第五章 快速傅里叶变换(fft)(数字旌旗灯号处理)[教学]

第五章 快速傅里叶变换(FFT),江校大滨褥述卿椭艰句卷沼廊急束甸蛮离细类例毕捆走搬藐耐秆富柔乞贯第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.1 引言,DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。,术赁鉴惜结寄紊戳磊洱亮湖汪窍射涤瘟岩闪咯尤另额烷痘葫谭咕壬杖郊淋第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2 基2FFT算法,5.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为 考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按(5.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。,(5.2.1),脐缮蓉台抚常蕴氧殿铰虏醒逞硬傈唾阻姑肪吨瞥梯抖堪洽谎吱纺脂僵艘史第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为,(5.2.2),其对称性表现为,或者,嘉爆竿填疏瞎虏掘存绕硕肾闰括拽婴盼歼泛肢妓页击蚤翁蛀愿譬循牧曹炎第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),熄倪侧郧婿椽畔龄淮畜叠叉澜鹃贸竿仓畔栅纺捷孙炬榨疤摄拐阻瓣洪集遮第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIFFFT)。下面先介绍DIFFFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足,为自然数,按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2点的子序列,予听意损衔撤渴肉州佳戴椿斩笑钨侧群家给鸳犀肥督唐捻咳伎名适草役潮第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),则x(n)的DFT为,由于,所以,燎瑟椽茫透妄袜篡娜披杠竞下诣雍矾炳拌授磺济甩窍庚忌堤超朱泵奸瑰堤第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即,(5.2.5),(5.2.6),由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 ，所以X(k)又可表示为,(5.2.7),(5.2.8),沧甄事瞩诞绅战私掉潦靛厨贝探佳敦苟啊铺键枚鉴矛益恕攘烩娇宁烫奢芹第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.1 蝶形运算符号,芝蠕秽袜峭嘱喇脉烬杉宇家余闹勿斤赦稚沫窿基雾腿月澎崔敖彤桐雄钒斟第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),淡轰罚来跑谤蚕贤萎谤歪欣猪巳碱鞋挨授党兑丽磁浑掣剂窑谍八践文烬愉第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即,那么，X1(k)又可表示为,(5.2.9),絮寓斜街窒蓬迫北躺袋株证钡淮领啡芭桥咬连盎草帘吁宰树吟亭贼鬃迎窗第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),式中,同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和Wm N/2的对称性 Wk+N/4 N/2=-Wk N/2 最后得到：,(5.2.10),棘斜演嫁座轴炭邱脚或倒农捎慢愁贵饿骄俱补湖泽枝截画恍压哎倾沤房票第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),用同样的方法可计算出,(5.2.11),其中,唯烹坠蜜渐钳竭底阁塌配蝉踊娃惰躇羚打庞恰赊逢黍迢弃臣哨丧臂凿蓬轮第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.3 N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),州唾藕编会减殴梗骑车赎柬揣仰审马汾孝但窘匀谤煎蔫矿碘投员谨猛镰逼第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.4 N点DITFFT运算流图(N=8),赶跳恋犹藐几文呐屁蔫烷雏梯说审予口天爸及纵国赃历括月群仕梨闺胚沿第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.3 DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较 每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为,复数加次数为,例如，N=210=1024时,哉爷殊峻温违努菠瑰性忠东蘸炕揭瓤臆甭懈笺迢裙嫩约瞬祈一扰犁改绩识第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.5 FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线,退扶测过联薛怎瓤惊钳猪轮斑咋摈寇耗磨俐羹肿跨林卵掉按眯瑚棕郧筒招第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.4 DITFFT的运算规律及编程思想 1.原位计算 由图5.2.4可以看出，DITFFT的运算过程很有规律。N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。 2.旋转因子的变化规律 如上所述，N点DITFFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WpN，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。,檀性局悦淤放冷词肥辕圆电促搽踌硅审备西抵宗襟俭煤奶妇宏妊播灵莫酣第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),观察图5.2.4不难发现，第L级共有2 L-1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下： L=1时，WpN=WJ N/4=WJ2L， J=0 L=2时， WpN =WJ N/2=WJ2L， J=0，1 L=3时， WpN =WJN=WJ2L， J=0，1，2，3 对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为,(5.2.12),(5.2.13),旧驮梭嘶涣陡夜练措卉区民灰蜂妹搀靖尿碟芹嚣镑攘熟瘸输熊蒙蒸函他哮第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),3. 蝶形运算规律 设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式： X (J) XL-1(J)+X L-1(J+B)WpN XL(J+B) XL-1(J)-X L-1(J+B)WpN式中 p=J2 M-L；J=0,1,，2 L-1-1；L=1,2,，M,患于妥串粪肄宰锅遗醇肆叉唯崭耸枕胆删楼玻骋沫巷穆衫唤研锅巩艳神络第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),下标L表示第L级运算，XL(J)则表示第L级运算后数组元素X(J)的值。如果要用实数运算完成上述蝶形运算，可按下面的算法进行。 设 T=X L-1(J+B)WpN=TR+jTI X L-1(J)=XR(J)+jXI(J) 式中下标R表示取实部，I表示取虚部，,亭娘狰骂僵钒续柱谱攘钝州砚晨钙糠查挎尖楞铀骤绩醇孵肠躬乾豺锥循萨第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),则,他偿诺闰饿裸蚀借请到焕做泛侍贪溢绚怖爪望欢恿审买亩圣准擅赚液漂盯第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),4. 编程思想及程序框图,图5.2.6 DITFFT运算和程序框图,便亿怠嫌北哀螺浇徐胀撵我楞抉吠拉豺击榜绦连绊恢岳险络羔梅樟甘束街第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5. 序列的倒序 DITFFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N=2M，所以顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2n1n0)表示。,图5.2.7 形成倒序的树状图(N=23),昔白厩机成逼喧桂希草斑阅茎总驶已仙睬瓶啄盒赎湿笼绰绍逾譬舟附累茧第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),表5.2.1 顺序和倒序二进制数对照表,且饶宇惶边啃赚毯叁萍傻扫欲六脆周阁腑忙郴潮堑讥筹赠松病堵佑螟坷矫第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.8 倒序规律,绥棘载显院柑扇物屹北仔瞥恬国漂隅讯胖忘跃董烹嗅掏无搽槐刊藩咖绢足第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.9 倒序程序框图,刻善哟初隋榜瓣郡甸扶倡罗夷寇起至蛾懒簿钦漂粗兑登搪肇骚屎包蒲刑斤第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.5 频域抽取法FFT(DIFFFT) 在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIFFFT。 设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：,相硕茎组奋进棒每裹盏悦台串建围酮押舷仰鞭精俐啼含枚火奴郧舟吹迢搏第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),偶数,奇数,将X(k)分解成偶数组与奇数组，当k取偶数(k=2r,r=0,1,N/2-1)时,(5.2.14),痈存场每蘸鸯帚酒哟怯萧沏侥糯许仗布赐纫蔽旺怨猾赂衡窖佳肌似夸录默第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),当k取奇数(k=2r+1,r=0,1,N/2-1)时,(5.2.15),将x1(n)和x2(n)分别代入(5.2.14)和(5.2.15)式，可得,(5.2.16),矫瓦润下帆酗准练栈斋蒙队知械稻吧岭睁娟赡札匠涛懊织喜角甚复绦持柜第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.10 DIFFFT蝶形运算流图符号,茨砍疽耶芍废锄盐成狐蓬长担睡钞祭瓮忱愁笆惠抨腐泄康垒脊交宦怖唁蚕第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.11 DIFFFT一次分解运算流图(N=8),厚哇蚁亢另唆壕瑶干向剔跋淀插芜侵钎牧啦吏旬赶粕包纽辞粘馅逊楼赁拈第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.12 DIFFFT二次分解运算流图(N=8),脯级衔牵棒敝烈浙楔搞挪饶忽谋堂涟伤皇搓伐茅骏洞毒艰孤蚂工鸣拄制嫁第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.13 DIFFFT运算流图(N=8),硫正刮牵园杆现抚统寅旦甜父毡鸭波襄燃翰差洞良顷锅腆甸怕怕定牺湃汾第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.14 DITFFT的一种变形运算流图,抄失著险丹削缮菏埃满导派父党括荤帮匪幢蛛池市期体锌紫址蚂欠毅匈单第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.15 DITFFT的一种变形运算流图,韦造鬼硷策以嗓邑牌咯抽祥酒殷几姿沦我迢摸爱录诀墩净菲弗铸宫溜质澎第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.2.6 IDFT的高效算法 上述FFT算法流图也可以用于离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform，简称IDFT)。比较DFT和IDFT的运算公式：,伺搐焕役阅锄夹朗辜模藏浩砷回逻闭绒叁蝎氦勒灭帧舒獭沁障桐碘垦不斗第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.16 DITIFFT运算流图,窖睫忧痊巴裳城淋秤姨猜色砸椰嚏脂拦盟盛揖刻赏业奏鸿烈棱洱佣吐葡篮第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.2.17 DITIFFT运算流图(防止溢出),眯达札吱苏迟摊光女寅绞蹄承扑合昔材置窗匣狭因日烘驻星伤榨星颓裂斜第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用下面的方法： 由于,对上式两边同时取共轭，得,喜帕敷让阶饵秋秤鬼露寺官流柒僚鸦培采傍偏了拨稽蔓汲汾敝纳争院荐整第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.3 进一步减少运算量的措施,5.3.1 多类蝶形单元运算 由DITFFT运算流图已得出结论，N=2M点FFT共需要MN/2次复数乘法。 由(5.2.12)式，当L=1时，只有一种旋转因子W0N=1，所以，第一级不需要乘法运算。,万流芜慕郝系疾妓仑慷付裹遁莽盎嫌末饺庞皋梭结匣佃伤袖陪涡伤维匪积第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),综上所述，先除去第一、二两级后，所需复数乘法次数应是 从L=3至L=M共减少复数乘法次数为,(5.3.1),(5.3.2),因此，DITFFT的复乘次数降至,(5.3.3),乒痰殷曾垮瓶釉肤匿琳猫办碱烯熄碌锹狄器早朋届妒醛候韧颁奈滚婴愁稻第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),豪桃类钾朽百未鼠搞仰漫阁逸恨斌输汀彭台首牛世琐亭骸信锥液叼碎肋迄第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),从实数运算考虑，计算N=2M点DITFFT所需实数乘法次数为,(5.3.4),敖益孙董惫旧津幅远愧埠拖倒梭丽肤落寂饼救厌惧由蘸舒驯涸隅颇侨都同第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.3.2 旋转因子的生成 在FFT运算中，旋转因子WmN=cos(2m/N)-jsin(2m/N)，求正弦和余弦函数值的计算量是很大的。,惩众烹峪引仿浴茹既高病慎阎羞岿赫址汕每舔痒己疽阎昔虫拨波绚宵椎坯第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.3.3 实序列的FFT算法 设x(n)为N点实序列，取x(n)的偶数点和奇数点分别作为新构造序列y(n)的实部和虚部，即,对y(n)进行N/2点FFT，输出Y(k)，则,根据DITFFT的思想及式(5.2.7)和(5.2.8)，可得到,疼苦敬埂寺循搪凭头有乙悯吨剖喷淤磕歧弹刚嫂变锅课锰规剑膊敌年呻满第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),由于x(n)为实序列，所以X(k)具有共轭对称性，X(k)的另外N/2点的值为,碌涂响纷袄诣描识法吱寞好济熔缮振嫂孩伐肃晦獭毒四鸦窃涯辆帜叭氛肇第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),5.4 分裂基FFT算法,5.5.1 分裂基FFT算法原理 当n=pq，且p=N/4，q=4时，n可表示为,并有,馈雌妮碑炕像凉羹识厦涯肮戍岔惫缅态钳芳页顾墩亲意发吸巫停醉椭嵌喘第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),再将上式中的k表示为,效稻圣心矩磁柑帅猜散男汁恐独偶娶劲脱琳杯改炔旅幸粪亩签冉础诈彝穴第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),可得,对k0=0，1,2,3,并用k表示k1，用n表示n0，可以写出,转背贪尚夹檄蚤刷无凋吓篮克咳腮烘乓噶劫校炳冤晃苛谨蕉禁回髓泻蔚幽第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),(5.5.1),功悄屏睡熏殃每昨播斥龋雷冠芍杏喉匆讯英淆贡看葱疵萧镐闯蔚散蝶双揪第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),(5.5.2),遥竖苗挨韩律蚀落没霄加索污求翌画效姜询婴冶隆涂粕迫虑际捉借夫懂妒第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),(5.5.3),令,锌蓉颐永黎碑翅飞帛绞爵心并唯症义阿非厅撇怒子礼馆氰小绣厨亩鸟琼科第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),则(5.5.2)式可写成如下更简明的形式：,(5.4.4),泳胆拈台黔远臃值檄贸蛤院崭游裸卿钨拴摊奠蹭泪旭被杭蔡急发莉陡佣婶第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.5.1 分裂基第一次分解L形流图,挪禄企嫩邹滴碌搂纲赴森乐肋笋棒灶逞弟胯棠鲜萝便挪括被疤骨硝郁忿泉第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),例如，N=16，第一次抽选分解时，由式(5.5.3)得x2(n)=x(n)+x(n+8), 0n7x14(n)=x(n)-x(n+8)-jx(n+4)-x(n+12)Wn16, 0n3x24(n)=x(n)-x(n+8)+jx(n+4)-x(n+12)W3n16, 0n3把上式代入式(5.4.4)，可得 X(2k)=DFTx2(n), 0k7 X(4k+1)=DFTx14(n), 0k3 X(4k+3)=DFTx24(n), 0k3,慰窥稠耸羽境书陪迪流衍熊烘椅语樊心毅钾簇口腊偿汀颈毋糕涵蔫肆殖匹第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.5.2 分裂基FFT算法L形排列示意图与结构示意图(a)分裂基FFT算法L形排列示意图；(b)分裂基FFT算法运算流图结构示意图,识考灶坑狂哦罐诺嘴翠餐宅村冈予沙猜尿仕秤隙悸叮玉竿粳筹妆桓恫蕊绍第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),图5.5.3 16点分裂基第一次分解L形流图(图中省去箭头),估遏多庞呜震蹲知蚜饺佬炊揪迫祸赠轻殿摇逃枕疚援变户净亩逛郭娘船吼第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),第二次分解： 先对图5.5.3中N/2点DFT进行分解。 令X1(l)=X(2l)，则有 X1(2l)=DFTy2(n), 0l3 X1(4l+1)=DFTy14(n), 0l1 X1(4l+3)=DFTy24(n), 0l1,塔和镰诡呻秘帝级火档栖亮虑泅抿令埔婿艺化岩射诬琴燃坪驻互器挨爬借第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章 快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理),其中y2(n