高中数学极坐标与参数方程知识点

精品文档 11欢迎下载 极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 一 曲线的参数方程的定义 一 曲线的参数方程的定义 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即 tfy tfx 并且对于t每一个允许值 由方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方 程组就叫做这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数叫做参变数 简称参数 二 常见曲线的参数方程如下 二 常见曲线的参数方程如下 1 过定点 x0 y0 倾角为 的直线 t为参数 sin cos 0 0 tyy txx 其中参数t是以定点P x0 y0 为起点 对应于t点M x y 为终点的有向线段PM 的数量 又称为点P与点M间的有向距离 根据t的几何意义 有以下结论 设A B是直线上任意两点 它们对应的参数分别为tA和tB 则 1 AB AB tt BAAB tttt 4 2 线段AB的中点所对应的参数值等于 2 2 BA tt 2 中心在 x0 y0 半径等于r的圆 为参数 sin cos 0 0 ryy rxx 3 中心在原点 焦点在x轴 或y轴 上的椭圆 为参数 或 sin cos by ax sin cos ay bx 中心在点 x0 y0 焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数 sin cos 0 0 byy axx 4 中心在原点 焦点在x轴 或y轴 上的双曲线 精品文档 22欢迎下载 为参数 或 tg sec by ax ecay bx s tg 5 顶点在原点 焦点在x轴正半轴上的抛物线 t为参数 p 0 pty ptx 2 2 2 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点P x0 y0 倾斜角为的直线的参数方程是 t为参数 sin cos 0 0 tyy txx 三 极坐标系 三 极坐标系 1 定义 在平面内取一个定点 O 叫做极点 引一条射线 Ox 叫做极轴 再选一个长度单 位和角度的正方向 通常取逆时针方向 对于平面内的任意一点 M 用 表示线段 OM 的 长度 表示从 Ox 到 OM 的角 叫做点 M 的极径 叫做点 M 的极角 有序数对 就叫做点 M 的极坐标 这样建立的坐标系叫做极坐标系 2 极坐标有四个要素 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的方向 极坐标与 直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点 在极坐标系下 一对有序实数 对应 惟一点P 但平面内任一个点P的极坐标不惟一 一个点可以有无数个坐标 这 些坐标又有规律可循的 P 极点除外 的全部坐标为 或 k2 Z Z 极点的极径为 0 而极角任意取 若对 的取值范围加以 12 k k 限制 则除极点外 平面上点的极坐标就惟一了 如限定 0 0 或 2 0 等 极坐标与直角坐标的不同是 直角坐标系中 点与坐标是一一对应的 而极坐标系中 点与坐标是一多对应的 即一个点的极坐标是不惟一的 3 直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 0 cos a cos a x M O 1 精品文档 33欢迎下载 sin a sin a cos a 4 圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 0 a a cos2a cos2a sin2a sin2a cos 2 a 0 0 xO M 图1 cos a aO M 图2 cos a a O M 图3 sin a O M 图4 a sin a O M 图5 a a cos a O M p N 图6 a cos2a axO M 图2 sin2a a x O M 图4 sin2a a xO M 图5 cos2a axO M 图3 a a xO M 图1 a cos 2 a a xO M 图6 精品文档 44欢迎下载 5 极坐标与直角坐标互化公式 cos x sin y 222 yx 0 tan x x y y y x O M H N 直极