个 B 4 个C 5 个 D 6 个 三 数轴三 数轴 1 数轴的定义 规定了原点 正方向 单位长度的直线叫做数轴 说明 数轴是一条向两端无限延伸的直线 原点 正方向 单位长度是数轴的三要素 三者缺一不可 同一数轴上的单位长度要统一 数轴的三要素都是根据实际需要规定的 2 数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 正有理数可用原点右边的点表示 负有 理数可用原点左边的点表示 0 用原点表示 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来 但数轴上的点不都表示有理数 也就 是说 有理数与数轴上的点不是一一对应关系 如 数轴上的点 不是有理数 3 数轴的画法 画一条直线 在直线上任取一点表示 0 作为原点 规定正方向 通常向右 任取适当的长度为单位长度 注意数轴上每一个表示的长度必须一致 4 利用数轴比较两数大小 在数轴上数的大小比较 右边的数总比左边的数大 表示正数的点在原点的右侧 表示负数的点在原点的左侧 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 正数都大于 0 负数都小于 0 正数大于负数 两个负数比较 距离原点远的数比距离原点近的数小 典型例题 考向 4 数轴的定义 1 下列各图中 符合数轴定义的是 A B C D 2 如图所画的数轴正确的有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 考向 5 利用数轴比较两数的大小 3 如图所示 在数轴上点 A 表示的数可能是 A 1 5 B 1 5 C 2 6 D 2 6 4 数轴上表示 4 的点到原点的距离为 A 4 B 4 C D 4 1 4 1 5 如图 点 O A B 在数轴上 分别表示数 0 1 5 4 5 数轴上另有一点 C 到点 A 的距离为 1 到点 B 的距离小于 3 则点 C 位于 A 点 O 的左边 B 点 O 与点 A 之间 C 点 A 与点 B 之间 D 点 B 的右边 6 在数轴上到原点距离等于 2 的点所表示的数是 A 2 B 2 C 2 D 不能确定 7 如图 在数轴上点 A 表示 A 2 B 2 C 2D 0 8 如图 数轴上一点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B 再向右移动 5 个单位长度 到达点 C 若点 C 表示的数为 1 则点 A 表示的数 A 7 B 3 C 3 D 2 9 数 a b 在数轴上的位置如图所示 那么 A 0 a bB 0 b aC a 0 bD b 0 a 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 10 实数 a b 在数轴上的位置如图所示 则 a 与 b 的大小关系是 A a bB a b C a bD 不能判断 四 相反数四 相反数 1 相反数的定义 只有符号不相同的两个数叫做互为相反数 例如 a 与 a 其中一个叫做 另一个的相反 数 说明 相反数是成对出现的 相反数只有符号不同 若一个为正 则另一个为负 0 的相反数是它本身 相反数为本身的数是 0 在数轴上 离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数 2 相反数的性质 若 a 与 b 互为相反数 则 a b 0 即 a b 反之 若 a b 0 则 a 与 b 互为相反数 典型例题 考向 6 相反数 1 的相反数是 2 1 A B C D 2 1 2 1 22 2 一个数的相反数是 3 则这个数是 A B C D 3 1 3 1 3 3 3 如图 数轴上有 A B C D 四个点 其中表示互为相反数的点是 A 点 A 与点 D B 点 A 与点 C C 点 B 与点 D D 点 B 与点 C 4 如果 a 与 3 互为相反数 那么 a 等于 A B C D 33 3 1 3 1 5 化简 3 的结果是 A B C D 33 3 1 3 1 6 如果 a 与 2 的和为 0 那么 a 是 A B C D 2 2 1 2 1 2 7 若 x 与 y 互为相反数 则 x y 的值为 A 0 B 1 C 1 D 1 五 绝对值五 绝对值 1 绝对值的定义 一般地 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值 记作 a 2 绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数 a 0 也就是说绝对值具有非负性 一个正数的绝对值是它本身 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 即 如果 a 0 那么 a a 如果 a 0 那么 a 0 如果 a0 时 a b a 当 b 0 时 a bb 则 a b 0 若 a b 则 a b 0 典型例题 考向 10 有理数的减法 1 计算 2 3 的结果等于 A 1 B 1 C 5 D 6 2 计算 3 9 的结果等于 A 12 B 12 C 6 D 6 3 比 1 小 2 的数是 A 3 B 2 C 1 D 3 4 计算 3 6 的结果为 A 9B 3C 3D 9 5 有理数 a b 在数轴上的对应点的位置如图所示 则 A a b 0 B a b 0 C a b 0 D a b 0 6 计算 0 2 1 A B 2 C D 2 2 1 2 1 7 如图 数轴上 A 点表示的数减去 B 点表示的数 结果是 A 8 B 8 C 2D 2 8 请阅读一小段约翰斯特劳斯作品 根据乐谱中的信息 确定最后一个音符的时值长 应为 A B C D 8 1 2 1 4 1 4 3 9 a b 在数轴上的位置如图所示 则 a b a b a b 中 负数的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 10 已知 a b 两数在数轴上的位置如图所示 设 M a b N a b H a b 则下列各式 正确的是 A M N H B H N M C H M ND M H N 11 有理数 a b 在数轴上的位置如图所示 则 a b 的值在 A 3 与 2 之间 B 2 与 1 之间 C 0 与 1 之间D 2 与 3 之间 12 有理数 a b c 在数轴上的位置如图所示 则 a c c b b a A 2b B 0C 2cD 2c 2b 13 若 a 5 b 3 则 a b 等于 A 2B 8C 2 或 8D 2 或 8 14 若 x 4 y 2 且 x y x y 则 x y A 2B 2C 6D 2 或 6 15 计算 23 17 6 28 1121 15348 3737 12 37 22 315 2 12111 22421 23727 5 5 3 7 8 2 1 7 4 3 2 25 3 2 1 0 1 4 3 4 1 2 4 4 1 4 3 4 1 4 3 42 1 6 4 1 18 2 1 4 8 3 7 八 有理数的乘法八 有理数的乘法 1 有理数的乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任何数同 0 相乘 都得 0 说明 多个不为 0 的数相乘 负因数的个数是偶数时 积为正数 负因数的个数是 奇数时 积为负数 即先确定符号 再把绝对值相乘 绝对值的积就是积的绝 对值 多个数相乘 若其中有因数 0 则积等于 0 反之 若积为 0 则至少有一个 因数是 0 2 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数 其中一个数叫做另一个数的倒数 用式子表示为 a 1 a 0 就是说 a 和互为倒数 即 a 是的倒数 是 a 的倒数 a 1 a 1 a 1 a 1 说明 0 没有倒数 正数的倒数是正数 负数的倒数是负数 倒数等于它本身的数是 1 或 1 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 3 有理数乘法运算律 两数相乘 交换因数的位置 积相等 乘法交换律 abba 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 乘法结合律 bc ac ab 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加 乘法分配律 acab cb a 典型例题 考向 11 有理数的乘法 1 3 3 的结果是 A 9 B 0C 9D 6 2 计算 6 1 的结果等于 A 6B 6C 1D 1 3 计算 3 2 的值等于 A 6B 6C 6 D 1 4 若 x 2 3 则 x 的相反数是 A B C 6 D 6 6 1 6 1 5 若 a b 0 则 ab 与 0 的大小关系是 A ab 0B ab 0 C ab 0 D 以上选项都有可能 6 若 a b 0 且 ab 0 则 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a b 异号且负数的绝对值大 D ab 异号 且正数的绝对值大 7 a b 两数在数轴上的位置如图所示 下列结论中正确的是 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C ab 0D 以上均不对 8 已知 a 5 b 2 且 a b 0 则 ab 的值是 A 10 B 10 C 10 或 10 D 3 或 7 9 如图 数轴上 A B 两点所表示的两数的 A 和为正数B 和为负数 C 积为正数D 积为负数 10 已知 x 3 y 7 且 xy 0 则 x y 的值等于 A 10 B 4C 4D 4 或 4 11 已知 a b 都是有理数 a a b b 则 ab 是 A 负数B 正数 C 负数和零 D 非负数 12 已知在数轴上 a b 的对应点如图所示 则下列式子正确的是 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 A ab 0 B a b C a b 0 D a b 0 13 如果 a b 满足 a b 0 ab 0 则下列各式正确的是 A a b B 当 a 0 b 0 时 a b C a b D 当 a 0 b 0 时 a b 14 若 m n 0 则 0 2 nm A m n 都是正数 B m n 都是负数 C m n 中一正一负 且负数的绝对值较大 D m n 中一正一负 且正数的绝对值较大 15 已知三个有理数 m n p 满足 m n 0 n m mnp 0 则 mn np 一定是 A 负数B 零 C 正数D 非负数 16 有四个互不相等的整数 a b c d 且 abcd 9 那么 a b c d 等于 A 0B 8C 4D 不能确定 17 已知 a b c d 是互不相等的整数 且 abcd 6 则 a b c d 的值等于 A 1 或 1 B 1 或 5 C 3 或 1 D 不能求出 18 用简便方法计算 7 1 5 7 2 1 0 5 1 2 1 10 3 1000 11 14 13 19 48 6 1 4 3 36 1 12 1 2 382 6 382 2 382 7 4 6 7 4 41 2 7 4 59 3 九 有理数的除法九 有理数的除法 1 有理数的除法法则 除以一个不等 0 的数 等于乘以这个数的倒数 即 0 1 b b aba 说明 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的数 都得 0 2 乘除混合运算步骤 先将除法化成乘法 然后确定积的符号 最后求出结果 3 有理数加减乘除混合运算顺序 先乘除 后加减 有括号先算括号里的 4 重要等式 b a b a b a b a b a 典型例题 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 考向 12 有理数的除法 1 计算 1 5 的结果是 5 1 A 1B 1 C D 25 25 1 2 下列说法中 错误的是 A 零除以任何数 商是零 B 任何数与零的积仍为零 C 零的相反数还是零 D 两个互为相反数的和为零 3 下列说法正确的是 A 如果 a b 那么 a b B 若 a 是有理数 则 a 是负数 C 当 a 0 时 有 1 a a D a 的倒数为a 1 4 如果 那么 0 b a 0 c b A ac 0 B ac 0 C ac 0 D ac 0 5 如果 a 0 b 0 则下列各式正确的是 A a b 0B a b 0C ab 0 D 0 b a 6 若 m 3 n 2 且 则 m n 的值是 0 n m A 1 或 1 B 5 或 5 C 5 或 1 D 1 或 5 7 若 且 a b 异号 则 c 的符号为 0 c ab A 大于 0 B 小于 0C 大于等于 0D 小于等于 0 8 若 a b 0 则下列成立的是 0 a b A a b b 0B a 0 b 0C a 0 b 0D a 0 b 0 9 如果 bc 0 则 a 0 b ac 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0D 不能确定 10 已知 a b 在数轴上的位置如图 则下面结论正确的是 A a b 0B a b 0 C D ab 0 0 b a 11 有理数 a b 在数轴上的位置如图 那么的值是 ab ba A 负数 B 正数 C 0 D 正数或 0 12 若 abc 0 的最大值为 m 最小值为 n 则 m n 的值为 c c b b a a A 6 B 3 C 0D 6 13 若 ab 0 则的取值共有 ab ab b b a a A 1 个B 2 个 C 3 个 D 4 个 14 已知 abc abc 则 c c b b a a A 1 或 3 B 1 或 3 C D 无法判断 12 5 15 计算 4 1 8 5 5 2 24 9 4 4 1 227 3 4 1 1 2 1 3 5 3 2 2 1 2 1 4 7 4 1 2 5 4 7 2 1 5 2 1 3 4 4 3 8 1 1 十 乘方十 乘方 1 乘方的定义 求 n 个相同因数的积的运算 叫做乘方 说明 乘方的结果叫做幂 一个数可以看做这个数本身的一次方 2 在式子 为正整数 叫底数 叫指数 叫幂 n anan n a 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 3 乘方的计算方法 先确定幂的符号 然后再计算幂的绝对值 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 0 的任何正整数次幂都是 0 说明 1 的奇次幂是 1 偶次幂是 1 一个数的平方为它本身 这个数是 0 和 1 一个数的立方为它本身 这个数是 0 1 和 1 4 有理数的混合运算顺序 先乘方 再乘除 最后加减 同级运算 从左到右进行 如有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 典型例题 考向 13 乘方的运算 1 计算等于 2 3 A 9B 6C 6D 9 2 计算的结果是 2 3 A 9 B 9C 6D 6 3 的相反数是 3 2 A 6B 8C 8D 6 4 如果 a 的倒数是 1 那么等于 2049 a A 1 B 1C 2049 D 2049 5 计算 2 2 1 1 A 2B 0C 2D 1 6 下列各数中 为负数的是 A B C D 2 1 2 1 2 2 1 2 1 7 数学上一般把记为 A naB n a C D n a a n 8 下面一组按规律排列的数 1 2 4 8 16 第 2002 个数应是 A B 1 C D 以上答案不对 2002 2 2002 2 2001 2 9 ab ab ab 的积是正数 则 A ab 0 B ab 0 C a 0 b 0D a 0 b 0 10 观察算式 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 通过观察 用你所发现的规律确定的个位数字是 2011 3 A 3 B 9C 7D 1 11 一列数 其中末位数字是 3 的有 A 502 个 B 500 个 C 1004 个D 256 个 12 下列大小排列正确的是 A B 2 2 4 2 3 2 3 2 4 2 2 2 C D 4 2 3 2 2 2 2 2 3 2 4 2 13 n 为正整数时 的值是 1nn 1 1 A 2B 2 C 0 D 不能确定 14 有理数 m n 在数轴上的位置如图所示 则下列不等关系正确的是 A m n B n m C n2 m2D n m 15 如图 在数轴上有 a b 两个数 则下列结论中 不正确的是 A a b 0B a b 0C a b 0 D 0 3 b a 16 计算 3 3 131 2 3 32 3 32 2222 3 42 55 4 1 4 7 2 1322 2 4 6 332 20132 十一 有理数的混合运算十一 有理数的混合运算 1 计算 2 2 3 2 32 2 2 2 3 2 3 2 3 1 45 2 25 4 9 0 6 56 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 2 2 10 5 5 161 2 2 472 2 1122 2 2233 1997 1 1 1 0 5 3 22 32 3 2 23 42 1 1 1 0 5 2 3 3 2 32 1 0 43 4 81 2 25 16 9 2 1 5 4 1 0 2 2 5 666 5 3 7 3 12 3 777 2 2 3 3 3 1 3 1 23 122 3 1 6 293 2 2 1 2 2 1 0 2 3 3 3 2 5 1 5 5 24 0 34 11 1 0 25 2 7 5 8 4 0 125 168 十二 科学计数法十二 科学计数法 1 科学计数法的概念 把一个大于 10 的数表示成的形式 其中是整数数位只有一位的数 n 10a n 10a n 为正整数 这种记数的方法叫做科学记数法 1 a 10 说明 对于小于 10 的数也可以类似表示 例如 567 000 000 5 67 108 2 用科学计数法表示一个大于 10 的数时 这个数的整数位数 m 与 10 的指数 n 的关系 是 如果一个数有 11 位整数 10 的指数是 10 1nm 典型例题 考向 14 科学计数法 1 用科学记数法表示 927 000 正确的是 A 9 27 106 B 9 27 105C 9 27 104 D 927 103 2 2013 年我国 GDP 总值为 56 9 万亿元 增速达 7 7 将 56 9 万亿元用科学记数法 表示为 A 56 9 1012元 B 5 69 1013元 C 5 69 1012元 D 0 569 1013 襄阳五中实验中学 我的新浪博客 元 3 用科学记数法表示的数 2 89 104 原来是 A 2890 B 28900C 289000D 2890000 十三 近似数十三 近似数 1 近似数的精确度 近似数与准确数的接近程度 可以用精确度 四舍五入 表示 例如 3 1 精确到 0 1 或叫做精确到十分位 3 14 精确到 0 01 或叫做精确到百分位 说明 对于较大的数取近似数时 结果一般用科学记数法来表示 例如 256000 精确到万位 的结果是 2 6 105 2 有效数字 从一个数的左边第一个非 0 数字起 到末尾数字止 所有的数字都是这个数的有效 数字 说明 用科学记数法表示的近似数的有效数字时 只看乘号前面的数字 例如 3 0 104 的有效数字是 3 0 带有记数单位的近似数的有效数字 看记数单位前面的数字 例如 2 605 万的有效数字是 2 6 0 5 典型例题 考向 15 近似数 1 用四舍五入法按要求对 0 05049 分别取近似值 其中错误的是 A 0 1 精确到 0 1 B 0 05 精确到百分位 C 0 05 精确到千分位 D 0 050 精确到 0 001 2 由四舍五入法得到的近似数 9 978 106精确到 A 千分位B 千位 C 百分位 D 百位 3 今年泰州市初三毕业的人数大约为 5 24 万人 那么权威部门统计时精确到了 A 百分位B 万位 C 十分位 D 百位 4 近似数 0 0302 的有效数字个数为 A 2 个B 3 个 C 4 个 D 5 个 5 把 2456000 保留 3 个有效数字 得到的近似数是 A 246B