2017_18版高中数学第一章数列2.1等差数列(二)学案北师大版必修.docx

2.1等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列通项公式的推广思考1已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?思考2由思考1可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？梳理等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时，d.知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？梳理在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则am_ap_.特别地，若mn2p，则anam2ap.知识点三由等差数列衍生的新数列思考若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？梳理若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN)，若b32，b1012，则a8等于()A0 B3 C8 D11类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)从递推公式上看，an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)从任意连续三项关系上看，2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)从通项公式代数特点上看，anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可如：其中某连续三项不成等差数列；存在nN，an1an的结果不等于同一个常数等跟踪训练2若数列an满足a115,3an13an2，则使akak11)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.跟踪训练223解析由3an13an2，得an1an.an是首项为15，公差为的等差数列，ana1(n1)d15(n1)()n.令an0，解得n23.5，d，数列an是递减数列，a230，a240.k23.例3解方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2，an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.引申探究1解设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.220解析a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.跟踪训练3解方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8