高三集体备课数学教案(抛物线).doc

第3节 抛 物 线（高三一轮复习 温小鹏）基础过关1抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)2抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ，焦点为 ，准线为 ，焦点为 ，准线为 ，焦点为 ，准线为 ，焦点为 ，准线为 3抛物线的几何性质：对进行讨论 点的范围： 、 对称性：抛物线关于 轴对称 离心率 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若，则 ， ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则 特别地，当时，AB为抛物线的通径，且 iii) SAOB （表示成P与的关系式）iv) 为定值，且等于 典型例题例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值解：设抛物线方程为，则焦点是F点A(3，n)在抛物线上，且| AF |5故解得P4，故所求抛物线方程为变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程解：因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或 ，p12故抛物线方程为或例2. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B(1) 若，求直线l的方程(2) 求的最小值解：(1)解法一：设直线的方程为：代入整理得，设则是上述关于的方程的两个不同实根，所以根据抛物线的定义知：| AB |若，则即直线有两条，其方程分别为：解法二：由抛物线的焦点弦长公式|AB|(为AB的倾斜角)易知sin，即直线AB的斜率ktan，故所求直线方程为：或.(2) 由(1)知，当且仅当时，|AB|有最小值4解法二：由(1)知|AB| |AB|min4 (此时sin1，90)变式训练2：过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无数条D不存在解：B例3. 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标解：抛物线的准线方程为过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ| PF |，| PF | PA | PA | PQ |要使| PA | PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点从而|PA|PF|的最小值为此时P的坐标为(2，2)变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。解：例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y2x2上，l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围解：(1)Fl|FA|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意y1，y2不同时为0上述条件等价于y1y2(x1x2)(x1x2)0x1x2 x1x20即当且仅当x1x20时，l过抛物线的焦点F(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2xb，过点A、B的直线方程可写为yxm所以x1、x2满足方程：2x2xm0且x1x2，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以8m0，即m设AB之中点为N(x0，y0)，则x0y0x0mm由Nl得：mb于是bm即l在y轴上截距的取值范围是(，)变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线yx4上，另外两顶点C、D在抛物线y2x上，求正方形的面积设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1 y2)，则直线CD的斜率为1 1，即y1y21 又| CD |(y1y2)| BC |(y12y14恒正)由| CD | BC |，有(y1y2) 解、 得 y12或y13当y12时，有| BC |3，此时SABCD18当y13时，有| BC |5，此时SABCD50 正方形的面积为18或50小结归纳1求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法2利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化3涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质课时作业1.已知抛物线y2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2, 那么m的值等于（ ）A B C 2 D32.AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是 （ ）A2BC D3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .4