数学模型在林业上应用.doc

数学模型在林业上应用专题作 业 题1.以林分生长模型为例，简述数学模型的建模过程。答： 一、例子：建立巨尾桉人工林林分生长模型，主要是地径与胸径相关数学模型：研究地径与胸径、树高的关系,首先要保证原始数据准确无误,且具有代表性。为此,在巨尾桉人工林中,采用随机抽样的方法,分别不同径阶和树高抽取135株样木。每株样木伐倒后,准确量测树干高度、胸径、地径,保留小数1位。采用2种方法进行研究确定最佳的回归方程:其一是多模型选优法，其二是逐步回归法。1、多模型选优法 根据胸径随地径的增加而上升的关系，选择了11个方程供分析对比:1） ；2）；3）；4）；5） ；6）；7）；8）；9） ； 10）；11） 上述各方程中的代表胸径，为地径，a、b、c为待定参数，为取自然对数。除1)号方程为线性外，其余的方程均为非线性方程，经线性处理后用线性回归分析法求解a、b、c参数。2、逐步回归法 逐步回归法是寻找最优方程的一种行之有效的方法，该法的基本思想是:按照因子对因变量Y作用的大小，由大到小地逐个将因子引入回归方程，对已被引入回归方程中的因子，在新因子引入后有可能因变成对Y作用不显著而随时从方程中剔除出去，已经被剔除的因子在新变量引入后也可能重新放回。重复这一过程，直到回归方程中变量均不能剔除，即所有引入方程中的变量均达到了显著水平，同时又不能再引入新变量为止，这时逐步回归就宣告结束，从而获得合乎样本材料规律的最优回归方程。现综合上述11个方程的相关项目，并增加其他项目，提出逐步回归的3个多项式，通过逐步回归筛选出最优方程。 （a） （b） （c）对于多模型选优法和逐步回归法的求解结果，采用相关系数并结合方程的简捷性及生物学特性来评价方程的优劣。多模型选优法的求解结果表明（表一）；地径与胸径之间的关系是紧密的，回归方程相关系数均在0.88以上，其中以5）、8）、10）和11）号方程的回归效果更为理想，相关系数达0.93以上。从方程的简捷性及生物学特性来看，在多模型选优法中，胸径与地径的关系可认为5）、8）号方程为最佳方程，这2个方程简单直观，且不会出现诸如抛物线一类方程的胸径随着地径的增加而增加，达到某一数值后反而下降的不合理现象。表一：胸径-地径回归方程参数1234567891011a1.00700.8556-28.74871.7922-0.001430.78800.12893.7275-8.67390.0292-2.3310b0.75790.979615.06320.04871.2745-283.3653-0.0032-18.66731.73440.1171-0.0566c-0.0240 10.56842.0894R0.91120.92560.91860.90690.93270.91340.88380.93230.91930.93820.9330根据(a)、(b)、(c)式的3个多项式，采用逐步回归法，经计算机运算求解，得到胸径与地径相关的逐步回归3个方程: R=0.9186 (d) R=0.9323 (e) R=0.9381 (f)以上3式中，R为相关系数，对比结果表明，(e)、(f)式回归效果很接近，均优于(d)式，其中(e)式与多模型选优法中的8)号方程是一致的。综合多模型选优法和逐步回归分析法的结果，可以认为巨尾桉人工林胸径与地径的最佳方程为。 且这个方程简单直观,能反映胸径随地径增加而增加的变化规律。不会出现诸如抛物线一类的方程,胸径随着地径的增加达到某一数值后反而下降的不合理现象。所以巨尾桉人工林胸径与地径的最佳方程为。 二、建立数学模型的主要步骤：(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求（或要解决的问题），搜集各种必要的信息。(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的简化，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。(3)构建模型：根据所作的假设以及事物之间的联系，构造各种变量之间的关系，把问题化为数学问题。(4)模型求解：通常采用两种方法，一是普通的最小二乘法，二是加权最小二乘法。同时注意回归模型误差项应满足“独立、正态、等方差”条件，这是采用普通最小二乘法建立回归模型的先决条件。(5)模型分析：对所得到的解答（即求解出的模型）进行特性分析，特别要分析当数据发生变化时，所得结果是否稳定。(6)模型检验：通常有拟合精度（还可以进一步细分为总体自检盒局部区间检验）和适度精度检验，以及各类统计指标的计算和考评。如：残差分布检验，相对误差等）。(7)模型应用：将建立的模型在实际中加以应用。根据应用中出现的问题和不够完善的地方，进行不断的改进和完善，直至能客观准确的反映实际问题，近于完美为止。模型求解模型构建模型假设模型准备 模型应用模型检验模型分析建模过程2.以下列某树种各指数级各龄阶优势高平均生长过程数据为例，采用修正后的Rchards模型，建立多元立地指数预测方程。 表中：SI立地指数值； 4、6、8、10、 28为龄阶。答：立地指数是指在某一立地上的特定基准年龄时林分优势木的平均高度值。林分的优势高生长很少受林分密度的影响而主要受立地条件影响。Rchards模型:式中：H：林分优势木平均高；A：林分年龄；a、b、c、m为待估参数，a为树高生长极大值（Hmax），e为自然对数底。根据拟合好的导向曲线，确定好基准年龄与立地指数级，便可构建出立地指数模型，计算出立地指数，绘出立地指数曲线簇。参数初始值计算：a=22.02、b=1 、c=0.0546、m=0.3决定系数为R2=0.824Richards 导向曲线拟合趋势图确定基准年龄与立地指数级距：这里选12年为基准年龄，可看出在基准年龄时，树高生长幅度为6m-13m，树高绝对变幅H=5.9m。因此将立地指数级个数 k 定为6。立地指数级距=H/k确定立地指数级距为 1m，立地指数级个数为 6个：6，7，8，9，10，11。建立立地指数模型：式中：SI立地指数；t林木年龄；t0基准年龄，为12；H 林木年龄为 t 时的优势木高。3.动态规划的核心是什么？给出该方法求解问题的思路，给出计算最佳林分保留密度的通用计算公式，并说明公式的含义。答：（1）动态规划的核心包括多阶段决策与最优化原理两个方面，动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为一系列简单的、离散的单阶段决策问题，采用顺序求解的方法，通过一系列小问题达到求解整个问题的目的。动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶段的决策目标，还要兼顾整个决策过程的整体目标，从而实现整体最优决策。（2）该方法的解题思路是：把整个培育期分成若干个阶段，然后建立状态方程和递推方程及确定目标函数，通过使用调整和求导等方法，在各个阶段通过调整状态变量，使目标函数达最大（最小）。可以通过顺向求解或者逆向求解的方法进行，根据动态规划原理和状态转移方程及给定的边界条件，在每次求解时，总可找到与之对应的最优序列。研究优化控制的目的就在于找到最优控制序列集，使目标在整个变化周期内，均在最优控制序列作用下，完成由初始状态到最终状态的转移，并保证目标函数值最大。（3）最佳林分保留密度的通用计算公式人工用材林的密度控制问题是一个最优控制问题。为确保整个培育周期内总收获量最大，经营者应该分别为每一次决策找到最佳保留密度，即第1次间伐时，找出最佳保留密度N1*使林分系统状态从（N1，M1）转移到（N2，M2）直至（Ni+1,Mi+1），并保证目标函数最大。对于一般情况，在m次决策中，第i次的优化密