基于非线性预报-校正内点法的电力系统.doc

基于非线性预报-校正内点法的电力系统无功优化研究吴 锴（天津市电力公司城西供电分公司 天津 300113）A NONLINEAR PREDICTOR-CORRECTOR INTERIOR POINT METHOD FOR REACTIVEPOWER OPTIMIZATION IN POWER SYSTEMABSTRACT The predictor-corrector technology is applied to nonlinear primal-dual interior point method and a longer iteration step can be obtained by use of the improved nonlinear predictor-corrector primal-dual interior point method than pure primal-dual interior point method, so the convergence can be speeded up. Using the improved method for power system reactive power optimization a large number of inequality constraints in the objective function can be effectively dealt with. The simulation results from four test systems, i.e., IEEE14-bus system, IEEE 30-bus system, IEEE 57-bus system and IEEE 118-bus system, show that the improved algorithm possesses fast convergence speed and good robustness.KEY WORDS Power system；Reactive power optimization；Predictor-corrector interior point method；Nonlinear primal-dual interior point method摘 要 在非线性原-对偶内点法的基础上引入了预报-校正技术，使改进后的非线性预报校正内点法获得了较纯原-对偶内点法更大的迭代步长，从而加速了算法的收敛。应用该方法求解电力系统无功优化问题时能有效处理目标函数中的大量不等式约束。IEEE 14 节点、IEEE 30 节点、IEEE 57节点和IEEE 118 节点系统的仿真结果表明，该算法收敛快、鲁棒性好。关键词 电力系统；无功优化；预报-校正内点法；非线性原-对偶内点法1 引言电力系统无功优化问题在数学上是一个多变量、高维数、多约束、离散和连续变量共存的非凸、非线性规划问题，可利用逐次线性规划法、逐次二次规划法、非线性规划法、牛顿法等来求解1,2。但这些方法收敛较慢，而且对不等式约束的处理都不太理想，甚至可能出现数值稳定问题。1984 年AT&T贝尔实验室的印度数学家Karmarkar 提出了一种新的内点法，该算法的速度极快，引起了优化问题研究领域大批学者的关注。1991 年Clements 首先将内点法用于求解电力系统状态估计问题，此后，内点法在电力系统优化运行中得到了广泛应用。文献3将线性内点法应用于大规模电力系统的优化问题，求解了巴西一个1832 节点和北美一个3467 节点系统的无功调度问题。文献4应用原对偶仿射尺度内点法求解无功优化问题，该方法属于线性规划法的范畴，需将目标函数和约束条件线性化。文献5,6用二次内点法求解无功优化问题，保留了目标函数的非线性特性，但约束条件仍需线性化。由于无功优化问题本身具有强非线性特性，因此无论其目标函数还是约束条件线性化后必然引起误差。文献7比较了应用线性和非线性内点法求解无功优化问题的执行效果，并指出非线性内点法的优化效果优于线性内点法。因此，近年来人们都致力于非线性内点法的研究。文献8将同伦方法与非线性内点法相结合，成功求解了几种极端情况下的无功优化问题，但由于引入了同伦变量，故算法的计算用时较长，几乎为内点法的2 倍，而且只在小型系统上验证了方法的有效性。随着互联电网规模的扩大，对大型电力系统全局无功优化算法的计算速度和收敛性的要求也越来越高。本文所采用的非线性预报校正内点法将问题的求解分成预报和校正两个阶段进行，首先在预报阶段求出仿射方向，然后在校正阶段对其进行校正从而得到牛顿方向。该算法能获得较大的迭代步长，具有良好的收敛特性和鲁棒性，近年来深受人们的青睐。本文将该算法应用于电力系统的无功优化，仿真结果表明了该算法的有效性和实用性。2 无功优化的数学模型电力系统无功优化问题的数学模型可表示为： (1)式中，X为包括控制变量和状态变量的N维列向量；N为变量数目；目标函数为全系统网损f(x)最小。其中式中：n为系统节点数目，表示节点与节点之间有线路相连；、分别为节点、的电压幅值；为节点、之间的电导；为节点、的电压相角差。为等式约束，即潮流平衡方程 (2-5)（=1,2,n）式中：、分别为节点处的发电机有功和无功出力，若该节点未接发电机则其值为零；、分别为节点的有功和无功负荷，若该节点处无负荷则其值为零；为节点处的无功补偿装置的无功输出，若该节点处没有无功补偿装置则其值为零；为节点，之间的电导，为节点，之间的电纳。本文考虑的不等式约束条件有：发电机节点无功出力的约束，STATCON的电流幅值约束，电容器电纳的约束，节电电压幅值的约束，可调变压器变比的约束，各支路传输功率约束，不等式约束表示如下： 个 个 个 (4-3) n个 个 个本文的主要目的是突出优化算法，因此对离散变量未做像文献9那样的特殊处理，而是仍将离散变量当作连续变量处理。3 预报校正内点法预报校正内点法的思想是由Kojima、Mizuno和Yoshise于1989年提出的，后来Mehrotra对该方法做了大量研究并在1992年取得成功。与原-对偶内点法相比该算法在每次迭代中只增加了一次前代回代计算，但可以明显减少收敛次数，优化速度明显提高。1994年Wu等10首次将该方法应用于求解电力系统最优潮流问题。预报-校正内点法获得成功应用的关键是：将增加了高阶信息的牛顿系统分两步来计算，第一步是预报，得到仿射方向；第二步是校正，得到校正方向，从而使牛顿方向可以高阶近似逼近中心路径。两步计算用的是同一个系数矩阵，只需进行一次因子化，与常规内点法相比只在每步迭代增加了一次前代回代计算。引入松弛变量，为全部不等式约束的个数，将式(2-1)中的不等式约束转化为等式约束，并将目标函数改造为障碍函数，可得： (4-4) 式中，为扰动因子（或称障碍参数）。显然，式(4-4)是只含等式约束的优化问题，可以直接用拉格朗日乘子法求解，其拉格朗日函数为： (4-5)式中，为式(2-1)中等式约束的个数；，为拉格朗日乘子，亦称对偶变量，且。由KKT(Karush-Kuhn-Tucker)一阶必要条件可知： (4-6)式中，为各元素均为1的维列向量；。将式(4-6)中的各等式展成泰勒级数得到： (4-7)将式(4-7)写成矩阵形式为：= + (4-8)式(4-8)即为预报-校正内点法的修正方程式，其中：记分别为式（1-1）等号右边的第1、第2项，则式（1-1）可表示为： （1-2）在预报阶段先由线形方程 （1-3）解出仿射方向，然后计算仿射迭代步长 （1-4）式中， 、分别为原变量和对偶变量的迭代步长：式中，为安全因子，通常取=0.9995。然后计算仿射间隙： （1-5）并计算仿射障碍参数 （1-6）式中， ；于是可以得出，即= （1-7）再解线形方程： （1-8）得到校正方向，于是得到总的牛顿方向（即迭代量）为：=+ （1-9）最后，进行原变量和对偶变量的更新（k为迭代次数）： ， ， （1-10） ， 综上所述，预报-校正内点法的步骤为：(1) 初始化：输入系统参数及不等式约束上下限值； 给定原变量、对偶变量初始值，并保证松弛变量u，l 0，拉格朗日乘子，障碍因子；给定合适的中心参数0.1；置迭代次数k=0，最大迭代次数= 50；给定收敛精度=。(2) 计算补偿间隙，并判断收敛条件：如果补偿间隙,认为计算不收敛，并终止计算。4 结语非线性预报-校正内点法是数学优化领域的一种优秀算法，算法本身不难理解，编程也比较容易。本文详细推导了原对偶内点法和预报校正内点法，并将预报-校正内点法应用于电力系统无功优化，取得了良好的优化效果。由4 个IEEE 测试系统的仿真结果可见，内点法可以有效求解电力系统无功优化问题，与原对偶内点法相比，预报-校正内点法在收敛次数和迭代收敛时间上具有明显的优势，最后对收敛判据进行了讨论，所有结果表明该算法应用于电力系统无功优化是有效、可行的。参 考 文 献1Momoh J A，El-Hawary M E，Adapa RA review of selected optimal power flow literature to 1993, Part I: nonlinear and quadratic programming approachesJIEEE Trans on Power Systems，1999，14(1)：96-1042Momoh J A，El-Hawary M E，Adapa RA review of selected optimal power flow literature to 1993，Part II: Newton，linear programming and interior point methodsJIEEE Trans on Power Systems，1999，14(1)：105-1113Granville S Optimal reactive dispatch through interior point methodsJIEEE Trans on Power Systems，1994，9(1)：136-1464刘明波，陈学军基于原对偶仿射尺度内点法的电力系统无功优化算法J电网技术，1998，22(3)：24-28Liu Mingbo，Chen XuejunPrimal-dual affine scaling interior pointmethod based reactive power optimization in power systemsJPower System Technology，1998，22(3)：24-285张元明，王晓东，李乃湖基于原对偶内点法的电压无功功率优化J电网技术，1998，22(6)：42-45Zhang Yuanming，Wang Xiaodong，Li NaihuVoltage/reactive poweroptimization based on primal-dual interior point methodJPower System Technology，1998，22(6)：42-456李乃湖，丁恰，王晓东基于原-对偶内点法的电压无功实时优化控制算法J电力系统自动化，2000，24(5)：20-23,60Li Naihu，Ding Qia，Wang XiaodongPrimal-dual interior point method based real-time voltage/reactive power control algorithmJAutomation of Electric Power Systems，2000，24(5)：20-23,607刘明波，程莹，林声宏求解无功优化的内点线性和内点非线性规划方法比较J电力系统自动化，2002，26(1)：22-26Liu Mingbo，Cheng Ying，Lin ShenghongComparative studies of interior-point linear and nonlinear programming algorithms for reactive power optimizationJAutomation of Electric Power Systems，2002，26(1)：22-268刘明波，李健，吴捷求解无功优化的非线性同伦内点法J中国电机工程学报，2002，22(1)：1-7Liu Mingbo，Li Jian，Wu JieNonlinear homogeneous interior-point method for reactive-power optimizationJProceedings of the CSEE，2002，22(1)：1-79Liu M B，Tso S K，Cheng YAn extended nonlinear primal-dual interior-point algorithm for reactive-power optimization of large-scale power systems with discrete control variablesJIEEE Trans on Power Systems，2002，17(4)：982-99110Wu Y C，Debs A S，Marsten R EA direct nonlinear predictor-corrector primal-dual inter