第二章 导数与微分.doc

高等数学教案 2 导数与微分第二章 导数与微分教学目的：1.理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。3.会求分段函数的导数。4.会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：导数和微分的概念与微分的关系；导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；基本初等函数的导数公式；高阶导数；隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：复合函数的求导法则；分段函数的导数；反函数的导数;隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念一、 引例 1直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t), 求动点在时刻t0的速度. 考虑比值 , 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t0内的平均速度. 如果时间间隔较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t-t00, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即,这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2切线问题 设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT, 直线就称为曲线在点 处的切线. 设曲线C的方程为. 现在要确定曲线在点处的切线, 只要确定切线的斜率就行了. 为此, 在点外另取上一点, 于是割线MN的斜率为,其中为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时,. 如果当时, 上式的极限存在, 设为, 即，存在, 则此极限是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里, 其中是切线的倾角. 于是过点且以为斜率的直线便是曲线C在点M处的切线. 两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有: 加速度是速度增量与时间增量之比的极限； 角速度是转角增量与时间增量之比的极限； 线密度是质量增量与长度增量之比的极限； 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限；这些都是变化率问题。二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数定义1 . 设函数在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量Dx (点x0+Dx仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0); 如果当Dx0时Dy与Dx之比的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数在点x0处的导数, 记为, 即,也可记为, 或. 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有,. 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限不存在, 就说函数在点x0处不可导. 如果不可导是由于, 也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大. 定义2 .如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间I内可导, 这时, 对于任一x I, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 称为y=f(x)的导函数,导函数f (x)简称导数, 记作, , 或. 导函数的定义式: =. f (x0)与f (x)之间的关系: 函数f(x)在点x0处的导数f ()就是导函数f (x)在点x=x0处的函数值, . 2.求导数举例例1求函数(C 为常数)的导函数。解: =0，即。例2.求函数。解: .说明：对一般幂函数(为常数)，.例如，.例3求函数的导数（导函数）。 解: f (x). 即 (sin x)=cos x .例4求函数的导数. 解: 例5. 证明函数在 x = 0 不可导。证: 不存在 , 例6. 设存在, 求极限解: 原式.三、 导数的几何意义曲线在点的切线斜率为,若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行, 称为驻点;若切线与 x 轴平行垂直 。当时，曲线在点处的切线方程: 法线方程: 例7. 问曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解: 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线。令得对应则在点(1,1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即。四、 函数的可导性与连续性的关系定理1. 证: 设在点 x 处可导, 即存在 , 因此必有其中，故 0，所以函数在点 x 连续 .注意: 函数在点 x 连续未必可导.反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导.五、 单侧导数定义2 . 设函数在点的某个右(左)邻域内有定义, 若极限存在, 则称此极限值为在处的右(左)导数, 记作即 .例如, 在 x = 0 处有.定理2. 函数在点可导的充分必要条件是且简写为：存在定理3. 函数在处存在右(左)导数在处必右(左)连续。在闭区间上可导：若函数在开区间内可导, 且与都存在 , 则称在闭区间上可导.在闭区间 a , b 上可导内容小结1. 导数的实质: 增量比的极限;2. .3. 导数的几何意义: 切线的斜率;4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 : ；6. 判断可导性：不连续，一定不可导；直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.2.2 函数的求导法则教学目标: 掌握求导数的四则运算法则，复合函数求导法则，反函数求导法则及隐函数求导法则，高阶导数的概念与求法.教学重点: 导数的四则运算法则，复合函数求导法则，反函数求导法则及隐函数求导法则.教学难点: 隐函数求导法则.教学素材：多媒体课件及其网络资源.教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学时数: 2学时教学过程：导入：构造性定义求导法则初等函数求导公式.； 证明中利用了两个重要极限.教学内容：一、四则运算求导法则 定理1. 函数及都在具有导数函数及的和、差、积、商（除分母为0的以外）都在点可导，且 （1） （2） （3） （1） 证: 设, 则 .故结论成立.此法则可推广到任意有限项的情形.(2) 证: 则有推论: ( C为常数 )例1. 解: . ）.(3) 证: 设则有.故结论成立.推论: ( C为常数 ).例2. 求证证: =.类似可证: 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, .证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知因此:.例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设则, 则= （利用）类似可求得2) 设则,=.特别当时，.小结: 三、复合函数求导法则定理3. 在点 x 可导, 在点可导复合函数在点 x 可导,且。证: 在点 u 可导,故 （当时）故有 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.例4. 求下列导数: 解: (1) (2) （3）=说明: 类似可得 例5. 设求解: 思考: 若存在 , 如何求的导数?，这两个记号含义不同=.练习: 设例6. 设解: 记反双曲正弦 （的反函数），则 其它反双曲函数的导数见 P94例16. 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) 2. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导，且导数仍为初等函数例7. 求解: 例8. 设求解: 例9. 求解: 关键: 搞清复合函数结构，由外向内逐层求导。例10. 设求解: 五.高阶导数1.定义一般地, 把y=f(x)的导数f (x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.若函数y=f(x)的导数仍然是x 的函数，把的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数, 记作 y、f (x)或, 即y=(y), f (x)=f (x) , .类似地, 把二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数,分别记作y, y (4), 或, 一般地, 把(n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 记作y (n) , 或. 函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函数f(x)n 阶可导. 若函数f(x)在点x 处有n 阶导数, 则f(x)在点x 的某一邻域内有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. y称为一阶导数, y, y, y (4), , y(n)都称为高阶导数.2.高阶导数的计算.例1. 设求解: ， ，依次类推 , 可得 .思考: 设问例2. 设求解: ， 特别有: .例3. 设求解: ，(规定 0 ! = 1)思考: .例4. 设求解: ， ， ，一般地 , .类似可证: .例5 . 设解: .例6. 设求使存在的最高阶数分析: =0，=0又 =0，=0但是不存在 .3.高阶导数的运算法则设函数及都有 n 阶导数 , 则 (C为常数)= （莱布尼兹(Leibniz) 公式）例7. 求解: 设则 代入莱布尼兹公式 , 得.例8. 设求解: 即用莱布尼兹公式求 n 阶导数，得令，得 由得由得即 .内容小结：高阶导数的求法：(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数1.隐函数的定义若由方程可确定y是x的函数 , 则称此函数为隐函数 .由表示的函数 , 称为显函数 .例如, 可确定显函数.可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .2.隐函数求导方法方程两边对x求导，得(含导数的方程)。例1. 求由方程确定的隐函数在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导，得01=0，x = 0 时 y = 0 , 故.例2. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导得到 =0， 故切线方程为 . 即 .例3. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导，得 .说明:1) 对幂指函数可用对数求导法求导 : . 注意: ，其中 是按指数函数求导公式, 按幂函数求导公式。2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如, 两边取对数 两边对 x 求导 又如 两边取对数，对 x 求导，。二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数关系, 可导, 且则时, 有.时, 有 .若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程 ,可得.注意 : 已知而例4. 设 且求解: ，练习: P111 题8(1)解: 。例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为，求它在时刻t运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小，再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 a 为切线倾角, 则/，抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量为垂直分量为速度的方向 ，在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为，达到最高点的时刻高度，落地时刻抛射最远距离。例6. 设由方程确定函数求解: 方程组两边对 t 求导 , 得，故/。三、相关变化率为两可导函数，之间有联系（称为相关变化率）之间也有联系，相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式，对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率。例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为a , 则 ，两边对 t 求导已知 h = 500m 时, 。例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速度.解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的体积为 V , 则，两边对 t 求导而，故。内容小结：1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导。2. 对数求导法：适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数。3. 参数方程求导法极坐标方程求导。 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式。4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式，对 t 求导相关变化率之间的关系式。2. 5 函数的微分教学目标: 掌握微分的概念和微分运算法则，会用微分求函数的近似值.教学重点: 微分的概念和微分运算法则.教学难点: 微分的概念.教学素材：多媒体课件及其网络资源.教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学时数: 2学时教学过程：导入：引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由变到问此薄片面积改变了多少? 分析：设薄片边长为 , 面积为, 则当在取得增量时, 面积的增量为，其中是关于的线性主部，当时为的高阶无穷小。故 .称其为函数在点的微分。教学内容：一、微分的概念 定义: 若函数在点的增量可表示为 ( A 为不依赖于x 的常数)则称函数在点可微, 而称为点的微分, 记作即.定理：函数在点处可微的充分必要条件是在点即.证: “ 必要性” 已知点可微,则 .所以=A.，故在点可导，且.“充分性”已知在点可导, 则由函数极限与无穷小量的关系得到 ， ，即.说明: ，当时, =1所以时与是等价无穷小, 故当很小时, 有近似公式.微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时, ， .自变量的微分, 记作, 则有.从而 (导数也叫作微商).例如, | | 又如, 基本初等函数的微分公式二、 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 5. 复合函数的微分