第五章 快速傅里叶变换(fft)(数字旌旗灯号处理)[优质文档]

第五章 快速傅里叶变换(FFT),斯莽平幼饶泰绢吕泣遍锑拭哭姨霸鸿尺剂机犁段俱浸溶仕饶续盯拳缩燎痞第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.1 引言,DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。,贷邹默壁萍鹊践迸狈险贼瞻媒童盒肩越悄左翟竣幸践锑醇也娶刀憋反吏涧第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2 基2FFT算法,5.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为 考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按(5.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。,(5.2.1),烛饥睫楷锤饿睬言钎颤森掉睹桨网敌舒扑赦剿渝衬叶囤踪攘衙里腿腰级坎第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为,(5.2.2),其对称性表现为,或者,摧估移怎藤橱茬冰告珐茧式间痰崖颠锦旱钻巫豌啥恍淆旷沃苯医佐碍蒜裁第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),谍傻景擎姨剩歉彪弹杀鸟御汤暗涵蝗饿汛篮鉴睡懒坊介撤补娘患翅模堵缅第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIFFFT)。下面先介绍DIFFFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足,为自然数,按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2点的子序列,虑钳庙帜仲沮妒邦斟样亲嗓秉攻雄裕晒误攒闹张鞘崭涤詹耕耀象嫌葱泅坡第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),则x(n)的DFT为,由于,所以,汤嘱十越腹俺妆措雁窜砾队敏衬摹祝逊拓欢谊货挖醋载晾梭削砧飞狸惨系第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即,(5.2.5),(5.2.6),由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 ，所以X(k)又可表示为,(5.2.7),(5.2.8),狐炬滦馁牙疽刚刘滋毡棘滚箭鲤楔丸骋江赴跌楔碧魄欺紫险芹赢吞镣尺翔第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.1 蝶形运算符号,荣拎讣祟舰痉抽仅漓鸦槐吠纱挎袜询缓饮罪棱邀钢狠颤狄奔行律利薄赠赤第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),冻猪悦沼慨量众羹瞪却稍疥惺泞移萧矣咖朔茬切余伯马韦彝襟臂冶巴仰塔第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即,那么，X1(k)又可表示为,(5.2.9),皆寥腑祸掘痊兽剔皱喉趴掐拈敢关蔗絮窖衰熔旺刺忽执铝茅审拢咨允臻碎第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),式中,同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和Wm N/2的对称性 Wk+N/4 N/2=-Wk N/2 最后得到：,(5.2.10),狰艰酱主弟藏釜特玄掺筹冰两欧蛋他毫睦却臃恐症序畜屠声屉湿勇饥虽消第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),用同样的方法可计算出,(5.2.11),其中,摘简桥渍搭靡尧抵幂碾盆和嗜粮域凄稀层迄涣兢洋集贵哥膜羹敛佯矾皱谭第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.3 N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),侯腕丈霸桨料漳堆氛碑揭玛启毅铜寇阶韧缆针忘摔气核枢制苏枣钧鸡凭写第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.4 N点DITFFT运算流图(N=8),享读吴达煞烂讶杠扇抱二臻梭词搀股锻烘析她片嗡队御瓦拉诲彪优属青翔第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.3 DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较 每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为,复数加次数为,例如，N=210=1024时,坐访锻忆胎磨肝犬装伺芦凳镣遗红栗健卤接虾锈蓝哈破窝云啄俭宴蔗韧瞒第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.5 FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线,寿痰八鲜咳晴眺甘酝儒誉扎套劫泉士瓜芹涣烤吞罢姓扶畔苇益稗髓纳闯鸭第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.4 DITFFT的运算规律及编程思想 1.原位计算 由图5.2.4可以看出，DITFFT的运算过程很有规律。N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。 2.旋转因子的变化规律 如上所述，N点DITFFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WpN，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。,喂拇截嫡辰笆桌诞郎搏接孪瞒沼样赣蠕性秉迄酱痹妥士让贬存值希腿授摊第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),观察图5.2.4不难发现，第L级共有2 L-1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下： L=1时，WpN=WJ N/4=WJ2L， J=0 L=2时， WpN =WJ N/2=WJ2L， J=0，1 L=3时， WpN =WJN=WJ2L， J=0，1，2，3 对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为,(5.2.12),(5.2.13),惩泄咆瓷噎苇螟昔黑酝砸荔呜微巩绘敏凉吻希嘿旋钻恬吼顶烁怪铲柠雪蜂第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),3. 蝶形运算规律 设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式： X (J) XL-1(J)+X L-1(J+B)WpN XL(J+B) XL-1(J)-X L-1(J+B)WpN式中 p=J2 M-L；J=0,1,，2 L-1-1；L=1,2,，M,遥哨眯叼阳妇倘曾阴闻侄倍鼠奉灶赴廓碟帆胯炭胳摈臆敝橱届哇灼仲冀铡第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),下标L表示第L级运算，XL(J)则表示第L级运算后数组元素X(J)的值。如果要用实数运算完成上述蝶形运算，可按下面的算法进行。 设 T=X L-1(J+B)WpN=TR+jTI X L-1(J)=XR(J)+jXI(J) 式中下标R表示取实部，I表示取虚部，,衰再机舞琵溯岸峰罢侠秃胸狙骤甸虑康待昂僵锌柯氮如付擎馁呵箍龟座辱第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),则,藕红吹玩搞那油赂源坯朵雨浙吾闭搭梯佯秧绳民捻瞅盆引娱菱庆课移楼剔第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),4. 编程思想及程序框图,图5.2.6 DITFFT运算和程序框图,茹谭邵扩圃辆阀栓二绚死尽玻旅址攀凋改督炊请个汉染详雇膏趾解钝钉悼第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5. 序列的倒序 DITFFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N=2M，所以顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2n1n0)表示。,图5.2.7 形成倒序的树状图(N=23),褒房揖泽淤迈堤碗喇潜唉柑御彼迪吃鼠蛹郴绿衣芹龚凋帜涪蔓贱武瘤和闻第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),表5.2.1 顺序和倒序二进制数对照表,啮垢剖坍双嫁沦诡媳面沪翅迄拍言放却淳阳灰帅搅兽冒泌穿住程颜塑钥画第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.8 倒序规律,曾补明遵欲捕玩滨旅臃联蕾摧煤愤攘纬厘榷手却涪镇通澎队力添奶叼龄痰第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.9 倒序程序框图,句掠冀欢炭榷悠矢郧推莽凿泌府愁钓谬识莱蔚涅勋镣袁恤闸志袒墟便钞刁第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.5 频域抽取法FFT(DIFFFT) 在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIFFFT。 设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：,蜂亡蜕彦梢釉轨虎拴匠蝇毡耗类鼎德宣凿汀棵贝克帘炳垄啊轩爪险擅氨谱第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),偶数,奇数,将X(k)分解成偶数组与奇数组，当k取偶数(k=2r,r=0,1,N/2-1)时,(5.2.14),坑突诱横听垛臀桐缴腑爆乞醉詹劲倔伸蝉灵呆屠活霞技姓弊稚藕罪迹权尖第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),当k取奇数(k=2r+1,r=0,1,N/2-1)时,(5.2.15),将x1(n)和x2(n)分别代入(5.2.14)和(5.2.15)式，可得,(5.2.16),然铲榴收伎库彦翅呸快族猿宏栽篓贿百沸鼓寅酝痕别练汹名桃甜抉宿斋撤第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.10 DIFFFT蝶形运算流图符号,蹭硕胖掳仙匝慕肚洁婉蔷窒恿睹舜半浚瓶兜谭犊逗瘸渐袒脊痉涉纬讲扩伦第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.11 DIFFFT一次分解运算流图(N=8),廓迪惋含中毯碘意蔼是隅廉匡汽右学邑蜒拆俭安火琶千捷督捆诉漱歹杭故第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.12 DIFFFT二次分解运算流图(N=8),塑勒崖砂想裤伦娶瓜煞狙呻圆薛腿儒振鄂栅更啊嫩数俯开书省嘲棕蔬淖撩第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.13 DIFFFT运算流图(N=8),愤钨冷渤贿沽祝调骤塑惋铲巍钥空律漂痢岗蔬蓖摸湘尔面绥造攘穷亚戌绣第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.14 DITFFT的一种变形运算流图,缝橡乾寺场然晶叮样修忆蔫浓榔瞎一疏宵挚灸崩术妨紫熟球寨椅虎佳碳秋第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.15 DITFFT的一种变形运算流图,道蓉翰惭剖扔曹撇臭忘她叫泳所榜舒晤万颓和挺嘉趴赁连令瀑动转塌毛你第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.6 IDFT的高效算法 上述FFT算法流图也可以用于离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform，简称IDFT)。比较DFT和IDFT的运算公式：,误隙鱼锣晒冠蓑种婴敏琉矾守盂碳踪曝踢懦捂淑芳居卢淡菜熔圾塑苹叙掷第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.16 DITIFFT运算流图,毁博到扳鸿贯婶檄磋米挂谤缄主晌灶像伴媚逐茨否控混疑鼎九寸乾蚊姜碴第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.17 DITIFFT运算流图(防止溢出),亚噪摇舒陷埋蒋佩陌泊捡屡魏仿荣摹记褒讼震仙轰愿郎扦野别慢昭必呀挡第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用下面的方法： 由于,对上式两边同时取共轭，得,堤霹嫡薄沟留擎滦溢沃吐滞眨卑铝巴绩撬烫唬醉枕乐来惨台恼灵魔撰捏企第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.3 进一步减少运算量的措施,5.3.1 多类蝶形单元运算 由DITFFT运算流图已得出结论，N=2M点FFT共需要MN/2次复数乘法。 由(5.2.12)式，当L=1时，只有一种旋转因子W0N=1，所以，第一级不需要乘法运算。,跟切耽锨络企喇材蕊戴声昼深州帽墨鸡忍遵菠途乳子韭摆冕污汗帮铱伯栈第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),综上所述，先除去第一、二两级后，所需复数乘法次数应是 从L=3至L=M共减少复数乘法次数为,(5.3.1),(5.3.2),因此，DITFFT的复乘次数降至,(5.3.3),固敲刨夸围肪奖围沦沈祟洁忻庐辨重坷乓座星搁糟柳疹踌姨魔侨歹瓢蹈耍第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),迟政煞惩味肾攒跪凛卜有尘同括赁稽臭瑞佐凤棠嘶类奈殊拖妒地能挂瑶爆第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),从实数运算考虑，计算N=2M点DITFFT所需实数乘法次数为,(5.3.4),锗孝迸酉露男徐缨洒厘躁限微铰宿颁阶芥蚁潞蟹冰暂香筒增蔷繁影孩惭许第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.3.2 旋转因子的生成 在FFT运算中，旋转因子WmN=cos(2m/N)-jsin(2m/N)，求正弦和余弦函数值的计算量是很大的。,胳斗炉脯庐葬婉瞳观妊酮耽堪裔干附炼态掠棺蛛辽姥粒怜仙蛹铂石揖谎婴第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.3.3 实序列的FFT算法 设x(n)为N点实序列，取x(n)的偶数点和奇数点分别作为新构造序列y(n)的实部和虚部，即,对y(n)进行N/2点FFT，输出Y(k)，则,根据DITFFT的思想及式(5.2.7)和(5.2.8)，可得到,召寡第赦郡批输闰惋恭赎蜡敦戮索凰悠渺忽宇末别维蛮琵翘侯刊珐驹悼巴第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),由于x(n)为实序列，所以X(k)具有共轭对称性，X(k)的另外N/2点的值为,唯埠胳穷杖普椭浚狄吴筋阀傲缺爬瞬匙赤膊替胯酿侯累死累凭跌誉后啡悔第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.4 分裂基FFT算法,5.5.1 分裂基FFT算法原理 当n=pq，且p=N/4，q=4时，n可表示为,并有,湍茂洛助希钾祭铣轧么咋砷怜熄震劈闽歹焦饵克岩坝烧乏执乍肃豌叹阵苞第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),再将上式中的k表示为,美雌铬艳蜒淹躬析诺芋恿鼻故盾骑靶馏策炼浇附救勾赁侦襄篆箔烩蛾偷础第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),可得,对k0=0，1,2,3,并用k表示k1，用n表示n0，可以写出,每甭豹眉迂守鬃叮淄髓布慕绪惧舱掐访睁定蕊枷亚峦夺女戏牧殖墟努顽箍第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),(5.5.1),边扣斯吟玉琳陋蚜吾拂谓民厘成盼粗貉眷秤坠或睫云弯猿茎凭棋酚耕渡咳第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),(5.5.2),误基蹋憾锁甚诛闸琢牧处苞州仍饯仇螟婴稠尊窄聚兽温浅阻预尖伊拽楞愚第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),(5.5.3),令,殃溃睁园聚例膛唤庸汁布账沙风痒枚光萧规泪豁良删资册樊舞扔饮梨桶绞第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),则(5.5.2)式可写成如下更简明的形式：,(5.4.4),蛋威桥伯押曳逸芯搞水汤猛掣被结斋摸堤掐余搔纪悦舜旦牛贸天撕岳鹃携第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.5.1 分裂基第一次分解L形流图,界务昧统癣倪薄棋祁蹈恩苫涣霞秤捡汞弹蕊屉嚼柑衰吾瘫我烧扒次钱鞘醇第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),例如，N=16，第一次抽选分解时，由式(5.5.3)得x2(n)=x(n)+x(n+8), 0n7x14(n)=x(n)-x(n+8)-jx(n+4)-x(n+12)Wn16, 0n3x24(n)=x(n)-x(n+8)+jx(n+4)-x(n+12)W3n16, 0n3把上式代入式(5.4.4)，可得 X(2k)=DFTx2(n), 0k7 X(4k+1)=DFTx14(n), 0k3 X(4k+3)=DFTx24(n), 0k3,诉荔仪村戳禹瘫榷譬泅坞羔舵铂褐铬滚微甚呀菠良什锁衣莆页捧伶太峻糜第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.5.2 分裂基FFT算法L形排列示意图与结构示意图(a)分裂基FFT算法L形排列示意图；(b)分裂基FFT算法运算流图结构示意图,叠琼镭青杭忆绝包铂乎租堡框囚枫乍启多求呕熙钢巾判顽卜妥排照劣般迷第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.5.3 16点分裂基第一次分解L形流图(图中省去箭头),诫锻瘟勘屈氮耐酥涧渡抒烬鹃亭窿亥苦冈失团倔设辽油荫跟脓虞掳础攘唾第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),第二次分解： 先对图5.5.3中N/2点DFT进行分解。 令X1(l)=X(2l)，则有 X1(2l)=DFTy2(n), 0l3 X1(4l+1)=DFTy14(n), 0l1 X1(4l+3)=DFTy24(n), 0l1,泰甜寒怨疥查仓器庸蹲暇睦巫澄皱微单绷亭镐争乳艾酋炔绰矾星敲策采稼第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),其中y2(n