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第五十二讲 常数项级数的概念和性质重点：常数项级数的概念和性质难点：用定义判断常数项级数收敛性一、常数项级数的概念人们认识事物在数量方面的特征，往往有一个由有限到无限、由近似到精确不断深化的过程。在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题。在一些实际问题的计算中，常常需要把分数化成小数。例如分数可以表示成无限循环小数，即。而，,所以 。即可以表示成一个无穷数列的和。那么，在什么情况下，一个无穷数列的和可以表示成一个数呢？这就是我们下面要研究的常数项级数。定义 设，是一个无穷数列，则称 （1）为无穷级数，简称为级数，记为，即 =，其中第n项叫做级数的一般项或通项。由于级数中的每一项都是常数，所以又叫常数项级数或数项级数。上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义。令 称为级数（1）的部分和。当n依次取1,2,3,时，它们构成一个新的无穷数列 ，。根据这个数列的极限是否存在，我们引进无穷级数（1）收敛与发散的概念。定义 若级数的部分和数列的极限存在，即=S，则称无穷级数收敛，S称为级数的和；若级数的部分和数列的极限不存在，则称级数发散。记，称为级数的余项。当级数收敛于S， =0（n）。例1 无穷级数 叫做等比级数（又称为几何级数），其中，叫做级数的公比。试讨论该级数的收敛性。例2 级数 称为调和级数，试证明该级数发散。例3 判别无穷级数 的敛散性。二、收敛级数的基本性质根据级数收敛的概念，可以得出收敛级数的几个基本性质。性质1 如果级数收敛于，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛，且其和为。性质2 如果级数、分别收敛于、，则级数也收敛，且其和为。性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。三、级数收敛的必要条件若级数收敛于，那么 。于是 。这就是级数收敛的必要条件。性质4 若级数收敛，则。由性质4可知，如果级数的一般项不趋于零，则该级数一定发散。例如，级数 ，它的一般项当n时不趋于零，则该级数是发散的。注意 由级数的一般项（当n时），并不能得出
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