克里格插值法.doc

克里格法（Kriging）有公式版二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点Xh处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为： 区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即 区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。 设Z(x) 为区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数Z(x) 的空间分布规律不因位移而改变， h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，Z(xi) 为Z(x) 在空间位置xi 处的实测值， Z(xisize=2+h/size) 是Z(x) 在xi 处距离偏离h 的实测值 ，根据协方差函数的定义公式，可得到协方差函数的计算公式为： 在上面的公式中， N(h)是分隔距离为h时的样本点对的总数， 和 分别为和的样本平均数，即 在公式中N为样本单元数。一般情况下（特殊情况下可以认为近似相等）。若（常数），协方差函数可改写为如下： 式中， m为样本平均数，可由一般算术平均数公式求得，即 三、变异函数 变异函数又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。在一维条件下变异函数定义为，当空间点x 在一维x 轴上变化时，区域化变量Z(x)在点 x和x+h 处的值Z(x) 与Z(x+h) 差的方差的一半为区域化变量Z(x) 在 x轴方向上的变异函数，记为，即 在二阶平稳假设条件下，对任意的h有， 因此上式可以改写为： 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x 和h ，当变异函数仅仅依赖于距离h 而与位置x 无关时， 可改写成，即 设 Z(x)是系统某属性 Z在空间位置x处的值， Z(x)为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设， h为两样本点空间分隔距离，Z(xi) 和 Z(xi+h)分别是区域化变量 在空间位置xi 和xi+h 处的实测值i=1,2,.,N(h) ，那么根据上式的定义，变异函数的离散公式为：变异函数揭示了在整个尺度上的空间变异格局，而且变异函数只有在最大间隔距离1/2处才有意义。 四、克里格估计量 假设x是所研究区域内任一点， Z(x)是该点的测量值，在所研究的区域内总共有n个实测点，即x1,x2,.,xn ，那么，对于任意待估点或待估块段V的实测值Zv(x) ，其估计值 是通过该待估点或待估块段影响范围内的 n个有效样本值 的线性组合来表示，即式中，为权重系数，是各已知样本在Z(xi) 在估计 时影响大小的系数，而估计 的好坏主要取决于怎样计算或选择权重系数。 在求取权重系数时必须满足两个条件，一是使的估计是无偏的，即偏差的数学期望为零；二是最优的，即使估计值 和实际值 Zv(x)之差的平方和最小，在数学上，这两个条件可表示为 五、普通克里格分析方法 设 Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳和本征假设，其数学期望为m ，协方差函数c(h) 及变异函数(h)存在。即 对于中心位于x0 的块段为V ，其平均值为Zv(x0) 的估计值以 进行估计。 在待估区段V 的邻域内，有一组 n个已知样本，其实测值为。克里格方法的目标是求一组权重系数，使得加权平均值： 成为待估块段V 的平均值Zv(x0) 的线性、无偏最优估计量，即克里格估计量。为此，要满足以下两个条件： 1、无偏性。要使成为Zv(x) 的无偏估计量，即，当时，也就是当时，则有： 这时，是的无偏估计量。 2、最优性。在满足无偏性条件下，估计方差为 由方差估计可知为使估计方差最小，根据拉格朗日乘数原理，令估计方差的公式为： 求以上公式对