圆锥曲线的统一定义

圆锥曲线的统一定义【教学目的】1.圆锥曲线统一定义的推导和理解；2.圆锥曲线统一定义的应用；【教学过程】引入：在直角坐标系，设定点，定直线，点到直线的距离为，动点到点的距离与到直线的距离的比值为，试求动点的极坐标方程。解：设点为极点，与垂直的直线为极轴，建立如图所示的极坐标系设动点，依题意有以上等式称为圆锥曲线的极坐标统一方程；说明：（1）当时，方程表示椭圆，点为椭圆的左焦点，直线为椭圆的左准线；（2）当时，表示抛物线；（3）当时，方程表示双曲线的右支，点为双曲线的右焦点，直线为椭圆的右准线；若可以小于零，则表示双曲线的两支；（4）字母的几何意义：称为离心率；为焦点到对应准线的距离；（5）显然，当统一方程转换为直角坐标下方程时，不是圆锥曲线方程的标准形式；圆锥曲线统一定义.gsp【知识应用】例1. （1）极坐标方程表示的曲线是 ；解：等价于，表示双曲线；（2）极坐标方程表示的曲线是（ ）A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.两个相切的圆解：C（3）确定方程表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解：；（3）求过椭圆的左焦点，且倾斜角为的弦长且左焦点到左准线的距离。解：先将方程化为标准形式：则离心率，所以左焦点到左准线的距为2。设，代入极坐标方程，则弦长例2. 已知曲线的极坐标方程为，求此曲线的直角坐标方程，并讨论在不同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中和为正的实常数）.解：方程写成，将和代入，得，即 ，两边平方，得整理得，.由上述方程可知，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.例3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，利用极坐标统一方程求线段的长度。解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和， ， .线段的长度为。例4.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求的值.解：抛物线中，.在以抛物线的焦点为极点，轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为，设点的极坐标为，则点的极坐标为，则， 的值为.是个定值；例5. 过椭圆的左焦点作直线，交椭圆于两点，证明：为定值.证明：椭圆方程可化为， 以椭圆的左焦点极点，轴正方向为极轴的方向建立极坐标系， 则椭圆的极坐标方程为.设点的极坐标为，则点的极坐标为，为定值.结论：1.圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则，其中，x轴，焦半径当P在双曲线的左支上时，.特别：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有.2.圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，（1）椭圆中，.（2）双曲线中，若M、N在双曲线同一支上，；若M、N在双曲线不同支上，.抛物线中，.3.复习直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，（1）若、分别是椭圆的左、右焦点，则，；（2）若、分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，；当点P在双曲线左支上时，；（3）若F是抛物线的焦点，.练习：1.（1）极坐标方程表示曲线是（B ）A.焦点到对应准线距离为1的椭圆 B. 焦点到对应准线距离为的椭圆C.焦点到对应准线距离为1的双曲线 D. 焦点到对应准线距离为的双曲线（2）将直角坐标方程化为极坐标方程时，极点和的值分别是 （D）A坐标原点 B坐标原点 C焦点 D焦点 提示：由直角坐标方程知，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知，极点是圆锥曲线的焦点.（3）椭圆的焦距是_,焦点坐标_.（4）设椭圆的极坐标方程为，则的取值范围是 ；（5）已知椭圆的极坐标方程为，则它的短轴长是；（6）已知曲线的极坐标方程为，则它的焦点是；（用极坐标表示）（7）在极坐标平面内，曲线的中心坐标是 ；（用极坐标表示）2.等轴双曲线的实轴长为2，过其右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，求.解：，3.一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳千米时，极半径和轨道的轴成角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为，因为时， ，轨道的极坐标方程为，当时，.这颗慧星轨道的极坐标方程为，它的近日点离太阳的距离为千米.4.从极点引一条直线和圆相交于一点，点分线段成比，求